Pomodoro 4.1

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@@ -994,7 +994,7 @@ Donc si $\mu(E)\neq0$ alors $\mu(U)=1$ et par conséquent $\mu(E)\geq
 arbitraire, nous avons $\mu(E)=1$.
 \end{proof}
 
-\section{Moyennes temporelles contre moyennes spatiales}
+\section{Moyennes temporelles vers moyennes spatiales}
 
 Soit $(X,\mu,T)$ un système dynamique mesuré avec $\mu(X)=1$ et
 supposons que $T\colon X\to X$ soit ergodique. Un ``théorème
@@ -1052,7 +1052,7 @@ $f_n\colon [0,1]\to \RR$ définie par $f_n(x)=n$ si $0\leq x\leq 1/n$
 et $f_n(x)$ sinon, converge vers zéro presque partout. Mais $f_n$ ne
 converge pas vers zéro dans n'importe quel $L^p$ avec $p\geq1$.
 
-\section{Moyennes temporelles contre moyennes spatiales dans faible
+\section{Moyennes temporelles vers moyennes spatiales dans faible
   $L^2$}
 
 Nous commençons avec le théorème le plus faible qu'on peut appeler un
@@ -1107,7 +1107,7 @@ dual).
   converge faiblement vers $\overline{f}$ dans $L^2(X)$.
 \end{proof}
 
-\section[le théorème moyenne]{Moyennes temporelles contre moyennes de l'espace dans $L^2$ :
+\section[le théorème moyenne]{Moyennes temporelles vers moyennes de l'espace dans $L^2$ :
 le théorème moyenne}
 
 Le théorème principal de cette section supplante complètement celui de
@@ -1467,7 +1467,46 @@ Rappelons la transformation de Gauss $T\colon [0,1]\to[0,1]$ définie par
 $T(x)=\frac1x-\left\lfloor \frac1x\right\rfloor$ si $x\neq 0$ et $T(0)=0$ sinon.
 On a ajouté le point $0$ pour rentre l'espace compact.
 
+\begin{lemme}
+  Soit $\mu$ la mesure de Lebesgue sur $[0,1]$, et soit $nu$ une autre mesure
+  définie par 
+  \[\nu(E):=\frac1{\ln 2}\int_E\frac{\mathrm{d}\mu(x)}{1+x}.\]
+  Alors $(X,T,\nu)$ est une système dynamique mesuré.
+\end{lemme}
+
+\begin{proof}
+  Il suffit de démontrer que $\nu(T^{-1}]a,b[)=\nu(]a,b[)$ pour tout
+  $0<a<b<1$. En utilisent les arguments de limite on peut en déduire
+  que $\nu(T^{-1}E)=\nu(E)$ pour tout $E$ mesurable.
+
+  En effet, l'image inverse $T^{-1}]a,b[$ est l'union
+  $\bigcup_{n=1}^\infty\left]\frac{1}{n+b},\frac{1}{n+a}\right[$ et
+  donc
+  \begin{align*}
+    \nu(T^{-1}]a,b[)\ln 2
+    &=\sum_{n=1}^\infty\int_{1/(n+b)}^{1/(n+a)}\frac{\mathrm{d}x}{1+x}\\
+    &=\sum_{n=1}^\infty\left(\ln\left(\frac{1}{n+a}+1\right)-\ln\left(\frac{1}{n+b}+1\right)\right)\\
+    %&=\sum_{n=1}^\infty\left(\ln\left(\frac{n+a+1}{n+a}\right)-\ln\left(\frac{n+b+1}{n+b}\right)\right)\\
+    &=\sum_{n=1}^\infty\left(\ln(n+a+1)-\ln(n+a)+\ln(n+b+1)-\ln(n+b)\right).
+  \end{align*}
+  La derninère somme est télescopique et alors
+  \begin{align*}
+    \nu(T^{-1}]a,b[)\ln 2
+    &=\lim_{N\to+\infty}\left(\ln(N+a+1)-\ln(N+b+1)\right)-\ln(a+1)+\ln(b+1)\\
+    &=\lim_{N\to+\infty}\ln\left(\frac{N+a+1}{N+b+1}\right)-\ln(a+1)+\ln(b+1)\\
+    &=-\ln(a+1)+\ln(b+1)=\int_a^b\frac{\mathrm{d}x}{1+x}=\nu(]a,b[) \ln2.
+  \end{align*}
+\end{proof}
 
+\begin{proposition}
+  La transformation de Gauss est ergodique par rapport à la mesure de
+  Gauss $\nu$.
+\end{proposition}
+
+\begin{proof}
+  L'idée est très similaire à la démonstration que la dilatation du
+  cercle est ergodique. Les détails sont un peu plus compliques. 
+\end{proof}
 
 % ---------------------------------------------------------------------------