diff --git a/polycopie.tex b/polycopie.tex index d2539b6f1213e6af2751927f652ba2839dc08aa0..a3a0d71fcd8c8d5d503631ee89dfc0349cc9f4b3 100644 --- a/polycopie.tex +++ b/polycopie.tex @@ -1772,7 +1772,7 @@ Fourier comme une measure sur $\RR/\ZZ$. $\mathrm{d}\mu_k/\mathrm{d}\nu=f_k(\theta)$. Notons que la mesure $\mu_k$ est une mesure de probabilité - (autrement dit $\mu_k(\RR/\ZZ)=1$. En effet + (autrement dit $\mu_k(\RR/\ZZ)=1$). En effet, \[\mu_k(\RR/\ZZ)=\widehat{\mu_k}(0) =\langle x,x\rangle (\psi_k\ast\psi_k)(0) =(\psi_k\ast\psi_k)(0) @@ -1838,19 +1838,19 @@ Maintenant nous déduisons le théorème de Furstenberg-Sárközy (théorème $(Tx)_n=x_{n+1}$. Soit $\omega_A\in \Omega$ le point correspondent au ensemble $A$, et notons que $T^n\omega_A(0)=1$ si et seulement si $n\in A$. Soit $X:=\overline{(T^n\omega_A)_{n\in\ZZ}}$ l'adhérence - du orbit de $\omega_A$ dans $\Omega$. Soit $S$ l'intersection de $X$ + du orbit de $\omega_A$ dans $\Omega$ et soit $S$ l'intersection de $X$ avec le cylindre $\{\omega\in \Omega\colon \omega(0)=1\}$. Pour tout $N$ nous construisons une mesure de probabilité $\mu_N$ sur l'espace $X$ définie par - \[\mu_N:=\frac1N\sum_{n\in [M_N+1,M_N+N]}\delta_{T^n\omega_A},\] + \[\mu_N:=\frac1N\sum_{n=N^2+1}^{N^2+N}\delta_{T^n\omega_A},\] où $\delta_x$ est la mesure de Dirac concentre sur le point $x$. On voit que $\mu_N(S)$ est exactement la proportion de $n\in - [M_N+1,M_N+N]$ contenant dans $A$, qui est au moins égale à + [N^2+1,N^2+N]$ contenant dans $A$, qui est au moins égale à $\delta$. Soit $\mu$ la limite faible de la suite des mesures $\mu_N$. Pour simplifier - la notation supposons que la suite complète $\mu_N$ converge vers $\mu$ et ne pas + la notation supposons que la suite $\mu_N$ elle-même converge vers $\mu$ et ne pas seulement une sous-suite. Alors $\mu_N(S)\to\mu(S)$ et donc $\mu(S)\geq\delta$. @@ -1858,10 +1858,10 @@ Maintenant nous déduisons le théorème de Furstenberg-Sárközy (théorème presque. En effet, puisque $\delta_{T^n\omega_A}(T^{-1}x)=\delta_{T^{n+1}\omega_A}(x)$ on obtient \[\mu_N\circ - T-\mu_N=\frac{1}{N}\left(\delta_{T^{M_N+1}\omega_A}-\delta_{T^{M_N+N+1}\omega_A}\right),\] - et donc pour chaque fonctino $f$ on a + T^{-1}-\mu_N=\frac{1}{N}\left(\delta_{T^{N^2+N+1}\omega_A}-\delta_{T^{N^2+1}\omega_A}\right),\] + et donc pour chaque fonction $f$ on a \[\lvert \int f\circ T\mathrm{d}\mu_N-\int f\mathrm{d}\mu_N\rvert - \leq 2\lVert f\rVert_{\infty}/N.\] + \leq \frac2N\lVert f\rVert_{\infty}.\] Puisque $\mu_N(f)\to\mu(f)$ et $\mu_N(f\circ T)\to\mu(f\circ T)$ (notons que $T$ est une homéomorphisme) on voit que $\mu(f\circ T)=\mu(f)$, c'est-à-dire $\mu$ est invariante par $T$. @@ -1884,10 +1884,12 @@ section. Avec cette notation, notre théorème est équivalent à démontrer l'existence d'un entier $n\geq1$ tel que \[ \langle U^{n^2}f,f\rangle >0,\] -où $f:=1_S$ (). +où $f:=\mathbbm{1}_S$ (tout ce qui importe est que $f\geq 0$ et que $f$ ne s'annule pas +presque partout). -Avant nous traitons les somme exponentielles avec le carrés. En effet on peut -démontrer la même pour des polynômes ayant au moins un coefficient irrationnel. +Avant nous traitons les somme exponentielles avec le carrés qui appartiennent +dans la démonstration. En effet, on peut démontrer la même pour des polynômes +ayant au moins un coefficient irrationnel. \begin{lemme}[Théorème de Weyl]\label{lem:weyls-theorem} Soit $\alpha\in\RR\setminus \QQ$ un irrationnel. Alors @@ -1929,13 +1931,13 @@ démontrer la même pour des polynômes ayant au moins un coefficient irrationne \end{proof} Dans un espace de Hilbert $L^2(X)$ nous identifions le sous-espace -$L^2_{\text{rat}}(X)$ engendré par les valeurs propres de $U$ de valeur propre -$e^{2\pi i\theta}$, $\theta\in \QQ$, bien que son complement orthogonal -$L^{2\perp}_{\text{rat}}(X)$. D'après la théorie standard des espaces de Hilbert -$L^2(X)$ est la somme directe de ces deux espaces. Alors nous pouvons +$L^2_{\text{rat}}(X)$ engendré par les vecteurs propres de $U$ correspondent à +une valeur propre $e^{2\pi i\theta}$ avec $\theta\in \QQ$, bien que son complement +orthogonal $L^{2\perp}_{\text{rat}}(X)$. D'après la théorie standard des espaces +de Hilbert $L^2(X)$ est la somme directe de ces deux espaces. Alors nous pouvons decomposer $f$ comme $f_{\text{rat}}+f_{\text{rat}}^{\perp}$. -\begin{lemme}\label{lem:green3.1} +\begin{lemme}\label{furstenberg:lem3.14} Soit $Q\geq1$ un entier positif. Alors \[ \lim_{N\to\infty}\frac1N\sum_{n=1}^N U^{Q^2n^2}x=0\] pour tout $x\in L_{\text{rat}}^{2\perp}$. @@ -1954,7 +1956,7 @@ decomposer $f$ comme $f_{\text{rat}}+f_{\text{rat}}^{\perp}$. rationnel $\theta$. \begin{proof}[Démonstration de l'affirmation] - Supposons qu'il existe $\theta\in\QQ$ avec $\mu(\{\theta\})$. Considérons + Supposons qu'il existe $\theta\in\QQ$ avec $\mu(\{\theta\})>0$. Considérons l'opérateur $\widetilde{U}:=e^{2\pi i \theta}U$. Il est une contraction sur $H$. Alors par le théorème de von Neumann dans l'éspace de Hilbert (théorème \ref{thm:von-Neumann-for-Hilbert-spaces}) on a @@ -1991,35 +1993,37 @@ decomposer $f$ comme $f_{\text{rat}}+f_{\text{rat}}^{\perp}$. convergence dominée. \end{proof} - Alors on a $\langle f_{\text{rat}},1\rangle = \langle f,1\rangle>0$, et donc - $f_{\text{rat}}$ ne s'annule pas presque partout. Il en résulte que $\langle - f,f_{\text{rat}}\rangle = \langle f_{\text{rat}},f_{\text{rat}}\rangle \neq - 0$. - - Soit $\varepsilon >0$. Alors on peut trouver une combinaison linéaire finie - $\widetilde{f}_{\text{rat}}=\sum_{\theta}c_\theta x_\theta$, où $U x_\theta = - e^{2\pi i \theta} x_{\theta}$ et les $\theta$ tous sont rationnels, tel que - $\lVert f_{\text{rat}}-\widetilde{f}_{\text{rat}}\rVert<\varepsilon$. Soit $Q$ - un dénominateur commun de tous les $\theta$. Alors clairement - $U^{Q^2n^2}\widetilde{f}_{\text{rat}}=\widetilde{f}_{\text{rat}}$ pour tout - entier $n\geq 1$. En particulière, - \[ \frac{1}{N}\sum_{n=1}^N - U^{Q^2n^2}\widetilde{f}_{\text{rat}}=\widetilde{f}_{\text{rat}}\] - et donc - \[\lVert \frac{1}{N}\sum_{n=1}^N - U^{Q^2n^2}f_{\text{rat}}-f_{\text{rat}}\rVert < 2\varepsilon.\] - Mais il s'ensuit du lemme \ref{lem:green3.1} que - \[ \lim_{N\to+\infty} \frac{1}{N}\sum_{n=1}^N - U^{Q^2n^2}f_{\text{rat}}^{\perp}=0,\] - et donc on voit que - \[ \lim_{N\to+\infty}\lVert\frac{1}{N}\sum_{n=1}^N - U^{Q^2n^2}f-f_{\text{rat}}\rVert<2\varepsilon.\] - En prenant des produits avec $f$ et en rappelant notre hypothèse $\langle - U^{m^2}f,f\rangle =0$ pour tout $m\geq1$, on obtient que - \[ \lvert\langle f_{\text{rat}},f\rangle \rvert < 2\varepsilon \lVert - f\rVert.\] - Puisque $\varepsilon$ était arbitraire nous concluons que $\langle - f_{\text{rat}}, f\rangle=0$ en contradiction avec ce qu'on a montré avant. +\begin{proposition}\label{furstenberg:prop3.15} + Soit $U$ une operteur unitaire sur un espace de Hilbert $\mathcal{H}$ et soit $x\in\mathcal{H}$ un + vecteur tel que $\langle U^{m^2} x,x\rangle=0$ pour tout $m\geq1$. Alors $x$ + soit orthogonal aux tous vecteurs propres de $U$ dont la valeur propre est une + racine d'unité. +\end{proposition} + +\begin{proof} + Soit $x=x_1+x_2$ avec $x_1\in L_{\text{rat}}^2(X)$ et $x_2\perp + L_{\text{rat}}^2(X)$. Soit $\varepsilon>0$ et soit $m$ tel qu'il existe $x_1'$ + avec $U^mx'_1=x'_1$ et $\lVert x_1-x'_1\rVert<\varepsilon$. Pour tout $n$, + \[\lVert U^{mn}x_1-x_1\rVert=\lVert U^{mn}x_1-U^{mn}x'_1+x'_1-x_1\rVert + \leq \lVert x_1-x'_1\rVert +\lVert x'_1-x_1\rVert<2\varepsilon.\] Donc + \[\lVert \frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}U^{m^2n^2}x_1-x_1\rVert <2\varepsilon.\] + Par lemme \ref{furstenberg:lem3.14} on a + \[\frac1{N}\sum_{n=0}^{N-1}U^{m^2n^2}x_2\to0,\] + et alors pour $N$ assez grand, + \[\lVert\frac1{N}\sum_{n=0}^{N-1}U^{m^2n^2}x-x_1\rVert<3\varepsilon.\] + D'après $\langle U^{(mn)^2}x,x\rangle=0$ pour tout $n$, on obtient (par + l'inégalité de Cauchy-Schwarz) + \[\lvert \langle x_1,x\rangle\rvert=\lvert \left\langle x_1 - \frac1{N}\sum_{n=0}^{N-1}U^{m^2n^2}x,x\right\rangle\rvert<3\varepsilon\lVert x\rVert\] + et puisque $\varepsilon$ était arbitraire on a $\langle x_1,x\rangle =0$, et + donc $x_1=0$. +\end{proof} + +Si $\mu(T^{-n^2}A\cap A)=0$, alors la fonction $\mathbbm{1}_A$ satisfait +$\langle U^{n^2}\mathbbm{1}_A,\mathbbm{1}_A\rangle=0$ pour tout $n\geq1$. +D'après proposition \ref{furstenberg:prop3.15} on obtient que $\mathbbm{1}_A$ +est orthogonal à tout vecteur propre dont la valeur propre est une racine +d'unité. Mais pour la fonction constante égale à $1$ on obtient +$\langle \mathbbm{1}_A,1\rangle = \mu(A)\neq 0$ en contradiction. % ---------------------------------------------------------------------------