diff --git a/polycopie.tex b/polycopie.tex index 080208436020ce4c3908dbdf6161fe2825dd79bf..0d77ca9bc3af2922d3f9b95fbd3090aebb34923e 100644 --- a/polycopie.tex +++ b/polycopie.tex @@ -1725,7 +1725,7 @@ droite converge. Le théorème de Bochner et Herglotz nous permettons de voir la transformation de Fourier comme une measure sur $\RR/\ZZ$. -\begin{theoreme}[Théorème spectral] +\begin{theoreme}[Théorème spectral]\label{thm:spectral-theorem} Supposons que $\left\| x\right\|=1$. Alors il existe une measure probabiliste de Borel $\mu$ sur $\RR/\ZZ$ (qui ne depends que de $x$) avec la propriété que \[\langle U^nx,x\rangle=\widehat{\mu}(n):=\int_0^1e^{-2\pi i n \theta}\mathrm{d} \mu(\theta).\] @@ -1862,6 +1862,48 @@ Maintenant nous déduisons le théorème de Furstenberg-Sárközy (théorème contient deux éléments dont la différence est $n^2$. \end{proof} +\section{Démonstration que les carrés sont un ensemble de Poincaré} + +Rappelons qu'est-que ce qu'on veut démontrer : si $(X,T,\mu)$ est un système +dynamique mesure et si $\mu(S)>0$, alors il existe $n\geq1$ tel que $\mu(S\cap +T^{-n^2}S)>0$. Nous la démontrons du point de vue spectral; c'est-à-dire nous +considérons l'opérateur de Koopman $U=U_T\colon L^2(X)\to L^2(X)$ définie par +$Uf=f\circ T$ ensemble avec la mesure spectral construit dans la première +section. + +Avec cette notation, notre théorème est équivalent à démontrer l'existence d'un +entier $n\geq1$ tel que +\[ \langle U^{n^2}f,f\rangle >0,\] +où $f:=1_S$ (). + +Dans un espace de Hilbert $L^2(X)$ nous identifions le sous-espace +$L^2_{\text{rat}}(X)$ engendré par les valeurs propres de $U$ de valeur propre +$e^{2\pi i\theta}$, $\theta\in \QQ$, bien que son complement orthogonal +$L^{2\perp}_{\text{rat}}(X)$. D'après la théorie standard des espaces de Hilbert +$L^2(X)$ est la somme directe de ces deux espaces. Alors nous pouvons +decomposer $f$ comme $f_{\text{rat}}+f_{\text{rat}}^{\perp}$. + +\begin{lemme} + Soit $Q\geq1$ un entier positif. Alors + \[ \lim_{N\to\infty}\frac1N\sum_{n=1}^N U^{Q^2n^2}x=0\] + pour tout $x\in L_{\text{rat}}^{2\perp}$. +\end{lemme} + +\begin{proof} + Considérons $U$ comme opérateur de $H=L_{\text{rat}}^{2\perp}$ sur lui-même : + par abuse de notation nous appelons cet opérateur aussi $U$. C'est clair que U + n'a pas des valeurs propres rationnels. Soit $\mu=\mu_x$ la mesure sur $\TT$, + dont l'éxistence est garantie par théorème \ref{thm:spectral-theorem} (notons + qu'on ne suppose pas que $\lVert x\rVert=1$; donc cela n'est pas forcement une + mesure de probabilité. + + \textit{Affirmation} : La mesure $\mu$ donne la mesure $0$ à tout point + rationnels $\theta$. + + \begin{proof}[Démonstration de l'affirmation] + \end{proof} +\end{proof} + % --------------------------------------------------------------------------- % \chapter{Le théorème de Roth}