From 329eac02d5d7e74dcc636ec267ce2f9764f9897d Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Manfred Madritsch <made@gmx.at>
Date: Wed, 23 Mar 2022 14:08:55 +0100
Subject: [PATCH] Pomodoro 4.6
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polycopie.tex | 25 ++++++++++++++++++++++---
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index 059d85b..4d154a4 100644
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+++ b/polycopie.tex
@@ -1512,7 +1512,20 @@ naturels qui est à ``lacunes bornées''.
Maintenant on a que
$\langle 1_A-\pi(1_A),\pi(1_A)\rangle = \langle
- 1_A-\pi(1_A),1\rangle =0$.
+ 1_A-\pi(1_A),1\rangle =0$. En appliquant l'inégalité de
+ Cachy-Schwarz on obtient
+ \[\langle 1_A,\pi(1_A)\rangle
+ =\lVert \pi(1_A)\rVert_2^2
+ \geq\langle \pi(1_A),1\rangle^2
+ =\langle 1_A,1\rangle^2
+ =\mu(A)^2.\]
+ Il ensuit avec le théorème de von Neumann \ref{thm:moyenne} que
+ \[ \frac{1}{N}\sum_{n=M}^{M+N-1} \mu(A\cap T^{-n}A)\geq
+ \mu(A)^2-\varepsilon\] pour $N\geq N_0(\varepsilon)$
+ (la borne ne dépends pas de $M$). En particulier, il existe au moins
+ un entier $n$ dans chaque intervalle $[M,M+N[$ avec
+ $\mu(A\cap T^{-n}A)\geq\mu(A)^2-\varepsilon$ pour
+ $N\geq N_0(\varepsilon)$.
\end{proof}
\section{Fractions continues et la transformation de Gauss}
@@ -1770,10 +1783,16 @@ Fourier comme une measure sur $\RR/\ZZ$.
\[\lim_{k\to\infty}(\psi_{k}\ast\psi_{k})(n)=1\]
pour tout $n$. Un choix simple est
$\psi_k(m)=\frac1{\sqrt{2k+1}}1_{\left| m\right|\leq k}$.
-
-
\end{proof}
+\section{Le principe de correspondance de Furstenberg}
+
+Rappelons l'idée clé de notre preuve du théorème de van der Waerden à
+l'aide de la dynamique topologique : prendre un contre-exemple putatif
+(ou pour la version finitaire, une suite de contre-exemples) et
+l'utiliser pour construire un système dynamique topologique sans
+points récurrents d'une certain manière.
+
% \chapter{Le théorème de Roth}
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