correction of Furstenberg-Sarkozy-Proof

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@@ -1772,7 +1772,7 @@ Fourier comme une measure sur $\RR/\ZZ$.
   $\mathrm{d}\mu_k/\mathrm{d}\nu=f_k(\theta)$.
 
   Notons que la mesure $\mu_k$ est une mesure de probabilité
-  (autrement dit $\mu_k(\RR/\ZZ)=1$. En effet
+  (autrement dit $\mu_k(\RR/\ZZ)=1$). En effet,
   \[\mu_k(\RR/\ZZ)=\widehat{\mu_k}(0)
   =\langle x,x\rangle (\psi_k\ast\psi_k)(0)
   =(\psi_k\ast\psi_k)(0)
@@ -1838,19 +1838,19 @@ Maintenant nous déduisons le théorème de Furstenberg-Sárközy (théorème
   $(Tx)_n=x_{n+1}$. Soit $\omega_A\in \Omega$ le point correspondent
   au ensemble $A$, et notons que $T^n\omega_A(0)=1$ si et seulement si
   $n\in A$. Soit $X:=\overline{(T^n\omega_A)_{n\in\ZZ}}$ l'adhérence
-  du orbit de $\omega_A$ dans $\Omega$. Soit $S$ l'intersection de $X$
+  du orbit de $\omega_A$ dans $\Omega$ et soit $S$ l'intersection de $X$
   avec le cylindre $\{\omega\in \Omega\colon \omega(0)=1\}$.
 
   Pour tout $N$ nous construisons une mesure de probabilité $\mu_N$
   sur l'espace $X$ définie par
-  \[\mu_N:=\frac1N\sum_{n\in [M_N+1,M_N+N]}\delta_{T^n\omega_A},\]
+  \[\mu_N:=\frac1N\sum_{n=N^2+1}^{N^2+N}\delta_{T^n\omega_A},\]
   où $\delta_x$ est la mesure de Dirac concentre sur le point $x$. On
   voit que $\mu_N(S)$ est exactement la proportion de $n\in
-  [M_N+1,M_N+N]$ contenant dans $A$, qui est au moins égale à
+  [N^2+1,N^2+N]$ contenant dans $A$, qui est au moins égale à
   $\delta$.
 
   Soit $\mu$ la limite faible de la suite des mesures $\mu_N$. Pour simplifier
-  la notation supposons que la suite complète $\mu_N$ converge vers $\mu$ et ne pas
+  la notation supposons que la suite $\mu_N$ elle-même converge vers $\mu$ et ne pas
   seulement une sous-suite. Alors $\mu_N(S)\to\mu(S)$ et donc
   $\mu(S)\geq\delta$.
 
@@ -1858,10 +1858,10 @@ Maintenant nous déduisons le théorème de Furstenberg-Sárközy (théorème
   presque. En effet, puisque
   $\delta_{T^n\omega_A}(T^{-1}x)=\delta_{T^{n+1}\omega_A}(x)$ on obtient
   \[\mu_N\circ
-  T-\mu_N=\frac{1}{N}\left(\delta_{T^{M_N+1}\omega_A}-\delta_{T^{M_N+N+1}\omega_A}\right),\]
-  et donc pour chaque fonctino $f$ on a
+  T^{-1}-\mu_N=\frac{1}{N}\left(\delta_{T^{N^2+N+1}\omega_A}-\delta_{T^{N^2+1}\omega_A}\right),\]
+  et donc pour chaque fonction $f$ on a
   \[\lvert \int f\circ T\mathrm{d}\mu_N-\int f\mathrm{d}\mu_N\rvert
-  \leq 2\lVert f\rVert_{\infty}/N.\]
+  \leq \frac2N\lVert f\rVert_{\infty}.\]
   Puisque $\mu_N(f)\to\mu(f)$ et $\mu_N(f\circ T)\to\mu(f\circ T)$ (notons que
   $T$ est une homéomorphisme) on voit que $\mu(f\circ T)=\mu(f)$, c'est-à-dire
   $\mu$ est invariante par $T$.
@@ -1884,10 +1884,12 @@ section.
 Avec cette notation, notre théorème est équivalent à démontrer l'existence d'un
 entier $n\geq1$ tel que
 \[ \langle U^{n^2}f,f\rangle >0,\]
-où $f:=1_S$ ().
+où $f:=\mathbbm{1}_S$ (tout ce qui importe est que $f\geq 0$ et que $f$ ne s'annule pas
+presque partout).
 
-Avant nous traitons les somme exponentielles avec le carrés. En effet on peut
-démontrer la même pour des polynômes ayant au moins un coefficient irrationnel.
+Avant nous traitons les somme exponentielles avec le carrés qui appartiennent
+dans la démonstration. En effet, on peut démontrer la même pour des polynômes
+ayant au moins un coefficient irrationnel.
 
 \begin{lemme}[Théorème de Weyl]\label{lem:weyls-theorem}
   Soit $\alpha\in\RR\setminus \QQ$ un irrationnel. Alors
@@ -1929,13 +1931,13 @@ démontrer la même pour des polynômes ayant au moins un coefficient irrationne
 \end{proof}
 
 Dans un espace de Hilbert $L^2(X)$ nous identifions le sous-espace
-$L^2_{\text{rat}}(X)$ engendré par les valeurs propres de $U$ de valeur propre
-$e^{2\pi i\theta}$, $\theta\in \QQ$, bien que son complement orthogonal
-$L^{2\perp}_{\text{rat}}(X)$. D'après la théorie standard des espaces de Hilbert
-$L^2(X)$ est la somme directe de ces deux espaces. Alors nous pouvons
+$L^2_{\text{rat}}(X)$ engendré par les vecteurs propres de $U$ correspondent à
+une valeur propre $e^{2\pi i\theta}$ avec $\theta\in \QQ$, bien que son complement
+orthogonal $L^{2\perp}_{\text{rat}}(X)$. D'après la théorie standard des espaces
+de Hilbert $L^2(X)$ est la somme directe de ces deux espaces. Alors nous pouvons
 decomposer $f$ comme $f_{\text{rat}}+f_{\text{rat}}^{\perp}$.
 
-\begin{lemme}\label{lem:green3.1}
+\begin{lemme}\label{furstenberg:lem3.14}
   Soit $Q\geq1$ un entier positif. Alors
   \[ \lim_{N\to\infty}\frac1N\sum_{n=1}^N U^{Q^2n^2}x=0\]
   pour tout $x\in L_{\text{rat}}^{2\perp}$.
@@ -1954,7 +1956,7 @@ decomposer $f$ comme $f_{\text{rat}}+f_{\text{rat}}^{\perp}$.
   rationnel $\theta$.
 
   \begin{proof}[Démonstration de l'affirmation]
-    Supposons qu'il existe $\theta\in\QQ$ avec $\mu(\{\theta\})$. Considérons
+    Supposons qu'il existe $\theta\in\QQ$ avec $\mu(\{\theta\})>0$. Considérons
     l'opérateur $\widetilde{U}:=e^{2\pi i \theta}U$. Il est une contraction sur
     $H$. Alors par le théorème de von Neumann dans l'éspace de Hilbert (théorème
     \ref{thm:von-Neumann-for-Hilbert-spaces}) on a
@@ -1991,35 +1993,37 @@ decomposer $f$ comme $f_{\text{rat}}+f_{\text{rat}}^{\perp}$.
   convergence dominée.
 \end{proof}
 
-  Alors on a $\langle f_{\text{rat}},1\rangle = \langle f,1\rangle>0$, et donc
-  $f_{\text{rat}}$ ne s'annule pas presque partout. Il en résulte que $\langle
-  f,f_{\text{rat}}\rangle = \langle f_{\text{rat}},f_{\text{rat}}\rangle \neq
-  0$.
-  
-  Soit $\varepsilon >0$. Alors on peut trouver une combinaison linéaire finie
-  $\widetilde{f}_{\text{rat}}=\sum_{\theta}c_\theta x_\theta$, où $U x_\theta =
-  e^{2\pi i \theta} x_{\theta}$ et les $\theta$ tous sont rationnels, tel que
-  $\lVert f_{\text{rat}}-\widetilde{f}_{\text{rat}}\rVert<\varepsilon$. Soit $Q$
-  un dénominateur commun de tous les $\theta$. Alors clairement
-  $U^{Q^2n^2}\widetilde{f}_{\text{rat}}=\widetilde{f}_{\text{rat}}$ pour tout
-  entier $n\geq 1$. En particulière,
-  \[ \frac{1}{N}\sum_{n=1}^N
-  U^{Q^2n^2}\widetilde{f}_{\text{rat}}=\widetilde{f}_{\text{rat}}\]
-  et donc
-  \[\lVert  \frac{1}{N}\sum_{n=1}^N
-  U^{Q^2n^2}f_{\text{rat}}-f_{\text{rat}}\rVert < 2\varepsilon.\]
-  Mais il s'ensuit du lemme \ref{lem:green3.1} que
-  \[ \lim_{N\to+\infty} \frac{1}{N}\sum_{n=1}^N
-  U^{Q^2n^2}f_{\text{rat}}^{\perp}=0,\]
-  et donc on voit que
-  \[ \lim_{N\to+\infty}\lVert\frac{1}{N}\sum_{n=1}^N
-  U^{Q^2n^2}f-f_{\text{rat}}\rVert<2\varepsilon.\]
-  En prenant des produits avec $f$ et en rappelant notre hypothèse $\langle
-  U^{m^2}f,f\rangle =0$ pour tout $m\geq1$, on obtient que
-  \[ \lvert\langle f_{\text{rat}},f\rangle \rvert < 2\varepsilon \lVert
-  f\rVert.\]
-  Puisque $\varepsilon$ était arbitraire nous concluons que $\langle
-  f_{\text{rat}}, f\rangle=0$ en contradiction avec ce qu'on a montré avant.
+\begin{proposition}\label{furstenberg:prop3.15}
+  Soit $U$ une operteur unitaire sur un espace de Hilbert $\mathcal{H}$ et soit $x\in\mathcal{H}$ un
+  vecteur tel que $\langle U^{m^2} x,x\rangle=0$ pour tout $m\geq1$. Alors $x$
+  soit orthogonal aux tous vecteurs propres de $U$ dont la valeur propre est une
+  racine d'unité.
+\end{proposition}
+
+\begin{proof}
+  Soit $x=x_1+x_2$ avec $x_1\in L_{\text{rat}}^2(X)$ et $x_2\perp
+  L_{\text{rat}}^2(X)$. Soit $\varepsilon>0$ et soit $m$ tel qu'il existe $x_1'$
+  avec $U^mx'_1=x'_1$ et $\lVert x_1-x'_1\rVert<\varepsilon$. Pour tout $n$,
+  \[\lVert U^{mn}x_1-x_1\rVert=\lVert U^{mn}x_1-U^{mn}x'_1+x'_1-x_1\rVert
+  \leq \lVert x_1-x'_1\rVert +\lVert x'_1-x_1\rVert<2\varepsilon.\] Donc
+  \[\lVert \frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}U^{m^2n^2}x_1-x_1\rVert <2\varepsilon.\]
+  Par lemme \ref{furstenberg:lem3.14} on a
+  \[\frac1{N}\sum_{n=0}^{N-1}U^{m^2n^2}x_2\to0,\]
+  et alors pour $N$ assez grand,
+  \[\lVert\frac1{N}\sum_{n=0}^{N-1}U^{m^2n^2}x-x_1\rVert<3\varepsilon.\]
+  D'après $\langle U^{(mn)^2}x,x\rangle=0$ pour tout $n$, on obtient (par
+  l'inégalité de Cauchy-Schwarz)
+  \[\lvert \langle x_1,x\rangle\rvert=\lvert \left\langle x_1 - \frac1{N}\sum_{n=0}^{N-1}U^{m^2n^2}x,x\right\rangle\rvert<3\varepsilon\lVert x\rVert\]
+  et puisque $\varepsilon$ était arbitraire on a $\langle x_1,x\rangle =0$, et
+  donc $x_1=0$.
+\end{proof}
+
+Si $\mu(T^{-n^2}A\cap A)=0$, alors la fonction $\mathbbm{1}_A$ satisfait
+$\langle U^{n^2}\mathbbm{1}_A,\mathbbm{1}_A\rangle=0$ pour tout $n\geq1$.
+D'après proposition \ref{furstenberg:prop3.15} on obtient que $\mathbbm{1}_A$
+est orthogonal à tout vecteur propre dont la valeur propre est une racine
+d'unité. Mais pour la fonction constante égale à $1$ on obtient
+$\langle \mathbbm{1}_A,1\rangle = \mu(A)\neq 0$ en contradiction.
 
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