diff --git a/polycopie.tex b/polycopie.tex index 5a1ddc301fef4f6a25f9356f41664fbd68490e4c..98dbf195cc4407dc7f1e912370fae9fe2cc176db 100644 --- a/polycopie.tex +++ b/polycopie.tex @@ -1228,7 +1228,7 @@ théorème. \section{Le théorème ergodique presque partout} -Les théorème ergodiques ponctuels capturent l'essence de la théorie +Les théorème ergodiques en convergence simple capturent l'essence de la théorie ergodique. Nous allons donner une preuve plus ``détaillée'' que d'habitude. @@ -1240,7 +1240,7 @@ d'habitude. l'espérance conditionnelle $f\mapsto \mathbb{E}(f\vert \mathcal{F}_0)$. Alors $S_Nf\to\pi(f)$ converge simplement presque partout. En particulière, si $T$ est ergodique les moyennes - temporelle $S_Nf$ converge simplement vers les moyennes de l'espace + temporelle $S_Nf$ converge simplement vers les moyennes spatial $\overline{f}=\int f\mathrm{d}\mu$ presque partout. \end{theoreme} @@ -1249,34 +1249,36 @@ Pour tout entier $L\geq1$ on écrit $S^*_Lf(x):=\max_{M\leq L}\frac{1}{M}\sum_{m=0}^{M-1}f(T^mx)$. Soit $S^*f(x):=\sup_LS^*_Lf(x)$. Dans le jargon de l'analyse, le théorème ergodique maximal est l'affirmation que l'opérateur $S^*$ satisfait à -une inégalité de type (1,1) faible. +une inégalité de type $(1,1)$ faible. Rappelons qu'on dit que un opérateur $T$ +à valeurs réelles défini sur un espace mesurable $(X,\mu)$ est de type $(p,p)$ faible s'il +existe une constante $C>0$ telle que +\[\mu({\lvert Tf\rvert>\lambda}) \leq C\lambda^{-1/p}\lVert f\rVert_p.\] \begin{proposition}[Théorème ergodique maximal] - \label{thm-ergodique-max} + \label{prop:thm-ergodique-max} Soit $(X,\mu,T)$ un - système dynamique mesuré et soit $\lambda>0$. Alors $\mu\{x\colon - S^*f(x)\geq\lambda\}\leq 4\lVert f\rVert_1/\lambda$. + système dynamique mesuré et soit $\lambda>0$. Alors \[\mu\left(\{x\colon + S^*f(x)\geq\lambda\}\right)\leq \frac{4}{\lambda}\lVert f\rVert_1.\] \end{proposition} -\begin{proof} - Nous appliquons l'inégalité maximale de Hardy et Littlewood aux - fonctions $F\colon \mathbb{Z}\to\mathbb{R}$. Étant donné une telle - fonction, définissons la fonction maximal $F^*$ par - \[ F^*(x):=\sup_{M\geq 1}\frac{1}{M}\sum_{m=0}^{M-1}F(x+m).\] -\end{proof} +La démonstration port sur une application de l'inégalité maximale de Hardy et Littlewood aux fonctions +$F\colon \mathbb{Z}\to\mathbb{R}$. Étant donné une telle fonction, définissons +la fonction maximal $F^*$ par +\[ F^*(x):=\sup_{M\geq 1}\frac{1}{M}\sum_{m=0}^{M-1}F(x+m).\] L'inégalité maximale de Hardy et Littlewood dit que l'opérateur maximal $F\mapsto F^*$ est de type $(1,1)$ faible. Nous remarquons qu'il est possible de généraliser ce théorème de nombreuses manières différentes, et il existe une branche entière de l'analyse consacrée à -l'étude de tels théorèmes. Dans ce cas particulier, cependant, la +l'étude de telle inégalités. Dans ce cas particulier, cependant, la preuve est assez simple. -\begin{theoreme}[Inégalité maximale de Hardy et LIttlewood pour la - ligne] Soit $\lambda>0$. Alors on a $\#\{x\colon - F^*(x)\geq\lambda\}\leq 4\lVert - F\rVert_{\ell^1(\mathbb{Z}}/\lambda$. -\end{theoreme} +\begin{lemme}[Inégalité maximale de Hardy et Littlewood pour $F$] + \label{lem:Hardy-Littlewood-maximal-inequality} + Soit $\lambda>0$. Alors on a\[\#\{x\colon + F^*(x)\geq\lambda\}\leq \frac{4}{\lambda}\lVert + F\rVert_{\ell^1(\mathbb{Z})}.\] +\end{lemme} \begin{proof} Soit $A\subseteq\mathbb{Z}$ l'ensemble de tout $x$ tel que @@ -1286,12 +1288,15 @@ preuve est assez simple. $I_x:=\{x,\ldots, x+M-1\}$; donc $F$ est en moyenne au moins $\lambda/2$ à tout élément de $I_x$. - L'affirmation est la suivante qu'il existe un ensemble $A'\subseteq + \textit{Affirmation.} Il existe un ensemble $A'\subseteq A$ tel que les intervalles $I_x$ avec $x\in A'$ sont disjoints, et tel que $\sum_{x\in A'}\lvert - I_x\rvert\geq\frac12\lvert\bigcup_{x\in A}I_x\rvert$. Une fois ceci + I_x\rvert\geq\frac12\lvert\bigcup_{x\in A}I_x\rvert$. + + Une fois ceci prouvé, nous avons \[\lVert F\rVert_{\ell^1(\mathbb{Z})} + =\sum_{n\in\ZZ}\lvert F(n)\rvert \geq\frac\lambda2\sum_{x\in A'}\lvert I_x\rvert \geq\frac\lambda4\lvert\bigcup_{x\in A}I_x\rvert \geq\frac\lambda4\lvert A\rvert,\] @@ -1310,9 +1315,9 @@ preuve est assez simple. total, on a le résultat demandé. \end{proof} -\begin{proof}[Démonstration du théorème \ref{thm-ergodique-max}] +\begin{proof}[Démonstration de la proposition \ref{prop:thm-ergodique-max}] Soit $\lambda>0$, soient $N\gg L\geq1$ des entiers et soit $x\in X$ - fixé. Nous appliquons l'inégalité de Hardy et Littlewood maximal à + fixé. Nous appliquons l'inégalité de Hardy et Littlewood maximal (lemme ) à une version tronquée de la fonction $n\mapsto f(T^nx)$, plus précisément, \[F(n):=\begin{cases}f(T^nx) &\text{si }0\leq n<N+L\text{ et}\\ @@ -1327,47 +1332,48 @@ preuve est assez simple. $T$ on obtient \[\int_{X}\lvert\left\{n\in\{1,\ldots N\}\colon \max_{M\leq L}\frac1M \sum_{m=0}^{M-1} - f(T^{n+m}x)\geq\lambda\right\}\rvert \leq\frac{C(N+L)\lVert + f(T^{n+m}x)\geq\lambda\right\}\rvert\mathrm{d}x + \leq\frac{4(N+L)\lVert f\rVert_1}{\lambda}.\] Maintenant, la fonction indicatrice de l'événement $\max_{M\leq L}\frac1M \sum_{m=0}^{M-1} f(T^{n+m}x)\geq\lambda$ est une fonction mesurable de $n$ et $x$ sur l'espace - $\ZZ\times\NN$. Par le théorème de Fibini nous pouvons échanger + $\NN\times\ZZ$. Par le théorème de Fubini nous pouvons échanger l'ordre pour obtenir \[\sum_{n=1}^N\mu\left(\left\{x\in X\colon \max_{M\leq L}\frac1M \sum_{m=0}^{M-1} f(T^{n+m}x)\geq\lambda\right\}\right) - \leq\frac{C(N+L)\lVert f\rVert_1}{\lambda}.\] + \leq\frac{4(N+L)\lVert f\rVert_1}{\lambda}.\] Encore par l'invariance de $\mu$ par $T$ nous obtenons \[N\mu\left(\left\{x\in X\colon \max_{M\leq L}\frac1M \sum_{m=0}^{M-1} f(T^{m}x)\geq\lambda\right\}\right) - \leq\frac{C(N+L)\lVert f\rVert_1}{\lambda}.\] + \leq\frac{4(N+L)\lVert f\rVert_1}{\lambda}.\] Autrement dit on a \[\mu\left(\left\{x\in X\colon S_L^*f(x)\geq\lambda\right\}\right) - \leq\frac{C(N+L)\lVert f\rVert_1}{N\lambda}.\] + \leq\frac{4(N+L)\lVert f\rVert_1}{N\lambda}.\] En laissant $L$ et $N$ tends vers l'infinie, avec $N$ plus vite que $L$, on obtient \[\mu\left(\left\{x\in X\colon S^*f(x)\geq\lambda\right\}\right) - \leq\frac{C\lVert f\rVert_1}{\lambda}\] - qui est le théorème avec une constante plus faible que demandée. + \leq\frac{4\lVert f\rVert_1}{\lambda}.\qedhere\] \end{proof} \begin{proof}[Démonstration du théorème \ref{thm-ergodique-simple}] Il suffit de démontrer pour tout $\varepsilon>0$ que + l'ensemble \[ E_\varepsilon:=\{x\in X\colon \limsup_{N\to\infty} \lvert S_Nf(x)-\pi(f)\rvert\geq\varepsilon\}\] a la mesure zéro. Soit $\delta>0$. Dans la démonstration du théorème de von Neumann (théorème \ref{thm:ergodique-moyenne}) nous avons décomposé un - fonction $f\in L^2(X)$ comme + fonction $\widetilde{f}\in L^2(X)$ comme \begin{gather}\label{green:eq5.1} - f=\pi(f)+\partial g+h, + \widetilde{f}=\pi(\widetilde{f})+\partial \widetilde{g}+\widetilde{h}, \end{gather} - où $g\in L^2(X)$ et $\lVert h\rVert_2\leq \delta$. + où $\widetilde{g}\in L^2(X)$ et $\lVert \widetilde{h}\rVert_2\leq \delta$. Dans le théorème ergodic de Birkhoff, nous opérons sous l'hypothèse plus faible que $f\in L^1(X)$, et pour traiter cette hypothèse, nous @@ -1378,7 +1384,7 @@ preuve est assez simple. f-f_0\rVert\leq\delta$. En appliquant (\ref{green:eq5.1}) à cette fonction on obtient la décomposition \[ f_0=\pi(f_0)+\partial g_0+h_0\] - avec $\lVert h_0\rVert_2\leq \delta$. Alors + avec $g_0\in L^2(X)$ et $\lVert h_0\rVert_2\leq \delta$. Alors \[ f=\pi(f)+\partial g_0+h_1,\] où $h_1:=h_0+(f-f_0)-(\pi(f)-\pi(f_0))$. Notons que $\lVert h_1\rVert_1\leq \lVert h_0\rVert_1+2\delta\leq 3\delta$. @@ -1399,7 +1405,7 @@ preuve est assez simple. Le premier terme à droite peut être analysé comme précédemment ; la somme se télescope et on obtient \[\lvert S_N(\partial g)(x)\rvert - =\lvert\frac1N \left(g(x)-g(T^{n-1}(x))\right)\rvert,\] + =\lvert\frac1N \left(g(x)-g(T^{N}(x))\right)\rvert,\] qui tends vers zéro pour tout $x$ puisque $g\in L^\infty(X)$. Donc $E_\varepsilon$ est contenu, sauf un ensemble de mesure zéro, dans l'ensemble @@ -1408,8 +1414,8 @@ preuve est assez simple. Ceci est contenu dans l'ensemble \[\left\{x\in X\colon \lvert S^*h(x)\rvert\geq\varepsilon\right\}\] - qui, par le théorème ergodique maximale (théorème - \ref{thm-ergodique-max}) et la borne pour $\lVert h\rVert_1$ a une + qui, par le théorème ergodique maximale (proposition + \ref{prop:thm-ergodique-max}) et la borne pour $\lVert h\rVert_1$ a une mesure plus petit que $4\delta/\varepsilon$. Puisque $\delta$ était arbitraire on a $\mu(E_\varepsilon)=0$ comme demandé. \end{proof} @@ -1421,10 +1427,10 @@ preuve est assez simple. \section{Nombres normaux} Soit $x\in[0,1]$. Pour $b\geq2$ un entier on a la représentation -\[x=\sum_{i\geq1}\frac{a_i}{b^i}=0.a_1a_2a_3\ldots\] -avec $a_i\in\{0,1,\ldots,b-1\}$. Pour chaque bloc de $\ell$ chiffres -$d_1\ldots d_\ell$, nous comptons la fréquence de son apparition parmi -les premiers $N$ chiffres. On dit que $x$ est normal en base $b$ si +\[x=\sum_{i\geq1}\frac{a_i}{b^i}=0.a_1a_2a_3\ldots\] avec +$a_i\in\{0,1,\ldots,b-1\}$. Pour chaque bloc de $\ell$ chiffres $d_1\ldots +d_\ell$, nous regardons la fréquence de son apparitions parmi les premiers $N$ +chiffres. On dit que $x$ est normal en base $b$ si \[ \lim_{N\to\infty}\frac1N\lvert\left\{0\leq n< N\colon a_{n+1}=d_1,\ldots, a_{n+\ell}=d_\ell\right\}\rvert=b^{-\ell}, @@ -1535,10 +1541,10 @@ $T(x)=\frac1x-\left\lfloor \frac1x\right\rfloor$ si $x\neq 0$ et $T(0)=0$ sinon. On a ajouté le point $0$ pour rentre l'espace compact. \begin{lemme} - Soit $\mu$ la mesure de Lebesgue sur $[0,1]$, et soit $nu$ une autre mesure + Soit $\mu$ la mesure de Lebesgue sur $[0,1]$, et soit $\nu$ une autre mesure définie par \[\nu(E):=\frac1{\ln 2}\int_E\frac{\mathrm{d}\mu(x)}{1+x}.\] - Alors $(X,T,\nu)$ est une système dynamique mesuré. + Alors $(X,T,\nu)$ est un système dynamique mesuré. \end{lemme} \begin{proof} @@ -1572,7 +1578,7 @@ On a ajouté le point $0$ pour rentre l'espace compact. \begin{proof} L'idée est très similaire à la démonstration que la dilatation du - cercle est ergodique. Les détails sont un peu plus compliques. + cercle est ergodique. Mais les détails sont un peu plus compliques. Pour tout choix des entiers $k_1,\ldots,k_n\geq1$ définissons l'application $\psi_{k_n,\ldots,k_1}\colon ]0,1]\to]0,1]$ par @@ -1810,7 +1816,7 @@ Maintenant nous déduisons le théorème de Furstenberg-Sárközy (théorème \ref{thm:furstenberg-sarkoezy}) de ce théorème. \begin{proof}[Déduction du théorème \ref{thm:furstenberg-sarkoezy}] - Supposons que le théorème est faut. Alors pour tout $N$ il existe un + Supposons que le théorème est faux. Alors pour tout $N$ il existe un ensemble $A_N\subseteq\{1,\ldots,N\}$ avec $\lvert A_N\rvert\geq\delta N$ tel qu'il n'y a deux éléments dont la différence est un carré.