Pomodoro 5.2

polycopie.tex

@@ -372,7 +372,7 @@ Soit $X=\{0,1,\ldots,k-1\}^\ZZ$, \textit{i.e.} l'espace des mots double-infinis
 où tout $a_i$ est dans l'alphabet fini $\{0,1,\ldots,k-1\}$. L'espace $X$ est
 compact et métrique (compact par le théorème de Tychonov et nous allons définir
 une métrique plus tard). Définissons le shift $T\colon X\to X$ par
-$(Tx)_n=x_{n+1}$. Nous allons montrer que $T$ est une homeomorphisme et alors il
+$(Tx)_n=x_{n+1}$. Nous allons montrer que $T$ est une homéomorphisme et alors il
 s'agit d'un système dynamique topologique.
 
 \paragraph{La transformation du boulanger.}
@@ -609,7 +609,7 @@ théorème.
 
 Supposons que $X$ soit un espace métrique compact. Prenons une transformation
 continue $T\colon X\to X$. Celle-ci induit un action de $\NN$ sur $X$ par
-$n\cdot x=T^nx$. Si $T$ est une homeomorphisme, alors il s'agit d'un action de
+$n\cdot x=T^nx$. Si $T$ est une homéomorphisme, alors il s'agit d'un action de
 $\ZZ$. Dans cette section nous écrivons $S$ pour $\NN$ ou $\ZZ$. En effet la
 plupart des énonces reste valid si $S$ est un demi-groupe.
 
@@ -1800,7 +1800,7 @@ $A\subseteq\{1,\ldots,N\}$ ayant une densité positive.
 
 Voila la récurrence ergodique nous allons démontrer.
 
-\begin{theoreme}[Les carrés sont un ensemble de Poincaré]
+\begin{theoreme}[Les carrés sont un ensemble de Poincaré]\label{thm:squares-are-poincare}
   Soit $(X,T,\mu)$ un système dynamique mesure et soit $S\subseteq X$
   un ensemble mesurable avec $\mu(S)>0$. Alors il existe $n\geq1$ tel
   que $\mu(S\cap T^{-n^2}S)>0$.
@@ -1839,7 +1839,27 @@ Maintenant nous déduisons le théorème de Furstenberg-Sárközy (théorème
   [M_N+1,M_N+N]$ contenant dans $A$, qui est au moins égale à
   $\delta$.
 
-  Soit $\mu$ la limite faible de la suite des mesures $\mu_N$. 
+  Soit $\mu$ la limite faible de la suite des mesures $\mu_N$. Pour simplifier
+  la notation supposons que la suite complète $\mu_N$ converge vers $\mu$ et ne pas
+  seulement une sous-suite. Alors $\mu_N(S)\to\mu(S)$ et donc
+  $\mu(S)\geq\delta$.
+
+  Les mesures $\mu_N$ ne sont pas invariantes par $T$, mais elles les sont
+  presque. En effet, puisque
+  $\delta_{T^n\omega_A}(T^{-1}x)=\delta_{T^{n+1}\omega_A}(x)$ on obtient
+  \[\mu_N\circ
+  T-\mu_N=\frac{1}{N}\left(\delta_{T^{M_N+1}\omega_A}-\delta_{T^{M_N+N+1}\omega_A}\right),\]
+  et donc pour chaque fonctino $f$ on a
+  \[\lvert \int f\circ T\mathrm{d}\mu_N-\int f\mathrm{d}\mu_N\rvert
+  \leq 2\lVert f\rVert_{\infty}/N.\]
+  Puisque $\mu_N(f)\to\mu(f)$ et $\mu_N(f\circ T)\to\mu(f\circ T)$ (notons que
+  $T$ est une homéomorphisme) on voit que $\mu(f\circ T)=\mu(f)$, c'est-à-dire
+  $\mu$ est invariante par $T$.
+
+  Nous pouvons appliquer théorème \ref{thm:squares-are-poincare}. Alors il
+  existe $n\geq1$ tel que $\mu(S\cap T^{-n^2}S)>0$. Donc pour $N$ assez grand on
+  a $\mu_N(S\cap T^{-n^2}S)>0$, qui implique immédiatement que l'ensemble $A_N$
+  contient deux éléments dont la différence est $n^2$.
 \end{proof}
 
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