From 30f32f888146cbdab874c23ec62d46fbf6d8ec14 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Manfred Madritsch <made@gmx.at> Date: Wed, 23 Mar 2022 15:36:21 +0100 Subject: [PATCH] Pomodoro 5.1 --- polycopie.tex | 55 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++-- 1 file changed, 53 insertions(+), 2 deletions(-) diff --git a/polycopie.tex b/polycopie.tex index 4d154a4..a91d975 100644 --- a/polycopie.tex +++ b/polycopie.tex @@ -1705,7 +1705,7 @@ Dans ce chapitre nous allons démontrer le résultat suivant de Furstenberg et Sárközy. C'est peut-être une application très simples des idées de la théorie ergodique aux questions de la théorie combinatoire de nombres. -\begin{theoreme} +\begin{theoreme}\label{thm:furstenberg-sarkoezy} Soit $\delta>0$. Il existe $N_0(\delta)$ tel que si $N\geq N_0(\delta)$ et si $A\subset\{1,\ldots,N\}$ est tel que $\left| A\right|\geq \delta N$, alors ils existent deux éléments @@ -1791,7 +1791,58 @@ Rappelons l'idée clé de notre preuve du théorème de van der Waerden à l'aide de la dynamique topologique : prendre un contre-exemple putatif (ou pour la version finitaire, une suite de contre-exemples) et l'utiliser pour construire un système dynamique topologique sans -points récurrents d'une certain manière. +points récurrents d'une certain manière. + +L'idée ici est très similaire. Mais au lieu de créer un système +dynamique topologique, nous forgeons un système dynamique mesure. Ceci +afin de capturer correctement la notion d'un ensemble +$A\subseteq\{1,\ldots,N\}$ ayant une densité positive. + +Voila la récurrence ergodique nous allons démontrer. + +\begin{theoreme}[Les carrés sont un ensemble de Poincaré] + Soit $(X,T,\mu)$ un système dynamique mesure et soit $S\subseteq X$ + un ensemble mesurable avec $\mu(S)>0$. Alors il existe $n\geq1$ tel + que $\mu(S\cap T^{-n^2}S)>0$. +\end{theoreme} + +Maintenant nous déduisons le théorème de Furstenberg-Sárközy (théorème +\ref{thm:furstenberg-sarkoezy}) de ce théorème. + +\begin{proof}[Déduction du théorème \ref{thm:furstenberg-sarkoezy}] + Supposons que le théorème est faut. Alors pour tout $N$ il existe un + ensemble $A_N\subseteq\{1,\ldots,N\}$ avec $\lvert + A_N\rvert\geq\delta N$ tel qu'il n'y a deux éléments dont + la différence est un carré. + + Considérons l'ensemble (infini) + \[ A:=\bigcup_{N=1}^\infty (N^2+A_N);\] c'est l'ensemble où pour + tout $N$ on décale $A_N$ d'être dans $\{N^2+1,\ldots, N^2+N\}$ et + prenant l'union après (cet ensemble c'est un exemple d'un ensemble + ayant positive densité supérieur de Banach). L'ensemble $A$ peut + très bien avoir de nombreuses paires d'éléments qui différent par un + carré, mais ceci ne nous concerne pas. + + Considérons l'espace métrique et compact $\Omega:=\{0,1\}^\ZZ$ avec + l'application du décalage $T\colon \Omega \to\Omega$ définie par + $(Tx)_n=x_{n+1}$. Soit $\omega_A\in \Omega$ le point correspondent + au ensemble $A$, et notons que $T^n\omega_A(0)=1$ si et seulement si + $n\in A$. Soit $X:=\overline{(T^n\omega_A)_{n\in\ZZ}}$ l'adhérence + du orbit de $\omega_A$ dans $\Omega$. Soit $S$ l'intersection de $X$ + avec le cylindre $\{\omega\in \Omega\colon \omega(0)=1\}$. + + Pour tout $N$ nous construisons une mesure de probabilité $\mu_N$ + sur l'espace $X$ définie par + \[\mu_N:=\frac1N\sum_{n\in [M_N+1,M_N+N]}\delta_{T^n\omega_A},\] + où $\delta_x$ est la mesure de Dirac concentre sur le point $x$. On + voit que $\mu_N(S)$ est exactement la proportion de $n\in + [M_N+1,M_N+N]$ contenant dans $A$, qui est au moins égale à + $\delta$. + + Soit $\mu$ la limite faible de la suite des mesures $\mu_N$. +\end{proof} + +% --------------------------------------------------------------------------- % \chapter{Le théorème de Roth} -- GitLab