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@@ -1228,7 +1228,7 @@ théorème.
 
 \section{Le théorème ergodique presque partout}
 
-Les théorème ergodiques ponctuels capturent l'essence de la théorie
+Les théorème ergodiques en convergence simple capturent l'essence de la théorie
 ergodique. Nous allons donner une preuve plus ``détaillée'' que
 d'habitude.
 
@@ -1240,7 +1240,7 @@ d'habitude.
   l'espérance conditionnelle $f\mapsto \mathbb{E}(f\vert
   \mathcal{F}_0)$. Alors $S_Nf\to\pi(f)$ converge simplement presque
   partout. En particulière, si $T$ est ergodique les moyennes
-  temporelle $S_Nf$ converge simplement vers les moyennes de l'espace
+  temporelle $S_Nf$ converge simplement vers les moyennes spatial
   $\overline{f}=\int f\mathrm{d}\mu$ presque partout.
 \end{theoreme}
 
@@ -1249,34 +1249,36 @@ Pour tout entier $L\geq1$ on écrit $S^*_Lf(x):=\max_{M\leq
   L}\frac{1}{M}\sum_{m=0}^{M-1}f(T^mx)$. Soit
 $S^*f(x):=\sup_LS^*_Lf(x)$. Dans le jargon de l'analyse, le théorème
 ergodique maximal est l'affirmation que l'opérateur $S^*$ satisfait à
-une inégalité de type (1,1) faible.
+une inégalité de type $(1,1)$ faible. Rappelons qu'on dit que un opérateur $T$
+à valeurs réelles défini sur un espace mesurable $(X,\mu)$ est de type $(p,p)$ faible s'il
+existe une constante $C>0$ telle que
+\[\mu({\lvert Tf\rvert>\lambda}) \leq C\lambda^{-1/p}\lVert f\rVert_p.\]
 
 \begin{proposition}[Théorème ergodique maximal]
-  \label{thm-ergodique-max}
+  \label{prop:thm-ergodique-max}
   Soit $(X,\mu,T)$ un
-  système dynamique mesuré et soit $\lambda>0$. Alors $\mu\{x\colon
-  S^*f(x)\geq\lambda\}\leq 4\lVert f\rVert_1/\lambda$.
+  système dynamique mesuré et soit $\lambda>0$. Alors \[\mu\left(\{x\colon
+  S^*f(x)\geq\lambda\}\right)\leq \frac{4}{\lambda}\lVert f\rVert_1.\]
 \end{proposition}
 
-\begin{proof}
-  Nous appliquons l'inégalité maximale de Hardy et Littlewood aux
-  fonctions $F\colon \mathbb{Z}\to\mathbb{R}$. Étant donné une telle
-  fonction, définissons la fonction maximal $F^*$ par
-  \[ F^*(x):=\sup_{M\geq 1}\frac{1}{M}\sum_{m=0}^{M-1}F(x+m).\]
-\end{proof}
+La démonstration port sur une application de l'inégalité maximale de Hardy et Littlewood aux fonctions
+$F\colon \mathbb{Z}\to\mathbb{R}$. Étant donné une telle fonction, définissons
+la fonction maximal $F^*$ par
+\[ F^*(x):=\sup_{M\geq 1}\frac{1}{M}\sum_{m=0}^{M-1}F(x+m).\]
 
 L'inégalité maximale de Hardy et Littlewood dit que l'opérateur
 maximal $F\mapsto F^*$ est de type $(1,1)$ faible. Nous remarquons
 qu'il est possible de généraliser ce théorème de nombreuses manières
 différentes, et il existe une branche entière de l'analyse consacrée à
-l'étude de tels théorèmes. Dans ce cas particulier, cependant, la
+l'étude de telle inégalités. Dans ce cas particulier, cependant, la
 preuve est assez simple.
 
-\begin{theoreme}[Inégalité maximale de Hardy et LIttlewood pour la
-  ligne] Soit $\lambda>0$. Alors on a $\#\{x\colon
-  F^*(x)\geq\lambda\}\leq 4\lVert
-  F\rVert_{\ell^1(\mathbb{Z}}/\lambda$.
-\end{theoreme}
+\begin{lemme}[Inégalité maximale de Hardy et Littlewood pour $F$]
+  \label{lem:Hardy-Littlewood-maximal-inequality}
+  Soit $\lambda>0$. Alors on a\[\#\{x\colon
+  F^*(x)\geq\lambda\}\leq \frac{4}{\lambda}\lVert
+  F\rVert_{\ell^1(\mathbb{Z})}.\]
+\end{lemme}
 
 \begin{proof}
   Soit $A\subseteq\mathbb{Z}$ l'ensemble de tout $x$ tel que
@@ -1286,12 +1288,15 @@ preuve est assez simple.
   $I_x:=\{x,\ldots, x+M-1\}$; donc $F$ est en moyenne au moins
   $\lambda/2$ à tout élément de $I_x$.
 
-  L'affirmation est la suivante qu'il existe un ensemble $A'\subseteq
+  \textit{Affirmation.} Il existe un ensemble $A'\subseteq
   A$ tel que les intervalles $I_x$ avec $x\in A'$ sont disjoints, et
   tel que $\sum_{x\in A'}\lvert
-  I_x\rvert\geq\frac12\lvert\bigcup_{x\in A}I_x\rvert$. Une fois ceci
+  I_x\rvert\geq\frac12\lvert\bigcup_{x\in A}I_x\rvert$.
+  
+  Une fois ceci
   prouvé, nous avons
   \[\lVert F\rVert_{\ell^1(\mathbb{Z})}
+    =\sum_{n\in\ZZ}\lvert F(n)\rvert
     \geq\frac\lambda2\sum_{x\in A'}\lvert I_x\rvert
     \geq\frac\lambda4\lvert\bigcup_{x\in A}I_x\rvert
     \geq\frac\lambda4\lvert A\rvert,\]
@@ -1310,9 +1315,9 @@ preuve est assez simple.
   total, on a le résultat demandé.
 \end{proof}
 
-\begin{proof}[Démonstration du théorème \ref{thm-ergodique-max}]
+\begin{proof}[Démonstration de la proposition \ref{prop:thm-ergodique-max}]
   Soit $\lambda>0$, soient $N\gg L\geq1$ des entiers et soit $x\in X$
-  fixé. Nous appliquons l'inégalité de Hardy et Littlewood maximal à
+  fixé. Nous appliquons l'inégalité de Hardy et Littlewood maximal (lemme ) à
   une version tronquée de la fonction $n\mapsto f(T^nx)$, plus
   précisément,
   \[F(n):=\begin{cases}f(T^nx) &\text{si }0\leq n<N+L\text{ et}\\
@@ -1327,47 +1332,48 @@ preuve est assez simple.
   $T$ on obtient
   \[\int_{X}\lvert\left\{n\in\{1,\ldots N\}\colon
       \max_{M\leq L}\frac1M \sum_{m=0}^{M-1}
-      f(T^{n+m}x)\geq\lambda\right\}\rvert \leq\frac{C(N+L)\lVert
+      f(T^{n+m}x)\geq\lambda\right\}\rvert\mathrm{d}x
+      \leq\frac{4(N+L)\lVert
       f\rVert_1}{\lambda}.\] Maintenant, la fonction indicatrice de
   l'événement
   $\max_{M\leq L}\frac1M \sum_{m=0}^{M-1} f(T^{n+m}x)\geq\lambda$ est
   une fonction mesurable de $n$ et $x$ sur l'espace
-  $\ZZ\times\NN$. Par le théorème de Fibini nous pouvons échanger
+  $\NN\times\ZZ$. Par le théorème de Fubini nous pouvons échanger
   l'ordre pour obtenir
   \[\sum_{n=1}^N\mu\left(\left\{x\in X\colon
       \max_{M\leq L}\frac1M \sum_{m=0}^{M-1}
       f(T^{n+m}x)\geq\lambda\right\}\right)
-    \leq\frac{C(N+L)\lVert f\rVert_1}{\lambda}.\]
+    \leq\frac{4(N+L)\lVert f\rVert_1}{\lambda}.\]
   Encore par l'invariance de $\mu$ par $T$ nous obtenons
   \[N\mu\left(\left\{x\in X\colon
       \max_{M\leq L}\frac1M \sum_{m=0}^{M-1}
       f(T^{m}x)\geq\lambda\right\}\right)
-    \leq\frac{C(N+L)\lVert f\rVert_1}{\lambda}.\]
+    \leq\frac{4(N+L)\lVert f\rVert_1}{\lambda}.\]
   Autrement dit on a
   \[\mu\left(\left\{x\in X\colon
       S_L^*f(x)\geq\lambda\right\}\right)
-  \leq\frac{C(N+L)\lVert f\rVert_1}{N\lambda}.\]
+  \leq\frac{4(N+L)\lVert f\rVert_1}{N\lambda}.\]
   En laissant $L$ et $N$ tends vers l'infinie, avec $N$ plus vite que
   $L$, on obtient
   \[\mu\left(\left\{x\in X\colon
       S^*f(x)\geq\lambda\right\}\right)
-  \leq\frac{C\lVert f\rVert_1}{\lambda}\]
-  qui est le théorème avec une constante plus faible que demandée.
+  \leq\frac{4\lVert f\rVert_1}{\lambda}.\qedhere\]
 \end{proof}
 
 \begin{proof}[Démonstration du théorème \ref{thm-ergodique-simple}]
   Il suffit de démontrer pour tout $\varepsilon>0$ que
+  l'ensemble
   \[ E_\varepsilon:=\{x\in X\colon \limsup_{N\to\infty} \lvert
     S_Nf(x)-\pi(f)\rvert\geq\varepsilon\}\]
   a la mesure zéro.
 
   Soit $\delta>0$. Dans la démonstration du théorème de von Neumann
   (théorème \ref{thm:ergodique-moyenne}) nous avons décomposé un
-  fonction $f\in L^2(X)$ comme
+  fonction $\widetilde{f}\in L^2(X)$ comme
   \begin{gather}\label{green:eq5.1}
-    f=\pi(f)+\partial g+h,
+    \widetilde{f}=\pi(\widetilde{f})+\partial \widetilde{g}+\widetilde{h},
   \end{gather}
-  où $g\in L^2(X)$ et $\lVert h\rVert_2\leq \delta$.
+  où $\widetilde{g}\in L^2(X)$ et $\lVert \widetilde{h}\rVert_2\leq \delta$.
 
   Dans le théorème ergodic de Birkhoff, nous opérons sous l'hypothèse
   plus faible que $f\in L^1(X)$, et pour traiter cette hypothèse, nous
@@ -1378,7 +1384,7 @@ preuve est assez simple.
   f-f_0\rVert\leq\delta$. En appliquant (\ref{green:eq5.1}) à cette
   fonction on obtient la décomposition
   \[ f_0=\pi(f_0)+\partial g_0+h_0\]
-  avec $\lVert h_0\rVert_2\leq \delta$. Alors
+  avec $g_0\in L^2(X)$ et $\lVert h_0\rVert_2\leq \delta$. Alors
   \[ f=\pi(f)+\partial g_0+h_1,\]
   où $h_1:=h_0+(f-f_0)-(\pi(f)-\pi(f_0))$. Notons que $\lVert
   h_1\rVert_1\leq \lVert h_0\rVert_1+2\delta\leq 3\delta$.
@@ -1399,7 +1405,7 @@ preuve est assez simple.
   Le premier terme à droite peut être analysé comme précédemment ; la
   somme se télescope et on obtient
   \[\lvert S_N(\partial g)(x)\rvert
-    =\lvert\frac1N \left(g(x)-g(T^{n-1}(x))\right)\rvert,\]
+    =\lvert\frac1N \left(g(x)-g(T^{N}(x))\right)\rvert,\]
   qui tends vers zéro pour tout $x$ puisque $g\in L^\infty(X)$. Donc
   $E_\varepsilon$ est contenu, sauf un ensemble de mesure zéro,
   dans l'ensemble
@@ -1408,8 +1414,8 @@ preuve est assez simple.
   Ceci est contenu dans l'ensemble
   \[\left\{x\in X\colon \lvert
       S^*h(x)\rvert\geq\varepsilon\right\}\]
-  qui, par le théorème ergodique maximale (théorème
-  \ref{thm-ergodique-max}) et la borne pour $\lVert h\rVert_1$ a une
+  qui, par le théorème ergodique maximale (proposition
+  \ref{prop:thm-ergodique-max}) et la borne pour $\lVert h\rVert_1$ a une
   mesure plus petit que $4\delta/\varepsilon$. Puisque $\delta$ était
   arbitraire on a $\mu(E_\varepsilon)=0$ comme demandé.
 \end{proof}
@@ -1421,10 +1427,10 @@ preuve est assez simple.
 \section{Nombres normaux}
 
 Soit $x\in[0,1]$. Pour $b\geq2$ un entier on a la représentation
-\[x=\sum_{i\geq1}\frac{a_i}{b^i}=0.a_1a_2a_3\ldots\]
-avec $a_i\in\{0,1,\ldots,b-1\}$. Pour chaque bloc de $\ell$ chiffres
-$d_1\ldots d_\ell$, nous comptons la fréquence de son apparition parmi
-les premiers $N$ chiffres. On dit que $x$ est normal en base $b$ si
+\[x=\sum_{i\geq1}\frac{a_i}{b^i}=0.a_1a_2a_3\ldots\] avec
+$a_i\in\{0,1,\ldots,b-1\}$. Pour chaque bloc de $\ell$ chiffres $d_1\ldots
+d_\ell$, nous regardons la fréquence de son apparitions parmi les premiers $N$
+chiffres. On dit que $x$ est normal en base $b$ si
 \[
   \lim_{N\to\infty}\frac1N\lvert\left\{0\leq n< N\colon
   a_{n+1}=d_1,\ldots, a_{n+\ell}=d_\ell\right\}\rvert=b^{-\ell},
@@ -1535,10 +1541,10 @@ $T(x)=\frac1x-\left\lfloor \frac1x\right\rfloor$ si $x\neq 0$ et $T(0)=0$ sinon.
 On a ajouté le point $0$ pour rentre l'espace compact.
 
 \begin{lemme}
-  Soit $\mu$ la mesure de Lebesgue sur $[0,1]$, et soit $nu$ une autre mesure
+  Soit $\mu$ la mesure de Lebesgue sur $[0,1]$, et soit $\nu$ une autre mesure
   définie par 
   \[\nu(E):=\frac1{\ln 2}\int_E\frac{\mathrm{d}\mu(x)}{1+x}.\]
-  Alors $(X,T,\nu)$ est une système dynamique mesuré.
+  Alors $(X,T,\nu)$ est un système dynamique mesuré.
 \end{lemme}
 
 \begin{proof}
@@ -1572,7 +1578,7 @@ On a ajouté le point $0$ pour rentre l'espace compact.
 
 \begin{proof}
   L'idée est très similaire à la démonstration que la dilatation du
-  cercle est ergodique. Les détails sont un peu plus compliques.
+  cercle est ergodique. Mais les détails sont un peu plus compliques.
 
   Pour tout choix des entiers $k_1,\ldots,k_n\geq1$ définissons
   l'application $\psi_{k_n,\ldots,k_1}\colon ]0,1]\to]0,1]$ par
@@ -1810,7 +1816,7 @@ Maintenant nous déduisons le théorème de Furstenberg-Sárközy (théorème
 \ref{thm:furstenberg-sarkoezy}) de ce théorème.
 
 \begin{proof}[Déduction du théorème \ref{thm:furstenberg-sarkoezy}]
-  Supposons que le théorème est faut. Alors pour tout $N$ il existe un
+  Supposons que le théorème est faux. Alors pour tout $N$ il existe un
   ensemble $A_N\subseteq\{1,\ldots,N\}$ avec $\lvert
   A_N\rvert\geq\delta N$ tel qu'il n'y a deux éléments dont
   la différence est un carré.