From 2c8e7f99e2b382a12930df2f14a6e233056647ee Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Manfred Madritsch <made@gmx.at>
Date: Tue, 22 Mar 2022 18:14:07 +0100
Subject: [PATCH] Pomodoro 4.2
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polycopie.tex | 41 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++--
1 file changed, 39 insertions(+), 2 deletions(-)
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index 998bc6b..9d5f6b4 100644
--- a/polycopie.tex
+++ b/polycopie.tex
@@ -1083,7 +1083,7 @@ dual).
\lVert S_Nf-S_Nf\circ T\rVert_2\leq \frac1N\left(\lVert
f\rVert_2+\lVert U_T^Nf\rVert_2\right)\leq \frac2N.
\end{equation}
- Suppose que la sous-suite $\left\{S_{N_k}f\right\}_{k\geq1}$
+ Supposons que la sous-suite $\left\{S_{N_k}f\right\}_{k\geq1}$
converge faiblement vers $g\in L^2(X)$. D'après (\ref{green:eq3.2})
on voir que aussi $\left\{S_{N_k}f\circ T\right\}_{k\geq1}$ converge
faiblement vers $g$, donc $g=g\circ T$ presque partout. Comme $T$
@@ -1505,7 +1505,44 @@ On a ajouté le point $0$ pour rentre l'espace compact.
\begin{proof}
L'idée est très similaire à la démonstration que la dilatation du
- cercle est ergodique. Les détails sont un peu plus compliques.
+ cercle est ergodique. Les détails sont un peu plus compliques.
+
+ Pour tout choix des entiers $k_1,\ldots,k_n\geq1$ définissons
+ l'application $\psi_{k_n,\ldots,k_1}\colon ]0,1]\to]0,1]$ par
+ \[\psi_{k_n,\ldots,k_1}(x):=\cfrac{1}{k_n+\cfrac{1}{k_{n-1}+\ddots+\frac{1}{k_1+x}}}\]
+ c'est-à-dire
+ \[\psi_{k_n,\ldots,k_1}=\phi_{k_n}\circ\cdots\circ\phi_{k_1},\]
+ où $\phi_k(x):=\frac{1}{k+x}$. Notons que $T^n\circ
+ \psi_{k_n,\ldots,k_1}$ est l'identité et alors toute image
+ réciproque de $x$ sur $T^n$ est de la forme
+ $\psi_{k_n,\ldots,k_1}(x)$ pour un choix de $k_i$.
+
+ Écrivons
+ $U_{k_n,\ldots,k_1}:=\psi_{k_n,\ldots,k_1}(]0,1[)$. Clairement
+ $U_{k_n,\ldots,k_1}$ est un intervalle. Nous affirmons qu'il a une
+ longueur maximale de $2^{-(n-1)/2}$. Nous démontrons cette
+ affirmation par récurrence. Supposons qu'elle soit vraie pour $n-2$
+ et démontrons pour $n$. Pour tout $0<a<b\leq1$ et pour tout $k\in
+ \NN^*$ on a
+ \[\phi_k(a)-\phi_k(b)=\frac{b-a}{(k+a)(k+b)}.\]
+ C'est plus petit que $b-a$, et c'est plus petit que $\tfrac12(b-a)$
+ si $k\geq2$ ou si $a,b\geq\tfrac12$. Donc l'affirmation est claire
+ si $k_{n-1}\geq2$. Supposons que $k_{n-1}=1$. Alors
+ $\phi_{k_{n-1}}(]a,b[)=(a',b')$ où $a',b'\geq\tfrac12$ et la
+ longueur de $\phi_{k_n}\circ \phi_{k_{n-1}}(]a,b[)$ est borne par
+ $\tfrac12(b-a)$ et l'affirmation est démontré.
+
+ Soit $[a,b]$ et $F\colon [a,b]\to\RR$ une fonction qui ne s'annule
+ jamais. Alors nous définissons la variation $\mathrm{var}_{[a,b]}F$
+ de $F$ sur $[a,b]$ par
+ \[\mathrm{var}_{[a,b]}F=\sup_{x,y\in[a,b]}\lvert\frac{F(x)}{F(y)}\rvert.\]
+ Notre prochaine affirmation est que la variation de la dérivée
+ $\psi'_{k_n,\ldots,k_1}$ est bornée par une constante indépendante
+ de $n$ et le choix des $k_n,\ldots,k_1$. Autrement dit l'application
+ $\psi_{k_n,\ldots,k_1}$ de $X$ dans $U_{k_n,\ldots,k_1}$ est presque
+ affine.
+
+ Pour voir cela, nous utilisons la dérivée de la composition.
\end{proof}
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