Pomodoro 4.2

polycopie.tex

@@ -1083,7 +1083,7 @@ dual).
     \lVert S_Nf-S_Nf\circ T\rVert_2\leq \frac1N\left(\lVert
       f\rVert_2+\lVert U_T^Nf\rVert_2\right)\leq \frac2N.
   \end{equation}
-  Suppose que la sous-suite $\left\{S_{N_k}f\right\}_{k\geq1}$
+  Supposons que la sous-suite $\left\{S_{N_k}f\right\}_{k\geq1}$
   converge faiblement vers $g\in L^2(X)$. D'après (\ref{green:eq3.2})
   on voir que aussi $\left\{S_{N_k}f\circ T\right\}_{k\geq1}$ converge
   faiblement vers $g$, donc $g=g\circ T$ presque partout. Comme $T$
@@ -1505,7 +1505,44 @@ On a ajouté le point $0$ pour rentre l'espace compact.
 
 \begin{proof}
   L'idée est très similaire à la démonstration que la dilatation du
-  cercle est ergodique. Les détails sont un peu plus compliques. 
+  cercle est ergodique. Les détails sont un peu plus compliques.
+
+  Pour tout choix des entiers $k_1,\ldots,k_n\geq1$ définissons
+  l'application $\psi_{k_n,\ldots,k_1}\colon ]0,1]\to]0,1]$ par
+  \[\psi_{k_n,\ldots,k_1}(x):=\cfrac{1}{k_n+\cfrac{1}{k_{n-1}+\ddots+\frac{1}{k_1+x}}}\]
+  c'est-à-dire
+  \[\psi_{k_n,\ldots,k_1}=\phi_{k_n}\circ\cdots\circ\phi_{k_1},\]
+  où $\phi_k(x):=\frac{1}{k+x}$. Notons que $T^n\circ
+  \psi_{k_n,\ldots,k_1}$ est l'identité et alors toute image
+  réciproque de $x$ sur $T^n$ est de la forme
+  $\psi_{k_n,\ldots,k_1}(x)$ pour un choix de $k_i$.
+
+  Écrivons
+  $U_{k_n,\ldots,k_1}:=\psi_{k_n,\ldots,k_1}(]0,1[)$. Clairement
+  $U_{k_n,\ldots,k_1}$ est un intervalle. Nous affirmons qu'il a une
+  longueur maximale de $2^{-(n-1)/2}$. Nous démontrons cette
+  affirmation par récurrence. Supposons qu'elle soit vraie pour $n-2$
+  et démontrons pour $n$. Pour tout $0<a<b\leq1$ et pour tout $k\in
+  \NN^*$ on a
+  \[\phi_k(a)-\phi_k(b)=\frac{b-a}{(k+a)(k+b)}.\]
+  C'est plus petit que $b-a$, et c'est plus petit que $\tfrac12(b-a)$
+  si $k\geq2$ ou si $a,b\geq\tfrac12$. Donc l'affirmation est claire
+  si $k_{n-1}\geq2$. Supposons que $k_{n-1}=1$. Alors
+  $\phi_{k_{n-1}}(]a,b[)=(a',b')$ où $a',b'\geq\tfrac12$ et la
+  longueur de $\phi_{k_n}\circ \phi_{k_{n-1}}(]a,b[)$ est borne par
+  $\tfrac12(b-a)$ et l'affirmation est démontré.
+
+  Soit $[a,b]$ et $F\colon [a,b]\to\RR$ une fonction qui ne s'annule
+  jamais. Alors nous définissons la variation $\mathrm{var}_{[a,b]}F$
+  de $F$ sur $[a,b]$ par
+  \[\mathrm{var}_{[a,b]}F=\sup_{x,y\in[a,b]}\lvert\frac{F(x)}{F(y)}\rvert.\]
+  Notre prochaine affirmation est que la variation de la dérivée
+  $\psi'_{k_n,\ldots,k_1}$ est bornée par une constante indépendante
+  de $n$ et le choix des $k_n,\ldots,k_1$. Autrement dit l'application
+  $\psi_{k_n,\ldots,k_1}$ de $X$ dans $U_{k_n,\ldots,k_1}$ est presque
+  affine.
+
+  Pour voir cela, nous utilisons la dérivée de la composition.
 \end{proof}
 
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