diff --git a/polycopie.tex b/polycopie.tex index eebbabf3211e08f79130c96cd502d3ed10661dd7..059d85bddbf52b5159061254c9d77790d01cbaa4 100644 --- a/polycopie.tex +++ b/polycopie.tex @@ -1461,6 +1461,60 @@ temps de computation. \section{Le théorème de recurrence de Khintchine} +Ce résultat n'est pas une application de la théorie des nombres, mais +concerne les systèmes de préservation de la mesure eux-mêmes. Il ne +requiert que le théorème ergodique de von Neumann (théorème +\ref{thm:moyenne}) et non pas le théorème ergodique de Birkhoff +(théorème \ref{thm-ergodique-simple}, plus difficile. Pour l'énoncé du +théorème, nous avons besoin d'une petite définition. + +\begin{definition}\index{syndetique} + Soit $S\subseteq \NN^*$. On dit que $S$ est syndétique s'il existe + un entier $p$ tel que + \[S\cap \{a,a+1,a+2,\ldots,a+p\}\neq \emptyset\] + pour tout entier naturel $a$. +\end{definition} + +Un ensemble périodique d'entiers naturels est syndétique. Alors on +peut interpréter un ensemble syndétique comme un ensemble d'entiers +naturels qui est à ``lacunes bornées''. + +\begin{theoreme} + Soit $(X,T,\mu)$ un système dynamique mesuré et soit + $\varepsilon>0$. Soit $A\subseteq X$ un ensemble quelconque avec + $\mu(A)>0$. Alors l'ensemble + \[\{n\in \NN^*\colon \mu(A\cap T^nA)\geq\mu(A)^2-\varepsilon\}\] + est syndétique. +\end{theoreme} + +\begin{proof} + Soit $I\subseteq L^2(X)$ l'espace des fonctions invariantes par $T$, + et soit $\pi\colon L^2(X)\to I$ la projection associée. Par les + propriétés basiques des espérances conditionnelles on a que + $\pi(1_A\circ T^n)=\pi(1_A)$ pour tout $n$. On en déduit que + \begin{align*} + \lvert \frac1N \sum_{n=M}^{M+N-1}\mu(A\cap T^{-n}A)-\langle + 1_A,\pi(1_A)\rangle\rvert + &=\lvert \frac1N \sum_{n=M}^{M+N-1}\langle + 1_A,1_A\circ T^n-\pi(1_A)\rangle\rvert\\ + &=\lvert \langle + 1_A,S_N(1_A\circ T^M)-\pi(1_A)\rangle\rvert\\ + &=\lvert \langle + 1_A,S_N(1_A\circ T^M)-\pi(1_A\circ T^M)\rangle\rvert\\ + &=\lvert \langle + 1_{T^MA},S_N1_A-\pi(1_A)\rangle\rvert\\ + &\leq \lVert S_N1_A -\pi(1_A)\rVert_2. + \end{align*} + La quatrième ligne découle de la troisième par les propriétés de + base de l'espérance conditionnelle et la cinquième de la quatrième + par changement de variables. La dernière ligne suit de la précédente + par l'inégalité de Cachy-Schwarz. + + Maintenant on a que + $\langle 1_A-\pi(1_A),\pi(1_A)\rangle = \langle + 1_A-\pi(1_A),1\rangle =0$. +\end{proof} + \section{Fractions continues et la transformation de Gauss} Rappelons la transformation de Gauss $T\colon [0,1]\to[0,1]$ définie par