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Commit 3f90dab4 authored by fontchas5's avatar fontchas5
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......@@ -102,7 +102,7 @@ $$\frac{1}{l} \oint_{\mathscr{C}} {\bf e}\cdot{\bf dl} = \frac{1}{l} \iint_{s_l}
En développant le membre de gauche, on obtient :
$$\begin{aligned}\frac{1}{l} \oint_{\mathscr{C}} {\bf e}\cdot{\bf dl} = \frac{1}{l} \int_{l_1}{\bf e}\cdot{\bf u_l}\\,\text{d} l ~+ &\frac{1}{l} \int_{l_2}{\bf e}\cdot(-{\bf u_l})\\,\text{d} l \\\ &+ \underbrace{\frac{1}{l}\left(\int_{B}^{C}{\bf e}\cdot{\bf n_{12}}\\,\text{d} l + \int_{D}^{A}{\bf e}\cdot(-{\bf n_{12}})\\,\text{d} l\right)}_{\lambda}\end{aligned}$$
$$\begin{aligned}\frac{1}{l} \oint_{\mathscr{C}} {\bf e}\cdot{\bf dl} = \frac{1}{l} \int_{l_1}{\bf e}\cdot{\bf u_l}\\,\text{d} l ~+ &\frac{1}{l} \int_{l_2}{\bf e}\cdot(-{\bf u_l})\\,\text{d} l \\\ &+ \underbrace{\frac{1}{l}\left(\int_{B}^{C}{\bf e}\cdot{\bf n_{12}}\\,\text{d} l + \int_{D}^{A}{\bf e}\cdot(-{\bf n_{12}})\\,\text{d} l\right)}\_{\lambda}\end{aligned}$$
Or :
$$\lambda \leq \left(\max_{BC}(\|\\!\|{\bf e}\|\\!\|) + \max_{DA}(\|\\!\|{\bf e}\|\\!\|)\right)\frac{\alpha}{l} = o(u) $$
......
......@@ -20,7 +20,7 @@ où ${\bf n_e}$ est la normale entrante à la surface.
Ainsi, en réutilisant nos notations et en appliquant le théorème de la divergence :
$$P_{\text{em}} = - \oiint_S {\bf \Pi_p}\cdot {\bf dS} = \iiint_V \underbrace{-\text{div}\\,\left({\bf e}\wedge{\bf h}\right)}_{p_{\text{em}}}\\,\text{d} V$$
$$P_{\text{em}} = - \oiint_S {\bf \Pi_p}\cdot {\bf dS} = \iiint_V \underbrace{-\text{div}\\,\left({\bf e}\wedge{\bf h}\right)}\_{p_{\text{em}}}\\,\text{d} V$$
Avec $p\_{\text{em}}$ la densité volumique de puissance électromagnétique, qu'on peut développer avec l'identité vectorielle :
......@@ -183,11 +183,11 @@ $$\begin{aligned}\widetilde{w}\_{mag} &= \int\_{-h_c}^{h} \mu_a\\,({\bf h+h_c})\
{{% notice warning %}}
Chose un peu surprenante, l'expression des densités d'énergie et coénergie magnétiques dans un aimant permanent est l'inverse de celles dans les autres matériaux. Soit :
$$\boxed{w_{mag} = \frac{\mu_a\\,|\\!|{\bf h}|\\!|^2}{2}}~~\text{et}~~\boxed{\widetilde{w}\_{mag}=\frac{|\\!|{\bf b}|\\!|^2}{2\\,\mu_a}}$$
$$\boxed{w_{mag} = \frac{\mu_a\\,|\\!|{\bf h}|\\!|^2}{2}}~ ~\text{et}~ ~\boxed{\widetilde{w}\_{mag}=\frac{|\\!|{\bf b}|\\!|^2}{2\\,\mu_a}}$$
{{% /notice %}}
### Énergie électrostatique
### Énergie électrostatique
Tout ce que nous avons fait en magnétisme ci-avant, peut se développer également en électrostatique à partie de la densité volumique de puissance $p_{el}$. Plutôt que de tout redévelopper, nous allons procéder par analogie :
* ${\bf h} \leftarrow {\bf e}$
......@@ -211,7 +211,7 @@ $$\boxed{W\_{el} = \frac{1}{2} \iiint_{V_q} \rho_q\\,v~\text{d} V}$$
{{% notice note %}}
On aurait pu donner l'ensemble des relations possibles en considérant le cas non-linéaire, mais nous ne l'avons pas fait par souci de concision. On peut quand même fournir les densités volumiques d'énergie qui pourront, le cas échéant servir de point de départ :
$$w\_{el} = \int_{0}^{d} {\bf e}\cdot{\bf d\\,d},~ ~~\text{et}~~ ~~\widetilde{w}\_{el} = \int_{0}^{e} {\bf d}\cdot{\bf d\\,e}$$
$$w\_{el} = \int_{0}^{d} {\bf e}\cdot{\bf d\\,d},~ ~ ~\text{et}~ ~ ~ ~\widetilde{w}\_{el} = \int_{0}^{e} {\bf d}\cdot{\bf d\\,e}$$
{{% /notice %}}
......@@ -21,7 +21,7 @@ $$\boxed{\oiint_S {\bf b}\cdot{\bf d S} = 0}$$
Ou encore :
$$\underbrace{\iint_{S_1} {\bf b}\cdot{\bf d S_1}}_{\Phi_1} = - \underbrace{\iint_{S_2} {\bf b}\cdot{\bf d S_2}}_{\Phi_2}$$
$$\underbrace{\iint_{S_1} {\bf b}\cdot{\bf d S_1}}\_{\Phi_1} = - \underbrace{\iint_{S_2} {\bf b}\cdot{\bf d S_2}}\_{\Phi_2}$$
Où $\Phi_1$ et $\Phi_2$ sont respectivement les flux de ${\bf b}$ à travers $S_1$ et $S_2$.
......@@ -91,7 +91,7 @@ $$\boxed{\oiint_S {\bf j}\cdot{\bf d S} = 0}$$
Soit :
$$\underbrace{\iint_{S_1} {\bf j}\cdot{\bf d S_1}}_{I_1} + \underbrace{\iint_{S_2} {\bf j}\cdot{\bf d S_2}}_{I_2} = 0$$
$$\underbrace{\iint_{S_1} {\bf j}\cdot{\bf d S_1}}\_{I_1} + \underbrace{\iint_{S_2} {\bf j}\cdot{\bf d S_2}}\_{I_2} = 0$$
$\Longrightarrow$ **C'est la loi des nœuds !**
......
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