Session 2

polycopie.tex

@@ -74,6 +74,8 @@ hyperindex=true,plainpages=false}
 \def\QQ{{\mathbb Q}}
 \def\RR{{\mathbb R}}
 \def\CC{{\mathbb C}}
+\def\TT{{\mathbb T}}
+
 \def\th{{\mathrm{th}}}
 
 \parindent=0cm
@@ -388,7 +390,7 @@ avec $2$. La deuxième coordonnée stocke le passé. Disons $x=...$ et $y=0$. Al
 Bien que nous n'avons pas donner les définitions proprement nous pouvons
 démontrer que la rotation du cercle est dense et équirépartie.
 
-\begin{theoreme}[Densité des rotations irrationelles] Soit $x\in \mathbb{U}$.
+\begin{theoreme}[Densité des rotations irrationelles]\label{densite-des-rotations} Soit $x\in \mathbb{U}$.
   L'orbit $\left(R_\alpha^n x\right)_{n=1}^\infty$ est dense si et seulement si $\alpha\not\in\QQ$.
 \end{theoreme}
 
@@ -447,6 +449,7 @@ démontrer que la rotation du cercle est dense et équirépartie.
 
   Si $r\neq 0$, alors la somme à l'intérieur est une progression géométrique :
   \[\left|\frac1N\sum_{n\leq N}e^{2\pi i r n \alpha}\right|
+  =\left|\frac{1}{N}e^{2\pi i r \alpha}\frac{1-e^{2\pi i r N\alpha}}{1-e^{2\pi i r \alpha}}\right|
   \leq \frac{2}{N\left|1-e^{2\pi i r \alpha}\right|}.\]
   En notant que $\widehat{f}(0)=\int_0^1f\dx$ nous obtenons
   \[\frac1N\sum_{n=1}^{N}f(R_{\alpha}^nx)
@@ -485,6 +488,39 @@ Le théorème suivant donne une version finie.
   éléments ont tous la même couleur.
 \end{theoreme}
 
+Voici un exemple d'une coloration :
+\begin{center}
+\begin{tabular}{ccccccccccccccccc}
+  1&2&3&4&5&6&7&8&9 &10&11&12&13&14&15&16&17\\
+  {\color{blue} B}&
+  {\color{red} R}&
+  {\color{green} V}&
+  {\color{red} R}&
+  {\color{red} R}&
+  {\color{blue} B}&
+  {\color{green} V}&
+  {\color{green} V}&
+  {\color{blue} B}&
+  {\color{green} V}&
+  {\color{red} R}&
+  {\color{red} R}&
+  {\color{blue} B}&
+  {\color{red} R}&
+  {\color{red} R}&
+  {\color{blue} B}&?
+\end{tabular}
+\end{center}
+N'import quelle couleur on choisit pour $17$ on a toujours une progression
+arithmétique de longueur trois:
+\begin{itemize}
+  \item Si $17$ est {\color{blue} bleu}, les entiers $9$, $13$ et $17$ forment une progression
+  arithmétique monochromatique.
+  \item Si $17$ est {\color{red} rouge}, les entiers $11$, $14$ et $17$ forment une progression
+  arithmétique monochromatique.
+  \item Si $17$ est {\color{green} vert}, les entiers $3$, $10$ et $17$ forment une progression
+  arithmétique monochromatique.
+\end{itemize}
+
 Notons que ce théorème affirme seulement l'existence de $W(r,k)$ mais ne dit rien
 sur sa valeur. Peu de valeurs sont connues :
 
@@ -580,7 +616,7 @@ plupart des énonces reste valid si $S$ est un demi-groupe.
 \begin{definition}[Minimalité]
   \index{minimalité}Supposons que $X$ soit un espace métrique et compact et que
   $S$ est un demi-groupe qui opère sur $X$ par des applications continues. Cet
-  action est dit minimal, si les seuls sous-ensembles $X'\subset X$, qui sont
+  action est dit minimal, si les seuls sous-ensembles $X'\subseteq X$, qui sont
   fermés et invariants par $S$, sont $X'=X$ et $X'=\emptyset$.
 \end{definition}
 
@@ -591,7 +627,7 @@ Voici une définition alternative qui est plus utile pour nous.
 \end{lemme}
 
 \begin{proof}
-  Il est bien clair que $\mathcal{O}$ est fermé, invariant par $S$ et non-vide.
+  Il est bien clair que $\mathcal{O}(x)$ est fermé, invariant par $S$ et non-vide.
   Donc si l'action de $S$ sur $X$ est minimal, alors $\mathcal{O}(x)=X$.
 
   Contrairement supposons que $X'\subsetneq X$ soit un sous-ensemble fermé, non-vide
@@ -606,27 +642,27 @@ Voici une définition alternative qui est plus utile pour nous.
 \end{lemme}
 
 \begin{proof}
-  Soit $\mathcal{F}$ une famille des sous-ensemble de $X$ fermé, non-vide et
+  Soit $\mathcal{F}$ une famille des sous-ensembles de $X$ fermé, non-vide et
   invariant par $S$. On peut définir un ordre sur cette famille par l'inclusion.
-  Toute chaine $(X_i)_{i\in I}$ a l'intersection $\bigcap_{i\in I}$ comme borne
+  Toute chaine $(X_i)_{i\in I}$ a l'intersection $\bigcap_{i\in I}X_i$ comme borne
   inférieur. Cela est fermé, non-vide et invariant par $S$. D'après le lemme de
   Zorn cet ordre a un élément minimal $X'$. C'est bien clair que $S$ opère
   minimal sur $X'$.
 \end{proof}
 
 \begin{theoreme}[Théorème de récurrence de \textsc{Birkhoff}]
-  Soit $X$ und espace métrique et compact et soit $T\colon X\to X$ une
+  Soit $X$ un espace métrique et compact et soit $T\colon X\to X$ une
   transformation continue. Alors ils existent un $x_0\in X$ et une suite $1\leq
   n_1<n_2<\cdots$ des entiers positifs tels que $T^{n_k}x_0\to x_0$.
 \end{theoreme}
 
 \begin{proof}
-  Soit $S=\NN$. D'après lemme \ref{green:lem2.3} nous supposons que $S$ opère
-  minimal sur $X$. Prenons $x_0\in X$. Comme $X$ est minimal on a
-  $\overline{\left( T^nx_0\right)_{n\geq1}}=X$. S'il y a $n$ tel que $T^nx=x$,
-  alors l'énoncé est clair. Sinon par la densité on peut construire une suite
-  $n_1<n_2<\cdots$ des entiers distincts telle que $T^{n_k}x_0\to x_0$ pour
-  $k\to+\infty$.
+  Soit $S=\NN$. D'après lemme \ref{green:lem2.3} nous pouvons supposer
+  que $S$ opère minimal sur $X$. Prenons $x_0\in X$. Comme $X$ est
+  minimal on a $\overline{\left( T^nx_0\right)_{n\geq1}}=X$. S'il y a
+  $n$ tel que $T^nx=x$, alors l'énoncé est clair. Sinon par la densité
+  on peut construire une suite $n_1<n_2<\cdots$ des entiers distincts
+  telle que $T^{n_k}x_0\to x_0$ pour $k\to+\infty$.
 \end{proof}
 
 \section{Récurrence multiple et le théorème de \textsc{van der Waerden}}
@@ -680,13 +716,13 @@ $\mathrm{MR}(L-1)$.
 
 Considérons l'espace $X^L=X\times\cdots\times X$ muni de la métrique du produit
 et la diagonale $X^\Delta:=\{(x,x,\ldots,x)\colon x\in X\}$. Définissons
-$\tilde{T}\colon X^L\to X^L$ par
-\[\tilde{T}:=T\times T^2\times\cdots\times T^L.\]
+$\widetilde{T}\colon X^L\to X^L$ par
+\[\widetilde{T}:=T\times T^2\times\cdots\times T^L.\]
 
 Le théorème de récurrence multiple est équivalent à l'existence d'un $x\in
 X^\Delta$ tel que pour tout $\varepsilon >0$ il existe $n\geq 1$ tel que
-$d(x,\tilde{T}^nx)<\varepsilon$. C'est une forte hypothése sur des propriétés
-de récurrence de la transformation $\tilde{T}$ sur la diagonale $X^\Delta$.
+$d(x,\widetilde{T}^nx)<\varepsilon$. C'est une forte hypothése sur des propriétés
+de récurrence de la transformation $\widetilde{T}$ sur la diagonale $X^\Delta$.
 C'est pourquoi nous divisons l'étape de récurrence en cinq petites étapes dont
 la dernière est la récurrence demandé.
 
@@ -695,16 +731,16 @@ la dernière est la récurrence demandé.
   $\ZZ$ sur $X$ soit minimal. On a
   \begin{enumerate}[(i)]
     \item Pour tout $\varepsilon>0$ ils existent $x,y\in X^\Delta$ et $n\geq1$
-    tels que $d(x,\tilde{T}^ny)<\varepsilon$.
+    tels que $d(x,\widetilde{T}^ny)<\varepsilon$.
     \item Pour tout $x\in X^\Delta$ et pour tout $\varepsilon>0$ ils existent
-    $n\geq1$ et $y\in X^\Delta$ tels que $d(x,\tilde{T}^ny)<\varepsilon$.
+    $n\geq1$ et $y\in X^\Delta$ tels que $d(x,\widetilde{T}^ny)<\varepsilon$.
     \item Pour tout $\varepsilon>0$ ils existent $x\in X^\Delta$ et $n\geq1$
-    tels que $d(x,\tilde{T}^nx)<\varepsilon$.
+    tels que $d(x,\widetilde{T}^nx)<\varepsilon$.
     \item Pour tout $\varepsilon>0$ l'ensemble de $x\in X^\Delta$ tel qu'il
-    existe $n\geq1$ tel que $d(x,\tilde{T}^nx)<\varepsilon$ est dense dans
+    existe $n\geq1$ tel que $d(x,\widetilde{T}^nx)<\varepsilon$ est dense dans
     $X^\Delta$.
     \item Il existe $x\in X^\Delta$ tel que pour tout $\varepsilon>0$ il exist
-    $n\geq1$ tel que $d(x,\tilde{T}^nx)<\varepsilon$.
+    $n\geq1$ tel que $d(x,\widetilde{T}^nx)<\varepsilon$.
   \end{enumerate}
 \end{proposition}
 
@@ -715,9 +751,10 @@ la dernière est la récurrence demandé.
   \begin{enumerate}[(i)]
     \item Supposons $\mathrm{MR}(L-1)$. Alors ils existent $x\in X$ et $n\geq1$
     tels que
-    \[d(x,T^nx),d(x,T^{2n}x),\ldots,d(x,T^{(L-1)n}x)<\varepsilon.\] Posons $y:=T^{-n}x$. Alors
-    \[d(x,T^{n}y),d(x,T^{2n}y),\ldots,d(x,T^{Ln}y)<\varepsilon\]
-    et donc $d(x,\tilde{T}^ny)<\varepsilon$.
+    \[d(x,T^nx),d(x,T^{2n}x),\ldots,d(x,T^{(L-1)n}x)<\varepsilon.\]
+    Posons $y:=T^{-n}x$. Alors $x=T^ny$ et
+    \[d(x,T^{n}y),d(x,T^{2n}y),\ldots,d(x,T^{Ln}y)<\varepsilon.\]
+    Donc $d(x,\widetilde{T}^ny)<\varepsilon$.
     \item Soit $B$ la boule ouvert du rayon $\varepsilon/2$ et du centre $x\in
     X$. Donc $Y:=X\setminus\bigcup_{m\in\ZZ}T^{-m}B$ est fermé et invariant par
     $T$ et $T^{-1}$. Par minimalité il faut que $Y=\emptyset$. Comme $X$ est
@@ -727,57 +764,72 @@ la dernière est la récurrence demandé.
     $X^\Delta$. Alors il existe $\eta>0$ tel que $d(w,w')\leq \eta$ implique
     $d(T^mw,T^mw')\leq \varepsilon/2$ pour $\left| m\right|\leq M$. D'après (i)
     ils existent $x',y'\in X^\Delta$ et $n\geq1$ tels que
-    $d(x',\tilde{T}^ny')<\eta$. Posons $m$ avec 
+    $d(x',\widetilde{T}^ny')<\eta$. Posons $m$ avec 
     $\left| m\right|\leq M$ tel que $x'\in T^{-m}B^\Delta$; donc $T^mx'\in
     B^\Delta$. Pour tout $n\geq 1$ on a
     \begin{align*}
-      d(x,\tilde{T}^nT^my')&\leq d(x,T^mx') + d(T^mx',T^m\tilde{T}^ny')\\
+      d(x,\widetilde{T}^nT^my')&\leq d(x,T^mx') + d(T^mx',T^m\widetilde{T}^ny')\\
       &<\varepsilon/2+\varepsilon/2=\varepsilon.
     \end{align*}
     En posent $y:=T^my'$ nous obtenons (ii).
-    \item Ce la coeur de la démonstration. Furstenberg dit que l'argument est
-    originellement de Rufus Bowen. L'idée est de construire une suite décroissante $\varepsilon_1>\varepsilon_2>\cdots$
-    des réels positifs avec une suite des éléments $x_i\in X^\Delta$ telle que
-    $d(x_i,\tilde{T}^nx_j)$ est très petit.
+  \item Cette partie est la coeur de la démonstration. Hillel
+    Furstenberg dit que l'argument est originellement due à Rufus
+    Bowen. L'idée est de construire une suite décroissante
+    $\varepsilon_1>\varepsilon_2>\cdots$ des réels positifs avec une
+    suite des éléments $x_i\in X^\Delta$ telle que
+    $d(x_i,\widetilde{T}^nx_j)$ est très petit.
     
     Posons $\varepsilon_1:=\varepsilon/3$ et $x_0:=x$. D'après
     (ii) ils existent $x_1$ et $n_1\geq1$ tels que
-    $d(x_0,\tilde{T}^{n_1}x_1)<\varepsilon_1$. Comme $\tilde{T}^{n_1}$ est
+    $d(x_0,\widetilde{T}^{n_1}x_1)<\varepsilon_1$. Comme $\widetilde{T}^{n_1}$ est
     uniformément continue il existe $\varepsilon_2$ tel que
     $d(w,w')<\varepsilon_2$ implique
-    $d(\tilde{T}^{n_1}w,\tilde{T}^{n_1}w')<\varepsilon/9$. Une autre fois d'après
+    $d(\widetilde{T}^{n_1}w,\widetilde{T}^{n_1}w')<\varepsilon/9$. Une autre fois d'après
     (ii) ils existent $x_2$ et $n_2\geq1$ tel que
-    $d(x_1,\tilde{T}^{n_2}x_2)<\min(\varepsilon_2,\varepsilon/9)$. Notons que
+    $d(x_1,\widetilde{T}^{n_2}x_2)<\min(\varepsilon_2,\varepsilon/9)$. Notons que
     par construction on a
-    \[d(x_0,\tilde{T}^{n_1+n_2}x_2)\leq
-    d(x_0,\tilde{T}^{n_1}x_1)+d(\tilde{T}^{n_1}x_1,\tilde{T}^{n_1+n_2}x_2)<\varepsilon/3+\varepsilon/9<\varepsilon/2.\]
+    \[d(x_0,\widetilde{T}^{n_1+n_2}x_2)\leq
+    d(x_0,\widetilde{T}^{n_1}x_1)+d(\widetilde{T}^{n_1}x_1,\widetilde{T}^{n_1+n_2}x_2)<\varepsilon/3+\varepsilon/9<\varepsilon/2.\]
     
     Dans l'étape prochaine nous choisissons $\varepsilon_3$ tel que
-    $d(w,w')<\varepsilon_3$ implique que
-    \[d(\tilde{T}^{n_2}w,\tilde{T}^{n_2}),d(\tilde{T}^{n_1+n_2}w,\tilde{T}^{n_1+n_2})<\min(\varepsilon_3,\varepsilon/27).\]
+    $d(w,w')<\varepsilon_3$ implique que les deux
+    $d(\widetilde{T}^{n_2}w,\widetilde{T}^{n_2}w')$ et
+    $d(\widetilde{T}^{n_1+n_2}w,\widetilde{T}^{n_1+n_2}w')$ sont plus
+    petits que $\varepsilon/27$. Maintenant on choisit $x_3$ tel que
+    $d(x_2,\widetilde{T}^{n_3}x_3)<\min(\varepsilon_3,\varepsilon/27)$.
     Donc
-    \[d(x_0,\tilde{T}^{n_1+n_2+n_3}x_3),d(x_1,\tilde{T}^{n_2+n_3}x_3)<\varepsilon/3+\varepsilon/9+\varepsilon/27<\varepsilon/2.\]
+    \begin{align*}
+      d(x_0,\widetilde{T}^{n_1+n_2+n_3}x_3)
+      &\leq
+      d(x_0,\widetilde{T}^{n_1}x_1)+d(\widetilde{T}^{n_1}x_1,\widetilde{T}^{n_1+n_2}x_2)
+      +d(\widetilde{T}^{n_1+n_2}x_2,\widetilde{T}^{n_1+n_2+n_3}x_3)\\
+      &<\varepsilon/3+\varepsilon/9+\varepsilon/27<\varepsilon/2\quad\text{et}\quad\\
+      d(x_1,\widetilde{T}^{n_2+n_3}x_3)
+      &\leq d(x_1, \widetilde{T}^{n_2}x_2) +d(\widetilde{T}^{n_2}x_2,
+        \widetilde{T}^{n_2+n_3}x_3)\\
+      &<\varepsilon/9+\varepsilon/27<\varepsilon/2.
+    \end{align*}
     
     En continuent récursivement on obtient pour $i<j$ l'inégalité
-    \[d(x_i,\tilde{T}^{n_{i+1}+\cdots+n_j}x_j)<\varepsilon/3+\varepsilon/9+\cdots<\varepsilon/2.\]
+    \[d(x_i,\widetilde{T}^{n_{i+1}+\cdots+n_j}x_j)<\varepsilon/3^{i+1}+\varepsilon/3^{i+2}+\cdots+\varepsilon/3^{j}<\varepsilon/2.\]
 
     Par compacité séquentielle ils existent $i$ et $j$ tels que $d(x_i,
     x_j)<\varepsilon/2$. Avec l'inégalité du triangle on a 
     \[d(x_j,
-    \tilde{T}^{n_{i+1}+\cdots+n_j}x_j)<\varepsilon/2+\varepsilon/2=\varepsilon.\]
+    \widetilde{T}^{n_{i+1}+\cdots+n_j}x_j)<\varepsilon/2+\varepsilon/2=\varepsilon.\]
     D'où on a (iii) avec $x=x_j$ et $n=n_{i+1}+\cdots+n_j$.
     \item Suppsons que (iv) soit fausse. Alors il existe un ensemble overt
-    $V\subseteq X^\Delta$ et $\delta>0$ tels que $d(v, \tilde{T}^nv)>\delta$
+    $V\subseteq X^\Delta$ et $\delta>0$ tels que $d(v, \widetilde{T}^nv)>\delta$
     pour tout $v\in V$ et tout $n\geq1$. D'après minimalité et compacité il
     exist $m$ tel que $X^\Delta=\bigcup_{\left| m\right|\leq M}T^{-m}V$. Soit
     $x\in X^\Delta$ arbitraire. Choisissons $m$, $\left| m\right|\leq M$, tel
     que $x\in T^{-m}V$, et donc $T^mx\in V$. Alors
-    $d(T^mx,\tilde{T}^nT^mx)>\delta$ pour tout $n\geq1$. Comme $T,\ldots,T^m$
-    est uniformément continue on a $d(x, \tilde{T}^nx)>\eta$ pour un
+    $d(T^mx,\widetilde{T}^nT^mx)>\delta$ pour tout $n\geq1$. Comme $T,\ldots,T^m$
+    est uniformément continue on a $d(x, \widetilde{T}^nx)>\eta$ pour un
     $\eta=\eta(\delta)>0$ pour tout $x\in X^\Delta$ et $n\geq1$, en
     contradiction avec (iii).
     \item Soit $A_N$ l'ensemble de tout $x\in X^\Delta$ dont il existe $n\geq1$
-    que $d(x,\tilde{T}^nx)<1/N$. Tout $A_N$ est ouvert dans $X^\Delta$ et dense
+    que $d(x,\widetilde{T}^nx)<1/N$. Tout $A_N$ est ouvert dans $X^\Delta$ et dense
     (d'après (iv)). D'après le théorème de Baire Category l'intersection
     $\bigcap_{N\in\NN}A_N$ n'est pas vide. En prennent un point $x$ quelquonque
     dans cet intersection on obtient (v).
@@ -786,6 +838,193 @@ la dernière est la récurrence demandé.
 
 \chapter{Les théorèmes ergodiques}
 
+\section{Systèmes dynamiques mesuré et l'ergodicité}
+
+Soit $X$ un espace métrique et compact, soit $T\colon X\to X$ une
+application surjective et mesurable, et soit $\mu$ une mesure de
+probabilité sur $X$. Notons que la compacité n'est pas nécessaire,
+mais dans tous nos exemples l'espace $X$ est compact. Par contre, le
+fait que $\mu(X)<\infty$ est vraiment important. Même certains
+théorèmes deviennent feux si la mesure est infinie.
+
+Nous appelons que la mesure $\mu$ est \textit{invariant par
+  $T$}\index{invariant par $T$} si pour toute fonction mesurable $f$
+on a $\int f\mathrm{d} \mu=\int f\circ T\mathrm{d}\mu$ ou, de manière
+équivalente, $\mu(T^{-1}(E))=\mu(E)$ pour tout ensemble mesurable
+$E$. En prennent $f:= 1_E$ la première définition implique la
+seconde. Pour montrer l'inverse on prends des approximations de $f$ pas
+des fonctions mesurables simples.
+
+Le triple $(X,\mu,T)$ est appelle un système dynamique mesuré et
+l'objet central dans l'étude de la théorie ergodique.
+
+\begin{theoreme}[Théorème de récurrence de Poincaré]
+  Soit $E\subseteq X$ un ensemble mesurable et soit $E'\subseteq E$
+  l'ensemble des $x\in E$ tel qu'il y a un nombre infini des $n\geq1$
+  avec $T^nx\in E$. Alors $\mu(E\setminus E')=0$, ou autrement dit
+  presque tout point de $E$ rentre à $E$ un nombre infini de fois.
+\end{theoreme}
+
+\begin{proof}
+  Nous posons $A_N:=\bigcup_{n\geq N}T^{-n}E$ pour $N\geq0$ et
+  $S:=\bigcap_N A_N$. Alors $E'=E\cap S$. Nous avons la suite
+  imbriquée $A_0\supseteq A_1\supseteq A_2\supseteq\cdots$. Par
+  l'invariance de $T$ on a $\mu(A_{N+1})=\mu(T^{-1}A_N)=\mu(A_N)$. Le
+  théorème de convergence monotone implique que $\mu(S)=\mu(A_0)$ et
+  donc $\mu(A_0\setminus S)=0$. Mais $E\subseteq A_0$ et donc
+  $\mu(E\setminus S)=0$.
+\end{proof}
+
+\begin{definition}
+  \index{ergodique}On dit qu'une application $T$ est ergodique ou que
+  la mesure $\mu$ est ergodique pour $T$, si la mesure de toutes les
+  ensembles $T$-invariants (ensembles mesurables $E$ tels que
+  $T^{-1}E=E$) est soit $0$ soit $1$.
+\end{definition}
+
+Il n'est pas difficile de voir que $T$ est ergodique si et seulement
+si les fonctions mesurables et invariantes par $T$ (fonctions $f$
+telles que $f=f\circ T$) sont des fonctions constantes presque
+partout.
+
+L'ergodicité semble être une propriété plutôt faible. Remarquablement,
+c'est exactement la propriété qui nous permet de faire des assertions
+rigoureuses de la forme ``les moyennes temporelles tendent vers les
+moyennes de l'espace''.
+
+Avant de continuer, nous voulons donner quelques exemples.
+
+\begin{proposition}[La rotation du cercle est ergodique]
+  Soit $\alpha\in\RR\setminus\QQ$. La rotation du cercle
+  $R_\alpha\colon \TT \to \TT$ est ergodique par rapport à la mesure
+  de Lebesgue $\lambda$.
+\end{proposition}
+
+\begin{proof}
+  Soit $f\colon \TT \to \RR$ une fonction mesurable et invariante par
+  $R_\alpha$ qui n'est pas constante presque partout. Chaque niveau
+  $\{x\colon s\leq f(x)\leq t\}$ est aussi invariante par $R_\alpha$ :
+  en passant par un ensemble de niveau où la fonction n'est pas
+  constante presque partout nous pouvons supposer que $f\in
+  L^1(\TT)$. Soit $\varepsilon >0$. Comme l'espace des fonctions
+  continues $C(\TT)$ est dense dans $L^1(\TT)$, il existe une fonction
+  continue $\widetilde{f}$ avec
+  $\left\| f-\widetilde{f}\right\|_1\leq\varepsilon$. En appliquant
+  $R_\alpha^n$ et en utilisant l'invariance de $f$ avec l'invariance
+  par rotation de $\left\| \cdot\right\|$ on obtient
+  $\left\| f-\widetilde{f}\circ R_\alpha^n\right\|_1\leq \varepsilon$
+  pour tout $n$. Donc
+  $\left\| \widetilde{f}-\widetilde{f}\circ R_\alpha^n\right\|_1\leq
+  2\varepsilon$. Puisque l'orbite $R_\alpha^n0$ est dense dans $\TT$
+  (voir théorème~\ref{densite-des-rotations}), il s'ensuit avec la
+  continuité de $\widetilde{f}$ que
+  $\left\| \widetilde{f}-\widetilde{f}\circ R_t\right\|_1\leq
+  2\varepsilon$ pour tout $t\in\TT$. En posant $c(\widetilde{f})$ la
+  fonction constante égale à $\int \widetilde{f}\mathrm{d}\mu$, cela
+  implique que
+  \begin{align*}
+    \left\|\widetilde{f}-c(\widetilde{f})\right\|_1
+    &=\int\left|\widetilde{f}(x)-\int \widetilde{f}(x+t)\mathrm{d}\mu(t)\right|\mathrm{d}\mu(x)\\
+    &=\int\left|\int\widetilde{f}(x)-\widetilde{f}(x+t)\mathrm{d}\mu(t)\right|\mathrm{d}\mu(x)\\
+    &\leq\iint\left|\widetilde{f}(x)-\widetilde{f}(x+t)\right|\mathrm{d}\mu(t)\mathrm{d}\mu(x)\\
+    &\leq 2\varepsilon.
+  \end{align*}
+  Donc on a $\left\| f-c(\widetilde{f})\right\|_1\leq
+  3\varepsilon$. Alors
+  \[
+    \left| c(f)-c(\widetilde{f})\right|
+    =\left| \int(f-c(\widetilde{f}))\mathrm{d}\mu\right|
+    \leq3\varepsilon
+  \]
+  et par l'inégalité du triangle on a $\left\| f-c(f)\right\|_1\leq
+  6\varepsilon$. D'après $\varepsilon>0$ était arbitraire, on a
+  $\left\| f-c(f)\right\|_1=0$ qui implique que $f=c(f)$ presque
+  partout en contradiction.
+\end{proof}
+
+\begin{proposition}[La duplication est ergodique]
+  La transformation $T(x)=2x-\left\lfloor 2x\right\rfloor$ est
+  ergodique par rapport à la mesure de Lebesgue $\mu$.
+\end{proposition}
+
+\begin{proof}
+Soit $D_{a,n}$ un intervalle bipartite d'ordre $n$, c'est-à-dire un
+intervalle de la forme $\left(\frac{a}{2^n},\frac{a+1}{2^n}\right)$
+avec $a\in\ZZ$. Soit $E$ un ensemble mesurable. C'est claire que
+$\mu(T^{-n}E\cap D_{a,n})=2^{-n}\mu(E)$. Donc si $E$ est invariant
+par $T$ alors $\mu(E\cap D_{a,n})=2^{-n}\mu(E)$.
+
+Pour tout $\varepsilon>0$ il existe un ouvert $U$ avec $E\subseteq U$
+et $\mu(U\setminus E)\leq\varepsilon$. Pour tout $n$ nous écrivons
+$U_n$ pour l'union des intervalles bipartite d'ordre $n$ contenant
+dans $U$. C'est claire que $U_1\subseteq U_2\subseteq \cdots$. Comme
+$U$ est ouvert on a $\bigcup_n U_n=U$. Par le théorème de convergence
+monotone on obtient
+\[ \mu(E)=\mu(E\cap U)=\lim_{n\to\infty}\mu(E\cap
+  U_n)=\mu(E)\lim_{n\to\infty}\mu(U_n)=\mu(E)\mu(U).\]
+Donc si $\mu(E)\neq0$ alors $\mu(U)=1$ et par conséquent $\mu(E)\geq
+\mu(U)-\varepsilon = 1-\varepsilon$. Puisque $\varepsilon$ était
+arbitraire, nous avons $\mu(E)=1$.
+\end{proof}
+
+\section{Moyennes temporelles contre moyennes de l'espace}
+
+Soit $(X,\mu,T)$ un système dynamique mesuré avec $\mu(X)=1$ et
+supposons que $T\colon X\to X$ soit ergodique. Un ``théorème
+ergodique'' est, au sens large, tout résultat indiquant que les
+moyennes temporelles $S_Nf:=\frac1N\sum_{0\leq n\leq N-1}f(T^nx)$
+convergent vers la moyenne spatiale $\overline{f}:=\int
+f\mathrm{d}\mu$.
+
+\begin{definition}[Types de convergence]
+  Supposons que $(X,\mu)$ soit un espace compact mesuré et supposons
+  que $(f_N)_{N=1}^\infty$ est une suite des fonctions à value
+  réelle. Supposons que $f$ est une autre fonction à value
+  réelle. Alors nous disons que
+  \begin{enumerate}[(1)]
+  \item $f_N\to f$ faiblement dans $L^2$ si, pour tout $g\in L^2(X)$,
+    on a $\langle f_N-f,g\rangle\to0$.
+  \item $f_N\to f$ dans $L^2$ si $\left\| f_N-f\right\|_2\to0$.
+  \item Plus généralement, si $p\geq1$, nous disons que $f_N\to f$
+    dans $L^p$ si $\left\| f_N-f\right\|_2\to0$. Normalement nous
+    prenons $1\leq p\leq 2$.
+  \item Nous disons que $f_N\to f$ simplement presque partout si
+    $f_N(x)\to f(x)$ pour tout $x$ sauf un ensemble de mesure $0$.
+  \end{enumerate}
+\end{definition}
+
+Pour s'orienter, établissons quelques relations entre ces notions de
+convergence.
+
+Si $f_N\to f$ dans $L^2$ alors $f_N\to f$ faiblement dans $L^2$, parce
+que
+\[\langle f_N-f,g\rangle\leq \left\| f_N-f\right\|_2\left\|
+    g\right\|_2\]
+par l'inégalité de Cauchy-Schwarz. Par contre, le contraire n'est pas
+vrai. En effet, posons $X=\RR/\ZZ$ et $f_N(x)=e^{2\pi i N
+  x}$. L'inégalité de Bessel montre que
+$\sum_{N=1}^\infty\left|\langle f_N,g\rangle\right|^2\leq \left\|
+  g\right\|_2^2$, et donc $\langle f_N,g\rangle\to0$ avec $N\to
+\infty$ pour tout $g\in L^2(X)$ fixée. Alors $f_N\to 0$ faiblement
+dans $L^2$. C'est clair qu'on n'a pas de convergence en $L^2$.
+
+Pour $1\leq p<2$, la convergence dans $L^p$ est plus faible que la
+convergence dans $L^2$.
+
+La convergence simple est ``moralement'' la notation la plus forte de
+toutes. S'il existe une fonction $g\in L^p(X)$ telle que $\lvert
+f_n(x)\rvert,\lvert f(x)\rvert\leq g(x)$ pour presque tout $x$, alors
+par le théorème de convergence dominé on obtient que $f_n\to f$ dans
+$L^p$. En effet, par convexité on a
+\[ \lvert f_n(x)-f(x)\rvert^p\leq 2^{p-1}\left(\lvert
+    f_n(x)\rvert^p+\lvert f(x)\rvert^p\right)\leq 2^pg(x)^p,\]
+une fonction intégrable.
+
+Des pathologies peuvent toutefois survenir : le suite des fonctions
+$f_n\colon [0,1]\to \RR$ définie par $f_n(x)=n$ si $0\leq x\leq 1/n$
+et $f_n(x)$ sinon, converge vers zéro presque partout. Mais $f_n$ ne
+converge pas vers zéro dans n'importe quel $L^p$ avec $p\geq1$.
+
 \chapter{Le théorème de Furstenberg et Sárközy}
 
 Dans ce chapitre nous allons démontrer le résultat suivant de Furstenberg et