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Commit cd6b627f authored by Manfred Madritsch's avatar Manfred Madritsch
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Envoyez des suggestions et corrections par mail à\\ \texttt{manfred.madritsch@univ-lorraine.fr}.}}
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\vspace*{\fill}
Ces notes sont écrit par Manfred Madritsch.
\tableofcontents
\chapter{Introduction}
L'objet de ce cours est l'introduction à la théorie ergodique et ses
applications en théorie des nombres. Soit $X$ un ensemble et soit $T\colon X\to
X$ une transformation. Le couple $(X,T)$ forme un système dynamique où
l'ensemble $X$ est parfois appelé \textit{espace d'états} et $T$ décrit
l'évolution de l'état du système au cours de temps. En particulière, si pour un
point $x$ fixé on applique $T$ itérativement on obtient l'ensemble
$\{x,Tx,T^2x,\ldots\}$ appelé l'orbit de $x$.
Les questions principales aux systèmes dynamiques sont :
\begin{itemize}
\item Est-ce que l'orbit est dense en $X$ ?
\item Est-ce que l'orbit est équirépartie en $X$ ?
\end{itemize}
Pour demander les deux questions proprement nous avons besoin de plus de
structure de $X$. En particulière, pour la questions de densité du orbit on a
besoin (au moins) d'une topologie sur $X$. Alors l'\index{orbit}orbit est dense si
l'adhérence $\overline{(T^n x)_{n=1}^\infty}$ est égale à $X$. Ici nous
supposons que $T$ soit continue. Dans ce cours nous allons supposer toujours que
$(X,d)$ est un espace compact métrique et $(X,T)$ est un \index{système dynamique
topologique}système dynamique topologique.
Mais qu'est-ce qu'on veut dire "équirépartie" ? Soit $A\subset X$ un
sous-ensemble. Nous croisons que la proportion des $n$ dont $T^nx$ est dans $A$
est $\vol(A)/\vol(X)$. Pour donner un sens à cette notation nous
avons besoin du concept du volume d'un ensemble. La désignation mathématique
correcte est la mesure $\mu$ sur les sous-ensembles de $X$. Dans ce cas nous
supposons que la transformation est mesurable (qui est un peut plus faible que
la continuité) et qu'elle \index{preserve la mesure}preserve la mesure
(\textit{i.e.} $\mu(T^{-1}(A))=\mu(A)$ pour tout $A$ mesurable). Nous appelons
le triple $(X,\mu,T)$ un \index{système dynamique mesuré}système dynamique mesuré. L'étude de ces systèmes et
l'objet principal de la théorie ergodique.
\section{Exemples}
Nous aimerons commencer avec quelques exemples des systèmes dynamiques mesuré.
\paragraph{La rotation du cercle.}
Soit $\alpha\in\RR$ un nombre réel, soit $X=\mathbb{U}:=\RR/\ZZ$ le cercle, et
soit $R_\alpha\colon X\to X$ la rotation donnée par $x\mapsto x+\alpha\pmod 1$.
\paragraph{La multiplication avec $k$.} Soit comme avant $X=\mathbb{U}$ et soit
$k\in \ZZ$. Nous définissons par $S_k\colon X\to X$ la transformation $x\mapsto
kx\pmod 1$. Celle-ci preserve la mesure de Lebesgue sur $\mathbb{U}$. En
particulière soit $I=[a,b)$ un intervalle. Alors
\[ S_k^{-1}(I) = \left[\frac ak,\frac bk\right)\cup
\left[\frac{a+1}k,\frac{b+1}k\right)\cup\ldots\cup
\left[\frac{a+k-1}k,\frac{b+k-1}k\right),\]
dont la mesure est $b-a$. Notons que la mesure de $S_k(I)$ n'est pas la même que
de $I$. Cela est la raisons pourquoi nous avons défini la preservation de la
mesure avec l'inverse $T^{-1}$.
\paragraph{L'application des fractions continues.}
Soit $X=[0,1]$. Nous définissons l'application $T\colon X\to X$ par :
\[T(x)=\begin{cases} \frac 1x-\left\lfloor \frac1x\right\rfloor &\text{si
}x\in]0,1],\\
0&\text{sinon}.\end{cases}\]
Nous utilisons le point $0$ seulement pour rentre l'espace compact. L'itération
de l'application $T$ nous donne le developpement en fraction continue. En
particulière, si
\[x=\cfrac{1}{a_1+\cfrac{1}{a_2+\cfrac{1}{a_3+\ddots}}}, \quad\text{alors}\quad
Tx=\cfrac{1}{a_2+\cfrac{1}{a_3+\cfrac{1}{a_4+\ddots}}},\] et nous obtenons le
$n$-ième coefficient $a_n$ du developpement de $x$ par $a_n=\lfloor
1/T{n-1}x\rfloor$. C'est clair que l'application $T$ n'est pas continue mais
elle preserve la mesure de Gauss- définie par :
\[\mu(E):=\frac1{\ln}\int_{E}\frac{\dx}{1+x}.\]
Nous allons considérer cette transformation en plus detail en bas.
\paragraph{La rotation du tore.}
Nous pouvons généraliser la rotation du cercle vers les dimensions plus élevées
$d\geq2$. Soit $X=\mathbb{U}^d:=\RR^d/\ZZ^d$, soit $\alpha\in \RR^d$ et soit
$T\colon X\to X$ définie par $x\mapsto x+\alpha$. Cette généralisation montre
que l'orbit $\overline{(T^nx)_{n=1}^\infty}$ peut avoir plusieurs formes
différentes. Par exemple, si $d=2$ nous avons les trois formes suivantes :
\begin{itemize}
\item Si $\alpha=(\sqrt2,\sqrt3)$ et $x=(0,0)$, alors par le théorème de
Kronecker $\overline{(T^nx)_{n=1}^\infty}=X$.
\item Si $\alpha=\left(\frac13,\frac25\right)$ et $x=(0,0)$, alors
$\overline{(T^nx)_{n=1}^\infty}$ est fini et contient 15 points.
\item Si $\alpha=(\sqrt2,\sqrt2)$ et $x=(0,0)$, alors
$\overline{(T^nx)_{n=1}^\infty}$ est dense dans le sous-tore
$\{(x,x)\pmod{\ZZ^2}\colon x\in\RR\}$.
\end{itemize}
\paragraph{Le shift sur un alphabet fini.}
Dans les exemples précendants l'espace $X$ était toujours un sous-espace compact
d'un manifold. Cet exemple est très different et il a plusieurs applications en
théorie des nombres dans les pages suivantes.
Soit $X=\{0,1,\ldots,k-1\}^\ZZ$, \textit{i.e.} l'espace des mots double-infinis
:
\[\ldots a_{-2}a_{-1}a_0a_1a_2a_3\ldots,\]
où tout $a_i$ est dans l'alphabet fini $\{0,1,\ldots,k-1\}$. L'espace $X$ est
compact et métrique (compact par le théorème de Tychonov et nous allons définir
une métrique plus tard). Définissons le shift $T\colon X\to X$ par
$(Tx)_n=x_{n+1}$. Nous allons montrer que $T$ est une homeomorphisme et alors il
s'agit d'un système dynamique topologique.
\paragraph{La transformation du boulanger.}
Soit $X=\mathbb{U}^2$ et soit $T\colon X\to X$ définie par
\[ T(x,y):=\left(2x-\left\lfloor 2x\right\rfloor,\frac{y+\lfloor
2x\rfloor}{2}\right).\] Pour comprendre le nom "boulanger" il faut regarder un
image.
Si on regarde la première coordonnée, on observe que c'est la multiplication
avec $2$. La deuxième coordonnée stocke le passé. Disons $x=...$ et $y=0$. Alors
\[T(0.101,0)=(0.01,0.1),\quad T^2(0.101,0)=(0.1,0.01),\quad T^3(0.101,0)=(0,0.101).\]
\section{Les propriétés dynamiques de la rotation du cercle}
Bien que nous n'avons pas donner les définitions proprement nous pouvons
démontrer que la rotation du cercle est dense et équirépartie.
\begin{theoreme}[Densité des rotations irrationelles] Soit $x\in \mathbb{U}$.
L'orbit $\left(R_\alpha^n x\right)_{n=1}^\infty$ est dense si et seulement si $\alpha\not\in\QQ$.
\end{theoreme}
\begin{proof}
Si $\alpha\in\QQ$, alors l'orbit a seulement un nombre fini des éléments et
donc il n'est pas dense. En effet, si $\alpha=a/q$ avec $(a,q)=1$, alors
l'orbit visit les points $x+r/q$, avec $r=0,1,\ldots,q-1$.
Supposons que $\alpha$ soit irrationnel. Par symétrie nous supposons que
$x=0$. Le théorème de Dirichlet nous dit que pour tout $\varepsilon$ ils
existent deux entiers $q\geq1$ et $a$ tel que $\left| q\alpha - a \right|\leq
\varepsilon$. Comme $\alpha$ est irrationnel c'est impossible d'avoir $\left|
q\alpha - a \right|=0$ et donc les itérées $m\alpha\pmod 1$, $2m\alpha\pmod
1$, $3m\alpha\pmod 1$, ... forment un sous-ensemble de $\mathbb{U}$ sans
écarts plus grands que $\varepsilon$. Comme $\varepsilon$ était arbitraire,
l'orbit $(n\alpha\pmod 1)_{n=1}^\infty)$ est dense.
\end{proof}
\begin{theoreme}[Équirépartition des rotations irrationelles]
Soit $f\colon \mathbb{U}\to\RR$ une fonction régulière et soit
$\alpha\in\RR\setminus\QQ$. Alors
\[%\lim_{N\to+\infty}\mathbb{E}_{n\leq N}f\left(R_\alpha^nx\right)=
\lim_{N\to+\infty}\frac1N\sum_{n=1}^Nf\left(R_\alpha^nx\right)=\int_0^1f\dx.\]
\end{theoreme}
\begin{remarque}
Pour les sous-ensembles $A\subset \mathbb{U}$ nous utilisons l'approximation
de la fonction caractéristique $\chi_A$ par des fonctions régulières.
\end{remarque}
\begin{proof}
L'idée centrale est l'utilisation de le developpement de $f$ en série de
Fourier :
\begin{gather}\label{green:eq2.1}
f(\theta) \sim \sum_{r\in \ZZ}\widehat{f}(r)e^{2\pi i r\theta}.
\end{gather}
D'après $f$ est régulière, les coefficients de Fourier décalent suffisamment
vite. En effet, deux fois intégration par parties montre que
\begin{align*}
\widehat{f}(r)&=\int_0^1 f(x)e^{-2\pi i r x}\dx\\
&=\left[-\frac{f(\theta)}{2\pi ir}\right]_0^1+\frac1{2\pi ir}\int_0^1
f'(x)e^{-2\pi i r x}\dx\\
&=\left[\frac{f'(\theta)}{(2\pi ir)^2}\right]_0^1+\frac1{(2\pi ir)^2}\int_0^1 f''(x)e^{-2\pi i r x}\dx
=\frac1{(2\pi ir)^2}\int_0^1 f''(x)e^{-2\pi i r x}\dx
\end{align*}
et donc $\left| \widehat{f}(r)\right|\leq C/\left| r\right|^2$. Alors la somme
sur la droite de \eqref{green:eq2.1} converge uniformément vers $f$.
Donc pour tout $\varepsilon>0$ on a
\[f(\theta) = \sum_{\left|r\right|\leq C/\varepsilon}\widehat{f}(r)e^{2\pi
r\theta}+\mathcal{O}(\varepsilon),\]
d'où
\[\frac1N\sum_{n=1}^{N}f(R_{\alpha}^nx)
=\frac1N\sum_{\left|r\right|\leq C/\varepsilon}\widehat{f}(r)e^{2\pi
r\theta}\sum_{n\leq N}e^{2\pi i r n \alpha}+\mathcal{O}(\varepsilon).\]
Si $r\neq 0$, alors la somme à l'intérieur est une progression géométrique :
\[\left|\frac1N\sum_{n\leq N}e^{2\pi i r n \alpha}\right|
\leq \frac{2}{N\left|1-e^{2\pi i r \alpha}\right|}.\]
En notant que $\widehat{f}(0)=\int_0^1f\dx$ nous obtenons
\[\frac1N\sum_{n=1}^{N}f(R_{\alpha}^nx)
=\int_0^1f\dx+\sum_{0<\left|r\right|\leq C/\varepsilon}\widehat{f}(r)e^{2\pi
r\theta}\frac{2}{N\left|1-e^{2\pi i r
\alpha}\right|}+\mathcal{O}(\varepsilon),\]
d'où
\[\lim_{N\to+\infty}\left|\frac1N\sum_{n=1}^{N}f(R_{\alpha}^nx)
-\int_0^1f\dx\right|\leq\varepsilon.\]
\end{proof}
\chapter{Le théorème de \textsc{van der Waerden}}
\section{Deux versions du théorème de \textsc{van der Waerden}}
L'objet de ce chapitre est la démonstration du théorème fameux suivant en
utilisant les méthodes provenant de la dynamique topologique développées par
Furstenberg et Weiss.
\begin{theoreme}[\textsc{van der Waerden}]
Soient $r,k\geq 2$ deux entiers. Pour tout coloration des entiers $\ZZ$ en $r$
couleurs, il existe une progression arithmétique de longueur $k$ dont les
éléments ont tous la même couleur.
\end{theoreme}
De manière plus formelle, l'énoncé dit que si on partitionne les entiers $\ZZ$
en $r$ parties, au moins une des parties contient une progression arithmétique
de longueur $k$.
Le théorème suivant donne une version finie.
\begin{theoreme}[\textsc{van der Waerden}, fini]
Soient $r,k\geq 2$ deux entiers. Alors il existe $W(r,k)$ tel que pour toute
coloration des entiers $n\in\ZZ$ avec $\left| n\right|\leq W(r,k)$ en $r$
couleurs, il existe une progression arithmétique de longueur $k$ dont les
éléments ont tous la même couleur.
\end{theoreme}
Notons que ce théorème affirme seulement l'existence de $W(r,k)$ mais ne dit rien
sur sa valeur. Peu de valeurs sont connues :
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|ccccc|}
\hline
\textbf{r/k} & \textbf{3} & \textbf{4} & \textbf{5} & 6 & 7\\
\hline
2 couleurs & 9 & 35 & 178 & 1132 & $> 3703$ \\
3 couleurs & 27 & 293 & $> 2173$ & $> 11191$ & $> 43855$ \\
4 couleurs & 76 & $> 1048$ & $> 17705$ & $> 91331$ & $> 393469$ \\
5 couleurs & $>170$ & $> 2254$ & $> 98740$ & $> 540025$ & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
En 2001 Timothy Gowers a donné la borne superieur
\[W(r,k)\leq 2^{2^{r^{2^{2^{k+9}}}}}.\]
En effet les deux versions du théorème de \textsc{van der Waerden} sont
équivalentes. Pour déduire la version finie de la version infinie nous utilisons
un argument très similaire à l'argument de la diagonale de Cantor. Supposons
qu'on ait une suite $(N_{0,m})_{m=1}^\infty$ avec $N_{0,m}\to+\infty$ pour
$m\to+\infty$, ensemble avec une suite $C_{1}^{(0,m)}\cup\cdot\cup
C_{r}^{(0,m)}$ des colorations de $[-N_{0,m},N_{0,m}]$ en $r$ couleurs telle que
aucune coloration contient une progression arithmétique monochromatique de
longueur $k$.
Considérons la coloration de $-1,0,1$. D'après il y a seulement un nombre fini
de façons à colorier ces trois entiers, il existe une sous-suite infinie
$(N_{1,m})_{m=1}^\infty$ de $(N_{0,m})_{m=1}^\infty$ telle que $-1,0,1$ ont les
même couleurs dans toutes les colorations associées $C_{1}^{(1,m)}\cup\cdot\cup
C_{r}^{(1,m)}$.
Maintenant considérons les couleurs de $-2,-1,0,1,2$. D'après il y a seulement
un nombre fini de façons à colorier ces cinq entiers, il existe une sous-suite
infinie $(N_{2,m})_{m=1}^\infty$ de $(N_{1,m})_{m=1}^\infty$ telle que
$-2,-1,0,1,2$ ont les même couleurs dans toutes les colorations associées
$C_{1}^{(2,m)}\cup\cdot\cup C_{r}^{(2,m)}$.
De même manier nous obtenons une sous-suite $(N_{3,m})_{m=1}^\infty$ et ainsi de
suite. Considérons la suite diagonale :
$(N^*_{m})_{m=1}^\infty=(N_{m,m})_{m=1}^\infty$. Après construction les entiers
$-m,-m+1,\ldots,m-1,m$ ont la même couleurs dans la coloration associée
$C_{1}^{*(m)}\cup\cdot\cup C_{r}^{*(m)}$. Cela donne une coloration de $\ZZ$.
D'après la version infinie du théorème de \textsc{van der Waerden} elle contient
une progression arithmétique monochromatique de longueur $k$. Cette progression
est contenu dans un intervalle $[-N_m^*,N_m^*]$ en contradiction avec
l'assomption.
La notation d'argument en haut est un peu difficile. Comme nous l'utilisons
plusieurs fois nous aimerons introduire l'idée du compacité séquentielle.
\begin{definition}[Espace produit]
\index{espace produit}Soit $\Lambda=\{0,1,\ldots,r-1\}$ un alphabet à $r$
lettres. Nous considérons l'espace $\Lambda^\ZZ$ des suites double-infinie
$x=(\ldots,x(-1),x(0),x(1),x(2),\ldots)$ tel que $x(i)\in\Lambda$ pour tout
$i\in\ZZ$. C'est une autre façon de décrire une coloration de $\ZZ$ en $r$
couleurs. L'espace $\Lambda^\ZZ$ peut être muni de la topologie produit,
\textit{i.e.} de la topologie engendre par les cylindres de la forme
$C(y):=\{x\colon x(i) = y(i)\text{ pour }\left| i\right|\leq m\}$. D'après le
théorème de Tychonov $\Lambda^\ZZ$ est compact. Il est métrisable avec la
métrique $d$ en définissent $d(x,y)=1/(m+1)$$m$ est le plus petit entier
positif tel que $x(m)\neq y(m)$ ou $x(-m)\neq y(-m)$. À la place du théoréme
de Tychonov on peut aussi utiliser l'argument de diagonalisation en haut pour
démontrer la compacité séquentielle.
\end{definition}
Nous pouvons utiliser cette définition pour démontrer l'équivalence de deux
versions du théorème de \textsc{van der Waerden}. Supposons que la version finie
soit fausse pour certains entiers $r$ et $k$. Alors pour tout entier $N$ il
existe une coloration de $[-N,N]$ en $r$ couleurs, qui ne contient pas une
progression arithmétique monochromatique de longueur $k$. On peut passer toute
coloration de $[-N,N]$ dans une coloration de $\ZZ$ arbitraire (qui peut
bien sûr contenir des progressions monochromatique). Nous associons le point
$x_N\in \Lambda^\ZZ$ à cette coloration. Par compacité séquentielle ils existent
$x^*\in \Lambda^\ZZ$ et une sous-suite $(N_k)$ de $\NN$ telle que $x_{N_k}\to
x^*$ pour $k\to+\infty$. En particulière, pour tout $M$ il existe $k_0=k_0(M)$
tel que pour tout $k\geq k_0$ on a $x_{N_k}(i)=x^*(i)$ pour tout $\left|
i\right|\leq M$. Si de plus nous supposons que $N_k\geq M$, alors la coloration
associée à $x^*$ ne contient pas de progression arithmétique monochromatique de
longueur $k$. D'après $M$ soit arbitraire cela contradict la version infinie du
théorème.
\section{Minimalité}
Supposons que $X$ soit un espace métrique compact. Prenons une transformation
continue $T\colon X\to X$. Celle-ci induit un action de $\NN$ sur $X$ par
$n\cdot x=T^nx$. Si $T$ est une homeomorphisme, alors il s'agit d'un action de
$\ZZ$. Dans cette section nous écrivons $S$ pour $\NN$ ou $\ZZ$. En effet la
plupart des énonces reste valid si $S$ est un demi-groupe.
\begin{definition}[Minimalité]
\index{minimalité}Supposons que $X$ soit un espace métrique et compact et que
$S$ est un demi-groupe qui opère sur $X$ par des applications continues. Cet
action est dit minimal, si les seuls sous-ensembles $X'\subset X$, qui sont
fermés et invariants par $S$, sont $X'=X$ et $X'=\emptyset$.
\end{definition}
Voici une définition alternative qui est plus utile pour nous.
\begin{lemme}[Minimalité et adherence d'orbit]
L'action $S$ sur $X$ est minimal si et seulement si toute adhérence d'orbit
$\mathcal{O}(x)=\overline{\left(T^nx\right)_{n\in S}}$ est égale à $X$.
\end{lemme}
\begin{proof}
Il est bien clair que $\mathcal{O}$ est fermé, invariant par $S$ et non-vide.
Donc si l'action de $S$ sur $X$ est minimal, alors $\mathcal{O}(x)=X$.
Contrairement supposons que $X'\subsetneq X$ soit un sous-ensemble fermé, non-vide
et invariant par $S$. Pour tout $x'\in X'$ l'orbit $\mathcal{O}(x')\subseteq
X'\subsetneq X$.
\end{proof}
\begin{lemme}\label{green:lem2.3}
Soit $X$ un espace métrique et compact et soit $S$ un demi-group qui opère sur
$S$ par des applications continues. Alors il exist un ensemble $X'\subseteq x$
fermé, non-vide et invariant par $S$ tel que l'action $S$ est minimal sur $X'$.
\end{lemme}
\begin{proof}
Soit $\mathcal{F}$ une famille des sous-ensemble de $X$ fermé, non-vide et
invariant par $S$. On peut définir un ordre sur cette famille par l'inclusion.
Toute chaine $(X_i)_{i\in I}$ a l'intersection $\bigcap_{i\in I}$ comme borne
inférieur. Cela est fermé, non-vide et invariant par $S$. D'après le lemme de
Zorn cet ordre a un élément minimal $X'$. C'est bien clair que $S$ opère
minimal sur $X'$.
\end{proof}
\begin{theoreme}[Théorème de récurrence de \textsc{Birkhoff}]
Soit $X$ und espace métrique et compact et soit $T\colon X\to X$ une
transformation continue. Alors ils existent un $x_0\in X$ et une suite $1\leq
n_1<n_2<\cdots$ des entiers positifs tels que $T^{n_k}x_0\to x_0$.
\end{theoreme}
\begin{proof}
Soit $S=\NN$. D'après lemme \ref{green:lem2.3} nous supposons que $S$ opère
minimal sur $X$. Prenons $x_0\in X$. Comme $X$ est minimal on a
$\overline{\left( T^nx_0\right)_{n\geq1}}=X$. S'il y a $n$ tel que $T^nx=x$,
alors l'énoncé est clair. Sinon par la densité on peut construire une suite
$n_1<n_2<\cdots$ des entiers distincts telle que $T^{n_k}x_0\to x_0$ pour
$k\to+\infty$.
\end{proof}
\section{Récurrence multiple et le théorème de \textsc{van der Waerden}}
Nous allons déduire le théorème de \textsc{van der Waerden} du théorème suivant.
\begin{theoreme}[Théorème de récurrence multiple, $\mathrm{MR}(L)$]\label{green:mrL}
Soit $X$ un espace métrique et compact et soit $T\colon X\to X$ une
homéomorphisme. Soit $L\geq1$ un entier. Alors il existe $x\in X$ et
une suite $1\leq n_1<n_2<\cdots$ des entiers positifs tels que
$T^{n_k}x,T^{2n_k}x, \ldots, T^{Ln_k}x\to x$.
\end{theoreme}
L'idée centrale de la démonstration est un principe de correspondance : nous
associons à chaque coloration de $\ZZ$ en $r$ coleurs un système dynamique. Si
la coloration ne contient pas de progression arithmétique monochromatique de
longueur $L$, alors le système dynamique correspondant ne satisfait pas $\mathrm{MR}(L)$.
\begin{proof}[Démonstration que Theoréme \ref{green:mrL} implique le théorème de \textsc{van der Waerden}]
Considérons l'espace métrique et compact $\Lambda^\ZZ$ avec
$\Lambda=\{0,1,\ldots,r-1\}$. Nous transformons cet espace en système
dynamique par la décalage $T\colon \Lambda^\ZZ \to \Lambda^\ZZ$ définie par
$(Tx)_n=x_{n+1}$.
Supposons que $\ZZ=C_1\cup \cdots \cup C_r$ soit une coloration des entiers en
$r$ couleurs. Associons le point $x\in\Lambda^\ZZ$ avec cette coloration. Soit
$X:=\overline{(T^mx)_{m\in\ZZ}}$ l'adhérence du orbit de $x$. Alors $X$ est
invariant par $\ZZ$ et d'après le théorème de récurrence multiple ils existent
$n\geq1$ et $y\in X$ tels que $d(y,T^ny),\ldots, d(y,T^{Ln}y)\leq\frac12$.
Comme les transformations $T^n,\ldots,T^{Ln}$ sont toutes continues, pour tout
$z\in X$ suffisamment proche de $y$ on a que $d(z,T^nz),\ldots,d(z,T^{Ln}z)\leq
1$. D'après $X$ est l'adhérence du orbit $(T^mx)_{m\in\ZZ}$ on peut choisir
$z=T^mx$ pour un certain $m$. Donc
$d(T^mx,T^{n+m}x),\ldots,d(T^mx,T^{Ln+m}x)\leq 1$ et avec la métrique sur
$\Lambda^\ZZ$ on en déduire que
\[(T^mx)_0=(T^{n+m}x)_0=\cdots=(T^{Ln+m})_0.\]
Cela implique que les entiers $m,m+n,\ldots,m+Ln$ appartiennent à la même
classe $C_i$, donc il forme une progression arithmétique monochromatique de
longueur $L$.
\end{proof}
\section{Démonstration du théorème de récurrence multiple}
D'après lemme \ref{green:lem2.3} nous supposons que l'action de $\ZZ$ sur $X$
induit par $T\colon X\to X$ soit minimal. Autrement dit les seuls sous-espaces
de $X$ qui sont invariant par $T$ et $T^{-1}$ sont $X$ et $\emptyset$.
Nous démontrons le théorème par récurrence sur $L$. Le cas $\mathrm{MR}(1)$ est
le théorème de récurrence de Birkhoff. Supposons qu'on ait démontrer le cas
$\mathrm{MR}(L-1)$.
Considérons l'espace $X^L=X\times\cdots\times X$ muni de la métrique du produit
et la diagonale $X^\Delta:=\{(x,x,\ldots,x)\colon x\in X\}$. Définissons
$\tilde{T}\colon X^L\to X^L$ par
\[\tilde{T}:=T\times T^2\times\cdots\times T^L.\]
Le théorème de récurrence multiple est équivalent à l'existence d'un $x\in
X^\Delta$ tel que pour tout $\varepsilon >0$ il existe $n\geq 1$ tel que
$d(x,\tilde{T}^nx)<\varepsilon$. C'est une forte hypothése sur des propriétés
de récurrence de la transformation $\tilde{T}$ sur la diagonale $X^\Delta$.
C'est pourquoi nous divisons l'étape de récurrence en cinq petites étapes dont
la dernière est la récurrence demandé.
\begin{proposition}
Supposons que $T\colon X\to X$ soit une homéomorphisme dont l'action induit de
$\ZZ$ sur $X$ soit minimal. On a
\begin{enumerate}[(i)]
\item Pour tout $\varepsilon>0$ ils existent $x,y\in X^\Delta$ et $n\geq1$
tels que $d(x,\tilde{T}^ny)<\varepsilon$.
\item Pour tout $x\in X^\Delta$ et pour tout $\varepsilon>0$ ils existent
$n\geq1$ et $y\in X^\Delta$ tels que $d(x,\tilde{T}^ny)<\varepsilon$.
\item Pour tout $\varepsilon>0$ ils existent $x\in X^\Delta$ et $n\geq1$
tels que $d(x,\tilde{T}^nx)<\varepsilon$.
\item Pour tout $\varepsilon>0$ l'ensemble de $x\in X^\Delta$ tel qu'il
existe $n\geq1$ tel que $d(x,\tilde{T}^nx)<\varepsilon$ est dense dans
$X^\Delta$.
\item Il existe $x\in X^\Delta$ tel que pour tout $\varepsilon>0$ il exist
$n\geq1$ tel que $d(x,\tilde{T}^nx)<\varepsilon$.
\end{enumerate}
\end{proposition}
\begin{proof}
Par abuse de notation nous écrivons $T\colon X^\Delta\to X^\Delta$ pour la
transformation $(x,x,\ldots,x)\mapsto (Tx,Tx,\ldots,Tx)$.
\begin{enumerate}[(i)]
\item Supposons $\mathrm{MR}(L-1)$. Alors ils existent $x\in X$ et $n\geq1$
tels que
\[d(x,T^nx),d(x,T^{2n}x),\ldots,d(x,T^{(L-1)n}x)<\varepsilon.\] Posons $y:=T^{-n}x$. Alors
\[d(x,T^{n}y),d(x,T^{2n}y),\ldots,d(x,T^{Ln}y)<\varepsilon\]
et donc $d(x,\tilde{T}^ny)<\varepsilon$.
\item Soit $B$ la boule ouvert du rayon $\varepsilon/2$ et du centre $x\in
X$. Donc $Y:=X\setminus\bigcup_{m\in\ZZ}T^{-m}B$ est fermé et invariant par
$T$ et $T^{-1}$. Par minimalité il faut que $Y=\emptyset$. Comme $X$ est
compact il exist $M$ tel que $X=\bigcup_{\left| m\right|\leq M}T^{-m}B$ et
donc $X^\Delta=\bigcup_{\left| m\right|\leq M}T^{-m}B^\Delta$. Chaque
transformation $T^m$, $\left| m\right|\leq M$, est uniformément continue sur
$X^\Delta$. Alors il existe $\eta>0$ tel que $d(w,w')\leq \eta$ implique
$d(T^mw,T^mw')\leq \varepsilon/2$ pour $\left| m\right|\leq M$. D'après (i)
ils existent $x',y'\in X^\Delta$ et $n\geq1$ tels que
$d(x',\tilde{T}^ny')<\eta$. Posons $m$ avec
$\left| m\right|\leq M$ tel que $x'\in T^{-m}B^\Delta$; donc $T^mx'\in
B^\Delta$. Pour tout $n\geq 1$ on a
\begin{align*}
d(x,\tilde{T}^nT^my')&\leq d(x,T^mx') + d(T^mx',T^m\tilde{T}^ny')\\
&<\varepsilon/2+\varepsilon/2=\varepsilon.
\end{align*}
En posent $y:=T^my'$ nous obtenons (ii).
\item Ce la coeur de la démonstration. Furstenberg dit que l'argument est
originellement de Rufus Bowen. L'idée est de construire une suite décroissante $\varepsilon_1>\varepsilon_2>\cdots$
des réels positifs avec une suite des éléments $x_i\in X^\Delta$ telle que
$d(x_i,\tilde{T}^nx_j)$ est très petit.
Posons $\varepsilon_1:=\varepsilon/3$ et $x_0:=x$. D'après
(ii) ils existent $x_1$ et $n_1\geq1$ tels que
$d(x_0,\tilde{T}^{n_1}x_1)<\varepsilon_1$. Comme $\tilde{T}^{n_1}$ est
uniformément continue il existe $\varepsilon_2$ tel que
$d(w,w')<\varepsilon_2$ implique
$d(\tilde{T}^{n_1}w,\tilde{T}^{n_1}w')<\varepsilon/9$. Une autre fois d'après
(ii) ils existent $x_2$ et $n_2\geq1$ tel que
$d(x_1,\tilde{T}^{n_2}x_2)<\min(\varepsilon_2,\varepsilon/9)$. Notons que
par construction on a
\[d(x_0,\tilde{T}^{n_1+n_2}x_2)\leq
d(x_0,\tilde{T}^{n_1}x_1)+d(\tilde{T}^{n_1}x_1,\tilde{T}^{n_1+n_2}x_2)<\varepsilon/3+\varepsilon/9<\varepsilon/2.\]
Dans l'étape prochaine nous choisissons $\varepsilon_3$ tel que
$d(w,w')<\varepsilon_3$ implique que
\[d(\tilde{T}^{n_2}w,\tilde{T}^{n_2}),d(\tilde{T}^{n_1+n_2}w,\tilde{T}^{n_1+n_2})<\min(\varepsilon_3,\varepsilon/27).\]
Donc
\[d(x_0,\tilde{T}^{n_1+n_2+n_3}x_3),d(x_1,\tilde{T}^{n_2+n_3}x_3)<\varepsilon/3+\varepsilon/9+\varepsilon/27<\varepsilon/2.\]
En continuent récursivement on obtient pour $i<j$ l'inégalité
\[d(x_i,\tilde{T}^{n_{i+1}+\cdots+n_j}x_j)<\varepsilon/3+\varepsilon/9+\cdots<\varepsilon/2.\]
Par compacité séquentielle ils existent $i$ et $j$ tels que $d(x_i,
x_j)<\varepsilon/2$. Avec l'inégalité du triangle on a
\[d(x_j,
\tilde{T}^{n_{i+1}+\cdots+n_j}x_j)<\varepsilon/2+\varepsilon/2=\varepsilon.\]
D'où on a (iii) avec $x=x_j$ et $n=n_{i+1}+\cdots+n_j$.
\item Suppsons que (iv) soit fausse. Alors il existe un ensemble overt
$V\subseteq X^\Delta$ et $\delta>0$ tels que $d(v, \tilde{T}^nv)>\delta$
pour tout $v\in V$ et tout $n\geq1$. D'après minimalité et compacité il
exist $m$ tel que $X^\Delta=\bigcup_{\left| m\right|\leq M}T^{-m}V$. Soit
$x\in X^\Delta$ arbitraire. Choisissons $m$, $\left| m\right|\leq M$, tel
que $x\in T^{-m}V$, et donc $T^mx\in V$. Alors
$d(T^mx,\tilde{T}^nT^mx)>\delta$ pour tout $n\geq1$. Comme $T,\ldots,T^m$
est uniformément continue on a $d(x, \tilde{T}^nx)>\eta$ pour un
$\eta=\eta(\delta)>0$ pour tout $x\in X^\Delta$ et $n\geq1$, en
contradiction avec (iii).
\item Soit $A_N$ l'ensemble de tout $x\in X^\Delta$ dont il existe $n\geq1$
que $d(x,\tilde{T}^nx)<1/N$. Tout $A_N$ est ouvert dans $X^\Delta$ et dense
(d'après (iv)). D'après le théorème de Baire Category l'intersection
$\bigcap_{N\in\NN}A_N$ n'est pas vide. En prennent un point $x$ quelquonque
dans cet intersection on obtient (v).
\end{enumerate}
\end{proof}
\chapter{Les théorèmes ergodiques}
\chapter{Le théorème de Furstenberg et Sárközy}
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