Pomodoro 4.6

polycopie.tex

@@ -1512,7 +1512,20 @@ naturels qui est à ``lacunes bornées''.
 
   Maintenant on a que
   $\langle 1_A-\pi(1_A),\pi(1_A)\rangle = \langle
-  1_A-\pi(1_A),1\rangle =0$.
+  1_A-\pi(1_A),1\rangle =0$. En appliquant l'inégalité de
+  Cachy-Schwarz on obtient
+  \[\langle 1_A,\pi(1_A)\rangle
+  =\lVert \pi(1_A)\rVert_2^2
+  \geq\langle \pi(1_A),1\rangle^2
+  =\langle 1_A,1\rangle^2
+  =\mu(A)^2.\]
+  Il ensuit avec le théorème de von Neumann \ref{thm:moyenne} que
+  \[ \frac{1}{N}\sum_{n=M}^{M+N-1} \mu(A\cap T^{-n}A)\geq
+    \mu(A)^2-\varepsilon\] pour $N\geq N_0(\varepsilon)$
+  (la borne ne dépends pas de $M$). En particulier, il existe au moins
+  un entier $n$ dans chaque intervalle $[M,M+N[$ avec
+  $\mu(A\cap T^{-n}A)\geq\mu(A)^2-\varepsilon$ pour
+  $N\geq N_0(\varepsilon)$.
 \end{proof}
 
 \section{Fractions continues et la transformation de Gauss}
@@ -1770,10 +1783,16 @@ Fourier comme une measure sur $\RR/\ZZ$.
   \[\lim_{k\to\infty}(\psi_{k}\ast\psi_{k})(n)=1\]
   pour tout $n$. Un choix simple est
   $\psi_k(m)=\frac1{\sqrt{2k+1}}1_{\left| m\right|\leq k}$.
-
-  
 \end{proof}
 
+\section{Le principe de correspondance de Furstenberg}
+
+Rappelons l'idée clé de notre preuve du théorème de van der Waerden à
+l'aide de la dynamique topologique : prendre un contre-exemple putatif
+(ou pour la version finitaire, une suite de contre-exemples) et
+l'utiliser pour construire un système dynamique topologique sans
+points récurrents d'une certain manière. 
+
 % \chapter{Le théorème de Roth}
 
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