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@@ -21,9 +21,101 @@ Les relations intervenant en électrocinétique sont :
 
 ## Formulation forte 
 
+Comme en électrostatique, nous pouvons définir le potentiel scalaire électrique $v$ tel que : ${\bf e} = -{\bf grad}\\,v$. 
+
+En réinjectant cette relation couplée à la loi de comportement dans la loi des nœuds locale, on obtient : $$ \text{div}\left(\sigma\\,{\bf grad}\\,v \right) = 0$$ 
+
+Sur les faces d'entrée et de sortie du courant $(\Gamma_d = \Gamma_{di}\cup\Gamma_{dj})$, deux cas seront possibles : 
+1. Soit une condition de potentiel imposé par une condition de Dirichlet sur $\Gamma_{di}$ de type : $$v|_{\Gamma\_{di}} = v_i$$
+2. Soit une condition de Neumann non-homogène imposant la densité de courant normale à la surface $\Gamma\_{dj}$ :  $$\left.\frac{\partial\\,v}{\partial {\bf n}}\right|\_{\Gamma\_{dj}} = {\bf grad}\\,v\cdot {\bf n}\big|_{\Gamma\_{dj}} = \pm j\_{n\_j}$$
+
+Sur les autres bords du domaine $(\Gamma_n)$, nous aurons des conditions de Neumann homogènes : ${\bf grad}\\,v\cdot {\bf n}\big|_{\Gamma\_{n}} = 0$
+
+Finalement, la forme complète de la formulation forte à résoudre est donc : 
+
+$$\left\\{\begin{aligned}\text{div}\left(\sigma\\,{\bf grad}\\,v\right) &= 0~,  &\text{dans}~ \Omega_c\\\\  \left.v\right|\_{\Gamma\_{di}}  &= v_i~,  &\text{sur}~ \Gamma\_{di}\\\\\left.{\bf grad}\\, v \cdot {\bf n}\right|\_{\Gamma\_{dj}} &= \pm j\_{n\_j}~, &\text{sur}~ \Gamma\_{d\_j} \\\\\left.{\bf grad}\\, v \cdot {\bf n}\right|\_{\Gamma\_n} &= 0~, &\text{sur}~ \Gamma\_n \end{aligned}\right.$$
+
+
 
 ## Formulation faible
 
+La formulation faible correspondant à la forme forte ci-dessus est obtenue rapidement par analogie avec l'électrostatique : 
+
+Trouver $v \in \text{H}\_{0}({\bf grad},\Omega) = \\{ u \in \text{H}({\bf grad},\Omega) : u\|\_{\Gamma_{di}} = v_i\\}$, tel que : 
+
+$$\forall v' \in \text{H}\_{0}({\bf grad},\Omega),~~ \left(\sigma\\,{\bf grad}\\,v,{\bf grad}\\,v'\right)\_{\Omega} + \left<j\_{n\_j},v'\right>\_{\Gamma_{dj}} = 0$$
+
 
  
-## Applications
+## Exemples et applications
+
+### Résistance de sole de four électrique
+
+On considère une résistance de sole de four électrique telle que représentée ci-dessous :
+![Résistance de sole](../../images/figures/rsole.png "Géométrie de la résistance de mon four")
+
+On désire calculer la distribution de la densité de courant à l'intérieur lorsqu'on applique une tension de 230 V à ses bornes, afin d'en déduire sa résistance via les pertes Joule associées. 
+
+L'implantation dans GetDP ressemble beaucoup au cas précédent :
+```c++
+Constraint {	
+  {Name Dirichlet ;
+    Case {      
+      {Region Sentree ; Type Assign ; Value Veff ;}
+      {Region Ssortie ; Type Assign ; Value 0. ;}
+    }
+  }
+}
+
+FunctionSpace {
+  { Name Hgrad_v ; Type Form0 ; 
+    BasisFunction { 
+      { Name sn ; NameOfCoef vn ; Function BF_Node ; 
+		Support Region[{Domaine}]  ; Entity NodesOf[All] ; }
+    } 
+    Constraint {
+      { NameOfCoef vn  ; EntityType NodesOf ; NameOfConstraint Dirichlet ; }
+    }
+  }
+}
+
+
+Formulation {
+  { Name Electrocinetique ; Type FemEquation ;
+    Quantity {
+      { Name v  ; Type Local  ; NameOfSpace Hgrad_v ; }
+    } 
+    Equation {
+      Galerkin { [ Sigma[]*Dof{Grad v}  , {Grad v} ] ;
+		In Domaine ; Jacobian Jvol ; Integration Integ ; }
+     }
+  }
+}
+```
+Après calcul, on obtient pour la répartition du potentiel scalaire électrique :
+![v dans résistance de sole](../../images/figures/v_rsole.png "Répartition de v dans la résistance de mon four")  
+
+**Vous pouvez télécharger les fichiers complets en** {{% button href="../../files/Rsole.zip" icon="fas fa-download" icon-position="right" %}}cliquant ici{{% /button %}}.
+ 
+Pour la petite histoire, voici une photo de celle de mon four perso après démontage pour changement suite à un défaut d'isolement :
+![Ma resistance de sole perso](../../images/figures/resistance_sole_pt.jpg)
+
+
+---
+
+
+### Résistance de charge
+
+1. Traiter le problème analogue sur une forme correspondant aux résistances de charge utilisées sur nos bancs expérimentaux :
+!["Résistances de charges pour manip"](../../images/figures/resistances_IPT.jpg "Nos belles résistances de charges")
+
+2. En dimensionner une permettant de dissiper 2 kW sous 48 V continus. 
+
+---
+
+### Busbar avec potentiel flottant (à venir)
+
+!["Busbar"](../../images/figures/busbar.png "Busbar")
+
+
+