ajout

module-web/content/mefem/Magnétodynamique/magnetoharm.md

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+title: Magnétoharmonique
+weight: 45
+#pre: "<b>3. </b>"
+chapter: false
+math: true
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+Dans le cas particulier où les sources sont en régime sinusoïdal forcé de pulsation $\omega$, nous pourrons utiliser la transformation complexe vue [**dans le chapitre 1**](../../../electromag/regharmo/) et résoudre directement en complexe : c'est ce qu'on appelle la **magnétoharmonique** (certains l'appellent « *magnétostatique complexe* »).  
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+La formulation faible à résoudre est alors : 
+
+Trouver $\underline{\bf a} \in \textbf{H}\_{0}({\bf rot},\Omega) = \\{ \underline{\bf a} \in \textbf{H}({\bf rot},\Omega) : \underline{\bf a}\wedge{\bf n}\|\_{\Gamma_{d}} = 0\\}$ et $\underline{v} \in \text{H}\_{0}({\bf grad},\Omega) = \\{ \underline{u} \in \text{H}({\bf grad},\Omega) : \underline{u}\|\_{\Gamma_{di}} = \underline{v_i}\\}$, tels que : 
+
+$$\left\\{\begin{aligned}\left(\mu^{-1}\\,{\bf rot}\\,\underline{\bf a}\\,,\\,{\bf rot}\\,\underline{\bf a'}\right)\_{\Omega} + \left(\sigma\\,j\omega\\,\underline{\bf a}\\,,\\,\underline{\bf a'}\right)\_{\Omega_c} + \left( \sigma\\,{\bf grad}\\,\underline{v} \\,,\\, \underline{\bf a'}\right)\_{\Omega\_c} = 0,~ ~\forall\\,\underline{\bf a'} \in \textbf{H}\_{0}({\bf rot},\Omega) \\\\ (\sigma\\,{\bf grad}\\,\underline{v} \\,,\\, {\bf grad}\\,\underline{v'})\_{\Omega\_c} + (\sigma\\,j\omega\\,\underline{\bf a} \\,,\\, {\bf grad}\\,\underline{v'})_{\Omega\_c} = 0,~ ~\forall\\, \underline{v'} \in \text{H}\_{0}({\bf grad},\Omega)\end{aligned}\right.$$
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+L'implantation dans GetDP n'est pas plus compliquée que ce que nous avons vu jusqu'à présent. Le passage en complexe et la fréquence associée sont précisés dans la partie « Résolution » : 
+```c++
+Resolution {
+  { Name MagnetoHarmonique_2D;
+    System {
+      { Name A; NameOfFormulation MagnetoHarmonique_2D;
+			Type ComplexValue; Frequency freq;
+      }
+    }
+    Operation {
+      Generate[A];
+      Solve[A]; 
+      SaveSolution[A];
+    }
+  }
+}
+```
+Et la multiplication par $j\omega$ dans la formulation peut-être faite (au choix) : 
+- directement via un terme `Complex[0,1]*2*Pi*freq` dans les expressions ;
+- ou en utilisant `DtDof` qui permet de définir une dérivée temporelle des degrés de liberté. 
+
+
+## Applications
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+### Barre cylindrique 
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+À titre d'exemple, je vous propose de résoudre numériquement l'exercice sur la [**barre cylindre alimentée en alternatif**](../../../electromag/synthese/#ex-8--résistance-dune-barre-cylindrique-alimentée-en-alternatif). 
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+Le modèle est {{% button href="../../../files/barre.zip" icon="fas fa-download" icon-position="right" %}}téléchargeable ici{{% /button %}}.  
+
+Observer l'effet de peau ainsi que l'évolution de la résistance du conducteur en fonction de la fréquence :
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+!["J efficace dans barre"](../../../images/figures/jeff_barre.png "densité de courant efficace à 5 kHz")
+ 
+!["Résistance en fonction de la fréquence"](../../../images/figures/Rdef.png "Résistance en fonction de la fréquence")
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+### Câble triphasé 
+
+Modifier les programmes précédents afin de modéliser une ligne triphasée et observer l'effet de proximité à 50 Hz : 
+
+!["J efficace dans cable triphasé"](../../../images/figures/jeff_ligne3.png) 
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