Pomodoro 4.4

polycopie.tex

@@ -1593,12 +1593,42 @@ On a ajouté le point $0$ pour rentre l'espace compact.
   $\mu(E)=1$. Enfin, remarquons que c'est facile d'en déduire que cela
   implique que soit $\nu(E)=0$ ou $\nu(E)=1$, parce que $\mu$ est
   $\nu$ sont absolument continue une par rapport à l'autre.
-  
 \end{proof}
 
-% ---------------------------------------------------------------------------
+Déduisons un corollaire sur les fractions continues d'un nombre
+"typique" dans $[0,1]$. Rappelons notre observation que si
+\[ x=\cfrac{1}{a_0+\cfrac{1}{a_1+\cfrac{1}{a_2+\ddots}}},\]
+alors $a_n=\lfloor 1/T^n x\rfloor$. En écrivent $f\colon ]0,1]\to\RR$
+pour la fonction définie par $f(t):=\ln(\lfloor 1/t\rfloor)$, ce n'est
+pas difficile à voir que $f\in L^1([0,1],\nu)$. Il ensuit par le
+théorème ergodique de Birkhoff (théorème \ref{thm-ergodique-simple})
+que pour $\nu$ presque tout $x$ (et par absolue continuité $\mu$
+presque tout $x$) qu'on a
+\[\frac1N\sum_{n=1}^N\ln a_n
+  =S_Nf(x)\to\int f\mathrm{d}\nu
+  =\frac1{\ln 2}\int_0^1\frac{\ln(\lfloor
+    1/t\rfloor)}{1+t}\mathrm{d}t.
+\]
+En divisant cette intégrale en parties de la forme $]1/(k+1),1/k[$
+pour $k\geq1$ on obtient
+\[\frac1{\ln 2}\sum_{k=1}^\infty
+  \ln k\int_{1/(k+1)}^{1/k}\frac{\mathrm{d}t}{1+t}.
+\]
+Pour chaque partie on fait le changement de variable $u=1/t-k$
+($\mathrm{d}t=-(u+k)^2\mathrm{d}u$), d'où
+\[\frac1{\ln 2}\sum_{k=1}^\infty
+  \ln k\int_0^1\frac{\mathrm{d}u}{(u+k)(u+k+1)}.\]
+En utilisant la décomposition en éléments simples on obtient
+\[\frac1{\ln 2}\sum_{k=1}^\infty
+  \ln k \cdot \ln\left(\frac{(k+1)^2}{k(k+2)}\right).\]
+Donc pour presque tout $x$ les ``partial quotients'' satisfont
+\[
+  \lim_{N\to+\infty}\left(a_1\cdots a_N\right)^{1/N}
+  =\prod_{k=1}^\infty\left(\frac{(k+1)^2}{k(k+2)}\right)^{\ln k/ln 2}.
+\]
+Cette constante est appelle la constante de Khintchine et sa valeur
+est approximative $2.685452\ldots$.
 
-% \chapter{Le théorème de Roth}
 
 % ---------------------------------------------------------------------------
 
@@ -1690,7 +1720,11 @@ Fourier comme une measure sur $\RR/\ZZ$.
   
 \end{proof}
 
-%\chapter{Le théorème de Szemerédi}
+% \chapter{Le théorème de Roth}
+
+% ---------------------------------------------------------------------------
+
+% \chapter{Le théorème de Szemerédi}
 
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