@@ -42,111 +42,8 @@ Les deux étant constitués de deux électrodes séparées par un milieu diélec
---
## Ex.3. : Cylindre plongé dans un champ uniforme
On considère une région de l'espace où règne un champ d'induction uniforme (imposé par une source extérieure) de la forme : ${\bf b} = B\_{0}\\,{\bf u\_x}$.
On place à l'intérieur de cette zone un cylindre de rayon $R$ constitué d'un matériau de perméabilité relative $\mu\_r$ constante.
1. Caluler, par séparation des variables, le potentiel vecteur magnétique ${\bf a}$ en tout point du domaine.
{{% expand "Cliquer pour afficher un indice" %}}
On pensera à utiliser les coordonnées cylindriques et donc calculer le potentiel vecteur magnétique ${\bf a} = a\_{z}(r,\theta)\\,{\bf u\_z}$.
{{% /expand%}}
2. En déduire le tracé des lignes de champ d'induction correspondantes et observer les différents cas possibles en fonction du type du matériau. C'est-à-dire :
![Cylindre dans champ uniforme](../../images/figures/cylindre.svg"Déformation des lignes de champ due au cylindre")
Utiliser le langage de votre choix : MATLAB (ou GNU/Octave), Python, Julia, etc...
{{% expand "Cliquer pour afficher une solution" %}}
Un exemple de calcul en MATLAB est donné ci-dessous :
```Matlab
close all; clear; clc
% cylindre dans champ uniforme
R = 2e-2; % rayon du cylindre
adom = 6*R; % largeur du domaine
B0 = 1;
mur = 1e3;
% evaluation sur grille
a = @(x,y) az(x,y,R,mur,B0);
npoints = 100; x = linspace(-adom/2,adom/2,npoints); y = x;
[X,Y] = meshgrid(x,y);
AZ = arrayfun(a,X,Y);
% tracé
nlignes = 30;
contour(X,Y,AZ,nlignes,'LineWidth',1)
axis equal; hold on;
nc = 60; theta = linspace(0,2*pi,nc); % contour du cylindre
plot(R*cos(theta),R*sin(theta),'k','LineWidth',2)
% fonction calcul du potentiel vecteur
function a = az(x,y,R,mur,B0)
r = sqrt(x^2+y^2);
theta = atan2(y,x);
if (r <= R)
a = 2*mur/(mur+1)*B0*r*sin(theta);
else
a = B0*(r+(mur-1)/(mur+1)*R^2/r)*sin(theta);
end
end
```
{{% /expand%}}
---
## Ex. 4. : Câble coaxial
On considère un câble coaxial portant un courant $I$ tel que représenté sur la figure ci-dessous.
{{< figure src="../../images/figures/coax_schem.svg" title="Représentation schématique du câble coaxial considéré">}}
1. Après avoir calculé le rayon intérieur du coax permettant d'assurer la même densité de courant dans les conducteurs aller et retour, calculer le champ magnétique en tout point de l'espace.
2. En déduire l'énergie magnétique (par unité de longueur) et la valeur de l'inductance linéique du câble.
{{%expand "Cliquer pour afficher un indice" %}}
On pourra penser à utiliser le **théorème d'Ampère** pour calculer le champ.
{{%/expand%}}
{{%expand "Cliquer pour afficher un début de solution" %}}
Le code MATLAB permettant de faire le calcul et le tracé est donné ci-dessous à titre indicatif :
On considère une bobine rectangulaire à $N$ spires, de longueur $L$ très grande devant sa largeur, telle que représentée ci-dessous :
...
...
@@ -159,7 +56,7 @@ Pour ce faire, nous procéderons par étapes :
1. Après avoir précisé les hypothèses, calculer le champ crée par un conducteur cylindrique de rayon $r\_c$ parcouru par un courant I (ligne unifilaire).
{{% expand "Cliquer pour afficher un indice" %}}
On pourra encore penser à utiliser le théorème d'Ampère pour calculer le champ.
On pourra penser à utiliser le théorème d'Ampère pour calculer le champ.
{{% /expand%}}
2. Dans le langage de votre choix, tracer le champ et les lignes correspondantes :
...
...
@@ -401,6 +298,110 @@ end
---
## Ex.4. : Cylindre plongé dans un champ uniforme
On considère une région de l'espace où règne un champ d'induction uniforme (imposé par une source extérieure) de la forme : ${\bf b} = B\_{0}\\,{\bf u\_x}$.
On place à l'intérieur de cette zone un cylindre de rayon $R$ constitué d'un matériau de perméabilité relative $\mu\_r$ constante.
1. Caluler, par séparation des variables, le potentiel vecteur magnétique ${\bf a}$ en tout point du domaine.
{{% expand "Cliquer pour afficher un indice" %}}
On pensera à utiliser les coordonnées cylindriques et donc calculer le potentiel vecteur magnétique ${\bf a} = a\_{z}(r,\theta)\\,{\bf u\_z}$.
{{% /expand%}}
2. En déduire le tracé des lignes de champ d'induction correspondantes et observer les différents cas possibles en fonction du type du matériau. C'est-à-dire :
![Cylindre dans champ uniforme](../../images/figures/cylindre.svg"Déformation des lignes de champ due au cylindre")
Utiliser le langage de votre choix : MATLAB (ou GNU/Octave), Python, Julia, etc...
{{% expand "Cliquer pour afficher une solution" %}}
Un exemple de calcul en MATLAB est donné ci-dessous :
```Matlab
close all; clear; clc
% cylindre dans champ uniforme
R = 2e-2; % rayon du cylindre
adom = 6*R; % largeur du domaine
B0 = 1;
mur = 1e3;
% evaluation sur grille
a = @(x,y) az(x,y,R,mur,B0);
npoints = 100; x = linspace(-adom/2,adom/2,npoints); y = x;
[X,Y] = meshgrid(x,y);
AZ = arrayfun(a,X,Y);
% tracé
nlignes = 30;
contour(X,Y,AZ,nlignes,'LineWidth',1)
axis equal; hold on;
nc = 60; theta = linspace(0,2*pi,nc); % contour du cylindre
plot(R*cos(theta),R*sin(theta),'k','LineWidth',2)
% fonction calcul du potentiel vecteur
function a = az(x,y,R,mur,B0)
r = sqrt(x^2+y^2);
theta = atan2(y,x);
if (r <= R)
a = 2*mur/(mur+1)*B0*r*sin(theta);
else
a = B0*(r+(mur-1)/(mur+1)*R^2/r)*sin(theta);
end
end
```
{{% /expand%}}
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## Ex. 4. : Câble coaxial
On considère un câble coaxial portant un courant $I$ tel que représenté sur la figure ci-dessous.
{{< figure src="../../images/figures/coax_schem.svg" title="Représentation schématique du câble coaxial considéré">}}
1. Après avoir calculé le rayon intérieur du coax permettant d'assurer la même densité de courant dans les conducteurs aller et retour, calculer le champ magnétique en tout point de l'espace.
2. En déduire l'énergie magnétique (par unité de longueur) et la valeur de l'inductance linéique du câble.
{{%expand "Cliquer pour afficher un indice" %}}
On pourra penser à utiliser le **théorème d'Ampère** pour calculer le champ.
{{%/expand%}}
{{%expand "Cliquer pour afficher un début de solution" %}}
Le code MATLAB permettant de faire le calcul et le tracé est donné ci-dessous à titre indicatif :
On considère le transformateur élémentaire donné par la figure ci-dessous. Le primaire (en bleu) est constitué de $N_1$ spires, et le secondaire (en rouge) en comporte $N_2$.
