Pomodoro 5.3

polycopie.tex

@@ -1725,7 +1725,7 @@ droite converge.
 Le théorème de Bochner et Herglotz nous permettons de voir la transformation de
 Fourier comme une measure sur $\RR/\ZZ$.
 
-\begin{theoreme}[Théorème spectral]
+\begin{theoreme}[Théorème spectral]\label{thm:spectral-theorem}
   Supposons que $\left\| x\right\|=1$. Alors il existe une measure probabiliste
   de Borel $\mu$ sur $\RR/\ZZ$ (qui ne depends que de $x$) avec la propriété que
   \[\langle U^nx,x\rangle=\widehat{\mu}(n):=\int_0^1e^{-2\pi i n \theta}\mathrm{d} \mu(\theta).\]
@@ -1862,6 +1862,48 @@ Maintenant nous déduisons le théorème de Furstenberg-Sárközy (théorème
   contient deux éléments dont la différence est $n^2$.
 \end{proof}
 
+\section{Démonstration que les carrés sont un ensemble de Poincaré}
+
+Rappelons qu'est-que ce qu'on veut démontrer : si $(X,T,\mu)$ est un système
+dynamique mesure et si $\mu(S)>0$, alors il existe $n\geq1$ tel que $\mu(S\cap
+T^{-n^2}S)>0$. Nous la démontrons du point de vue spectral; c'est-à-dire nous
+considérons l'opérateur de Koopman $U=U_T\colon L^2(X)\to L^2(X)$ définie par
+$Uf=f\circ T$ ensemble avec la mesure spectral construit dans la première
+section.
+
+Avec cette notation, notre théorème est équivalent à démontrer l'existence d'un
+entier $n\geq1$ tel que
+\[ \langle U^{n^2}f,f\rangle >0,\]
+où $f:=1_S$ ().
+
+Dans un espace de Hilbert $L^2(X)$ nous identifions le sous-espace
+$L^2_{\text{rat}}(X)$ engendré par les valeurs propres de $U$ de valeur propre
+$e^{2\pi i\theta}$, $\theta\in \QQ$, bien que son complement orthogonal
+$L^{2\perp}_{\text{rat}}(X)$. D'après la théorie standard des espaces de Hilbert
+$L^2(X)$ est la somme directe de ces deux espaces. Alors nous pouvons
+decomposer $f$ comme $f_{\text{rat}}+f_{\text{rat}}^{\perp}$.
+
+\begin{lemme}
+  Soit $Q\geq1$ un entier positif. Alors
+  \[ \lim_{N\to\infty}\frac1N\sum_{n=1}^N U^{Q^2n^2}x=0\]
+  pour tout $x\in L_{\text{rat}}^{2\perp}$.
+\end{lemme}
+
+\begin{proof}
+  Considérons $U$ comme opérateur de $H=L_{\text{rat}}^{2\perp}$ sur lui-même :
+  par abuse de notation nous appelons cet opérateur aussi $U$. C'est clair que U
+  n'a pas des valeurs propres rationnels. Soit $\mu=\mu_x$ la mesure sur $\TT$,
+  dont l'éxistence est garantie par théorème \ref{thm:spectral-theorem} (notons
+  qu'on ne suppose pas que $\lVert x\rVert=1$; donc cela n'est pas forcement une
+  mesure de probabilité.
+
+  \textit{Affirmation} : La mesure $\mu$ donne la mesure $0$ à tout point
+  rationnels $\theta$.
+
+  \begin{proof}[Démonstration de l'affirmation]
+  \end{proof}
+\end{proof}
+
 % ---------------------------------------------------------------------------
 
 % \chapter{Le théorème de Roth}