Pomodoro 4.5

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@@ -1461,6 +1461,60 @@ temps de computation.
 
 \section{Le théorème de recurrence de Khintchine}
 
+Ce résultat n'est pas une application de la théorie des nombres, mais
+concerne les systèmes de préservation de la mesure eux-mêmes. Il ne
+requiert que le théorème ergodique de von Neumann (théorème
+\ref{thm:moyenne}) et non pas le théorème ergodique de Birkhoff
+(théorème \ref{thm-ergodique-simple}, plus difficile. Pour l'énoncé du
+théorème, nous avons besoin d'une petite définition.
+
+\begin{definition}\index{syndetique}
+  Soit $S\subseteq \NN^*$. On dit que $S$ est syndétique s'il existe
+  un entier $p$ tel que
+  \[S\cap \{a,a+1,a+2,\ldots,a+p\}\neq \emptyset\]
+  pour tout entier naturel $a$.
+\end{definition}
+
+Un ensemble périodique d'entiers naturels est syndétique. Alors on
+peut interpréter un ensemble syndétique comme un ensemble d'entiers
+naturels qui est à ``lacunes bornées''.
+
+\begin{theoreme}
+  Soit $(X,T,\mu)$ un système dynamique mesuré et soit
+  $\varepsilon>0$. Soit $A\subseteq X$ un ensemble quelconque avec
+  $\mu(A)>0$. Alors l'ensemble
+  \[\{n\in \NN^*\colon \mu(A\cap T^nA)\geq\mu(A)^2-\varepsilon\}\]
+  est syndétique.
+\end{theoreme}
+
+\begin{proof}
+  Soit $I\subseteq L^2(X)$ l'espace des fonctions invariantes par $T$,
+  et soit $\pi\colon L^2(X)\to I$ la projection associée. Par les
+  propriétés basiques des espérances conditionnelles on a que
+  $\pi(1_A\circ T^n)=\pi(1_A)$ pour tout $n$. On en déduit que
+  \begin{align*}
+    \lvert \frac1N \sum_{n=M}^{M+N-1}\mu(A\cap T^{-n}A)-\langle
+    1_A,\pi(1_A)\rangle\rvert
+    &=\lvert \frac1N \sum_{n=M}^{M+N-1}\langle
+      1_A,1_A\circ T^n-\pi(1_A)\rangle\rvert\\
+    &=\lvert \langle
+      1_A,S_N(1_A\circ T^M)-\pi(1_A)\rangle\rvert\\
+    &=\lvert \langle
+      1_A,S_N(1_A\circ T^M)-\pi(1_A\circ T^M)\rangle\rvert\\
+    &=\lvert \langle
+      1_{T^MA},S_N1_A-\pi(1_A)\rangle\rvert\\
+    &\leq \lVert S_N1_A -\pi(1_A)\rVert_2.
+  \end{align*}
+  La quatrième ligne découle de la troisième par les propriétés de
+  base de l'espérance conditionnelle et la cinquième de la quatrième
+  par changement de variables. La dernière ligne suit de la précédente
+  par l'inégalité de Cachy-Schwarz.
+
+  Maintenant on a que
+  $\langle 1_A-\pi(1_A),\pi(1_A)\rangle = \langle
+  1_A-\pi(1_A),1\rangle =0$.
+\end{proof}
+
 \section{Fractions continues et la transformation de Gauss}
 
 Rappelons la transformation de Gauss $T\colon [0,1]\to[0,1]$ définie par