Pomodoro 5.1

polycopie.tex

@@ -1705,7 +1705,7 @@ Dans ce chapitre nous allons démontrer le résultat suivant de Furstenberg et
 Sárközy. C'est peut-être une application très simples des idées de la théorie
 ergodique aux questions de la théorie combinatoire de nombres.
 
-\begin{theoreme}
+\begin{theoreme}\label{thm:furstenberg-sarkoezy}
   Soit $\delta>0$. Il existe $N_0(\delta)$ tel que si
   $N\geq N_0(\delta)$ et si $A\subset\{1,\ldots,N\}$ est tel que
   $\left| A\right|\geq \delta N$, alors ils existent deux éléments
@@ -1791,7 +1791,58 @@ Rappelons l'idée clé de notre preuve du théorème de van der Waerden à
 l'aide de la dynamique topologique : prendre un contre-exemple putatif
 (ou pour la version finitaire, une suite de contre-exemples) et
 l'utiliser pour construire un système dynamique topologique sans
-points récurrents d'une certain manière. 
+points récurrents d'une certain manière.
+
+L'idée ici est très similaire. Mais au lieu de créer un système
+dynamique topologique, nous forgeons un système dynamique mesure. Ceci
+afin de capturer correctement la notion d'un ensemble
+$A\subseteq\{1,\ldots,N\}$ ayant une densité positive.
+
+Voila la récurrence ergodique nous allons démontrer.
+
+\begin{theoreme}[Les carrés sont un ensemble de Poincaré]
+  Soit $(X,T,\mu)$ un système dynamique mesure et soit $S\subseteq X$
+  un ensemble mesurable avec $\mu(S)>0$. Alors il existe $n\geq1$ tel
+  que $\mu(S\cap T^{-n^2}S)>0$.
+\end{theoreme}
+
+Maintenant nous déduisons le théorème de Furstenberg-Sárközy (théorème 
+\ref{thm:furstenberg-sarkoezy}) de ce théorème.
+
+\begin{proof}[Déduction du théorème \ref{thm:furstenberg-sarkoezy}]
+  Supposons que le théorème est faut. Alors pour tout $N$ il existe un
+  ensemble $A_N\subseteq\{1,\ldots,N\}$ avec $\lvert
+  A_N\rvert\geq\delta N$ tel qu'il n'y a deux éléments dont
+  la différence est un carré.
+
+  Considérons l'ensemble (infini)
+  \[ A:=\bigcup_{N=1}^\infty (N^2+A_N);\] c'est l'ensemble où pour
+  tout $N$ on décale $A_N$ d'être dans $\{N^2+1,\ldots, N^2+N\}$ et
+  prenant l'union après (cet ensemble c'est un exemple d'un ensemble
+  ayant positive densité supérieur de Banach). L'ensemble $A$ peut
+  très bien avoir de nombreuses paires d'éléments qui différent par un
+  carré, mais ceci ne nous concerne pas.
+
+  Considérons l'espace métrique et compact $\Omega:=\{0,1\}^\ZZ$ avec
+  l'application du décalage $T\colon \Omega \to\Omega$ définie par
+  $(Tx)_n=x_{n+1}$. Soit $\omega_A\in \Omega$ le point correspondent
+  au ensemble $A$, et notons que $T^n\omega_A(0)=1$ si et seulement si
+  $n\in A$. Soit $X:=\overline{(T^n\omega_A)_{n\in\ZZ}}$ l'adhérence
+  du orbit de $\omega_A$ dans $\Omega$. Soit $S$ l'intersection de $X$
+  avec le cylindre $\{\omega\in \Omega\colon \omega(0)=1\}$.
+
+  Pour tout $N$ nous construisons une mesure de probabilité $\mu_N$
+  sur l'espace $X$ définie par
+  \[\mu_N:=\frac1N\sum_{n\in [M_N+1,M_N+N]}\delta_{T^n\omega_A},\]
+  où $\delta_x$ est la mesure de Dirac concentre sur le point $x$. On
+  voit que $\mu_N(S)$ est exactement la proportion de $n\in
+  [M_N+1,M_N+N]$ contenant dans $A$, qui est au moins égale à
+  $\delta$.
+
+  Soit $\mu$ la limite faible de la suite des mesures $\mu_N$. 
+\end{proof}
+
+% ---------------------------------------------------------------------------
 
 % \chapter{Le théorème de Roth}