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title: "Conditions d'interfaces"
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Composantes normales

Considérons deux milieux

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et

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séparés par une surface

$S$

, la normale à la surface étant dirigée de

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vers

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. Pour un infiniment petit quelconque

$u$

, on définit un petit cylindre de volume

$v_c$

, de rayon

$r = o(u)$

et de hauteur

$l = o(u^2)$

centré sur

$S$

.
Une représentation schématique est donnée par la figure ci-dessous.

{{< figure src="../../images/figures/schema_bn.svg" title="Représentation schématique de la configuration considérée (pour les composantes normales)." >}}

En notant

$s_1$

et

$s_2$

les bases du cylindre contenues respectivement dans

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et

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, et

$s_l$

sa surface latérale, on a :

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---

Continuité de la composante normale de

${\bf b}$

Appliquons la conservation du flux à notre cylindre :

$$\oiint_{\partial v_c} {\bf b}\cdot{\bf d S} = 0$$

Soit, en développant et en multipliant par

$\frac{1}{s}$

:

$$\frac{1}{s} \iint_{s_1} {\bf b}\cdot(-{\bf n_{12}})~\text{d} S + \frac{1}{s} \iint_{s_2} {\bf b}\cdot{\bf n_{12}}~\text{d} S + \frac{1}{s} \iint_{s_l} {\bf b}\cdot{\bf d S} = 0$$

Or :

$$\frac{1}{s} \iint_{s_l} {\bf b}\cdot{\bf d S} \leq \max_{s_l}(|\\!|{\bf b}|\\!|)\\,\frac{s_l}{s} = o(u)$$

Et :

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Où

${\bf b_1}$

et

${\bf b_2}$

sont les valeurs de l'induction au centre du cylindre approché respectivement depuis les milieux

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ou

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.

Ainsi par passage à la limite dans l'expression générale, on obtient :

$$\boxed{{\bf n_{12}}\cdot({\bf b_2}-{\bf b_1}) = 0}$$

On a donc continuité de la composante normale de l'induction magnétique

${\bf b}$

à travers la surface.

---

Saut de la composante normale de

${\bf d}$

Appliquons le raisonnement précédent en partant du théorème de Gauss :

$$\oiint_{\partial v_c} {\bf d}\cdot{\bf dS} = \iiint_{v_c} \rho_q\\,\text{d} V$$

Le terme de gauche peut-être traité exactement de la même façon que pour

${\bf b}$

. Pour le terme de droite, on peut écrire :

$$\frac{1}{s} \iiint_{v_c} \rho_q\\,\text{d} V = \frac{1}{s} \iint_{s} \left(\int_{-\frac{l}{2}}^{\frac{l}{2}} \rho_q\\,\text{d}{l}\right) \text{d} S$$

En définissant localement la densité surfacique de charge

$\sigma_q$

(densité de charge portée par la surface

$s$

, en

$\text{C}\cdot\text{m}^{-2}$

) par :

$$\sigma_q = \lim_{l \to 0} \int_{-\frac{l}{2}}^{\frac{l}{2}} \rho_q\\,\text{d}{l}~,$$

par passage à la limite (

$u \to 0$

), on obtient :

$$\boxed{{\bf n_{12}}\cdot({\bf d_2}-{\bf d_1}) = \sigma_q}$$

On a donc un saut de la composante normale de

${\bf d}$

à travers

$S$

.

{{% notice note %}} On trouve des densités surfaciques de charge dans tout conducteur à l'équilibre électrostatique. {{% /notice %}}

{{% notice tip %}} En l'absence de densité surfacique de charge : on a évidemment continuité de la composante normale de l'induction électrique

${\bf d}$

. {{% /notice %}}

---

Continuité de la composante normale de

${\bf j}$

Dans l'ARQS, puisque

$\text{div}\\,{\bf j} = 0$

, on peut appliquer le même raisonnement que pour

${\bf b}$

, et ainsi :

$$\boxed{{\bf n_{12}}\cdot({\bf j_2}-{\bf j_1}) = 0}$$

En particulier, sur le bord d'un conducteur isolé,

${\bf j_2}$

étant nulle à l'extérieur, on en déduit que la densité de courant est tangente à la surface.

---

Composantes tangentielles

En prenant une coupe de la configuration précédente, on obtient celle décrite par la figure ci-après.

{{< figure src="../../images/figures/schema_ht.svg" title="Représentation schématique de la configuration considérée (pour les composantes tangentielles)." >}}

Dans ce plan de coupe, on choisit arbitrairement un chemin rectangulaire

$\mathscr{C}$

, de sommets

$A$

,

$B$

,

$C$

et D. Les segments AB et CD sont de longueurs l_1 = l_2 = l = o(u) et portés par un vecteur unitaire quelconque orthogonal à la normale à la surface : {\bf u_l}\perp{\bf n_{12}}. Les segments BC et DA sont de longueur \alpha = o(u^2) et portés par {\bf n_{12}}.

---

Continuité de la composante tangentielle de {\bf e}

La loi de Lenz-Faraday appliquée au contour \mathscr{C} et multipliée par un facteur \frac{1}{l}, nous donne :

\frac{1}{l} \oint_{\mathscr{C}} {\bf e}\cdot{\bf dl} = \frac{1}{l} \iint_{s_l} -\frac{\partial\\,{\bf b}}{\partial t}\cdot{\bf d S}

En développant le membre de gauche, on obtient :

\begin{aligned}\frac{1}{l} \oint_{\mathscr{C}} {\bf e}\cdot{\bf dl} = \frac{1}{l} \int_{l_1}{\bf e}\cdot{\bf u_l}\\,\text{d} l ~+ &\frac{1}{l} \int_{l_2}{\bf e}\cdot(-{\bf u_l})\\,\text{d} l \\\ &+ \underbrace{\frac{1}{l}\left(\int_{B}^{C}{\bf e}\cdot{\bf n_{12}}\\,\text{d} l + \int_{D}^{A}{\bf e}\cdot(-{\bf n_{12}})\\,\text{d} l\right)}\_{\lambda}\end{aligned} Or :

\lambda \leq \left(\max_{BC}(\|\\!\|{\bf e}\|\\!\|) + \max_{DA}(\|\\!\|{\bf e}\|\\!\|)\right)\frac{\alpha}{l} = o(u)

De plus :

\begin{aligned}\left\|\frac{1}{l} \iint_{s_l} -\frac{\partial\\,{\bf b}}{\partial t}\cdot{\bf d S} \right| = \frac{1}{l} &\iint_{s_l} \frac{\partial\\,{\bf b}}{\partial t}\cdot({\bf u_l}\wedge{\bf n_{l2}})\\,\text{d} S \\\ &\leq \max_{s_l}\left(\left\|\\!\left\|\frac{\partial\\,{\bf b}}{\partial t}\right\|\\!\right\|\right)\\,\alpha = o(u^2)\end{aligned}

Finalement, on a :

\frac{1}{l} \int_{l_1}{\bf e}\cdot{\bf u_l}\\,\text{d} l + \frac{1}{l} \int_{l_2}{\bf e}\cdot(-{\bf u_l})\\,\text{d} l + o(u) = o(u^2)

Par passage à la limite (u \to 0), on obtient :

({\bf e_1} - {\bf e_2})\cdot{\bf u_l} = 0

Où {\bf e_1} et {\bf e_2} sont les valeurs du champ électrique au centre du rectangle approché respectivement depuis les milieux \\#1 ou \\#2.

La relation précédente étant valable quelque soit le vecteur {\bf u_l}\perp{\bf n_{12}} choisi, on peut en déduire :

\boxed{{\bf n_{12}}\wedge({\bf e_2}-{\bf e_1}) = {\bf 0}}

On a donc continuité de la composante tangentielle du champ électrique.

---

Saut de la composante tangentielle de {\bf h}

En appliquant le théorème d'Ampère sur \mathscr{C} et en multipliant chaque terme par un facteur \frac{1}{l} on obtient :

\frac{1}{l} \oint_{\mathscr{C}} {\bf h}\cdot{\bf dl} = \frac{1}{l} \iint_{s_l} {\bf j}\cdot{\bf d S}

Le terme de gauche peut être traité exactement de la même manière que dans le paragraphe précédent.

Intéressons-nous au terme de droite :

\begin{aligned}\frac{1}{l} \iint_{s_l} {\bf j}\cdot{\bf d S} &= \frac{1}{l} \iint_{s_l} {\bf j}\cdot({\bf u_l}\wedge{\bf n_{12}})\\,\text{d} S \\\ &= \frac{1}{l} \int_l \left(\int_{\frac{-\alpha}{2}}^{\frac{\alpha}{2}} {\bf j}\\,\text{d} \alpha\right)\cdot({\bf u_l}\wedge{\bf n_{12}})\\,\text{d} l\end{aligned}

En définissant localement la densité surfacique de courant {\bf j_s} (densité de courant portée par la surface S, en \text{A}\cdot\text{m}^{-1}) par :

{\bf j_s} = \lim_{\alpha\to 0}\int_{\frac{-\alpha}{2}}^{\frac{\alpha}{2}} {\bf j}\\,\text{d} \alpha ~~~,

on obtient, par passage à la limite (u\to 0) :

({\bf h_1}-{\bf h_2})\cdot{\bf u_l} = {\bf j_s}\cdot({\bf u_l}\wedge{\bf n_{12}}) = {\bf u_l}\cdot({\bf n_{12}}\wedge{\bf j_s})

Où {\bf h_1} et {\bf h_2} sont les valeurs du champ magnétique au centre du rectangle approché respectivement depuis les milieux \\#1 ou \\#2, et {\bf j_s} y est également la valeur de la densité surfacique de courant.

Ainsi, pour tout {\bf u_l}\perp{\bf n_{12}} :

({\bf h_1}-{\bf h_2})\cdot{\bf u_l} = ({\bf n_{12}}\wedge{\bf j_s})\cdot{\bf u_l}

La densité superficielle de courant {\bf j_s} étant portée par la surface S, et donc étant orthogonale à {\bf n_{12}}, on peut en déduire :

\boxed{{\bf n_{12}}\wedge({\bf h_2}-{\bf h_1}) = {\bf j_s}}

On a donc un saut de la composante tangentielle de {\bf h} à travers S.

{{% notice note %}} En réalité, une densité surfacique de courant n'existe pas physiquement : on a toujours une densité de courant volumique. Cependant, dans certains cas, l'épaisseur de la zone où circule cette densité volumique est suffisamment faible pour l'assimiler à une densité surfacique. On peut citer deux cas fréquents : dans une plaque ou un tube très mince ; sur les bords d'un conducteur siège de courants induits à « haute fréquence ». {{% /notice %}}

{{% notice tip %}} Sans densité superficielle de courant (donc souvent), il y a continuité de la composante tangentielle de {\bf h}. {{% /notice %}}