conjugue et module

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@@ -431,11 +431,61 @@ Soient $z=a+ib$ et $z'=a'+ib'$ deux nombres complexes.
 \end{itemize}
 
 \subsection{Conjugué, module}
+\begin{definition}
+  Soit $z=a+ib\in\CC$. Le {\em conjugué}\index{conjugué} de $z$ est $\overline{z}=a-ib$, autrement
+  dit $\Re(\overline{z})=\Re(z)$ et $\Im(\overline{z})=-\Im(z)$.
+\end{definition}
+
+\textbf{Propriétés:}
+Soient $z,z'\in\CC$.
+\begin{itemize}
+  \item $\overline{z+z'}=\overline{z}+\overline{z'}$,
+  $\overline{zz'}=\overline{z}\cdot\overline{z'}$ et $\overline{\bar{z}}=z$ ;
+  \item $z=\overline{z}\Leftrightarrow z\in\RR$ et
+  $z=-\overline{z}\Leftrightarrow z\in i\RR$ ;
+  \item $z+\bar{z}=2\Re(z)$ et $z-\bar{z}=2i\Im(z)$.
+\end{itemize}
+
+\begin{definition}
+  Soit $z=a+ib\in\CC$. Le {\em module}\index{module} de $z$ est le réel positif
+  $\left| z\right|=\sqrt{a^2+b^2}$.
+\end{definition}
+
+\textbf{Propriétés:}
+Soient $z,z'\in\CC$.
+\begin{itemize}
+  \item $\left| zz'\right| = \left| z\right|\cdot\left| z'\right|$ ;
+  \item $\left| z\right|^2=z\bar{z}$ ;
+  \item $\left| \bar{z}\right|=\left| z\right|$ ;
+  \item $\left| z\right| = 0 \Leftrightarrow z=0$.
+\end{itemize}
+
+\begin{theorem}[L'inégalité triangulaire]
+  Soient $z,z'\in\CC$. On a
+  \[\abs{z + z'} \leq \abs{z} + \abs{z'}.\]
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+  Notons que pour $x,y\in \RR_+$ $x^2\leq y^2$ implique $x\leq y$. Alors nous
+  considérons $\abs{z+z'}^2$ :
+  \begin{align*}
+    \abs{z+z'}^2&=(z+z')\overline{(z+z')}=(z+z')(\bar{z}+\overline{z'})\\
+    &=z\bar{z}+z\overline{z'}+z'\bar{z}+z'\overline{z'}\\
+    &=\abs{z}^2+\overline{\bar{z}z'}+\bar{z}z'+\abs{z'}^2
+      =\abs{z}^2+\abs{z'}^2+2\Re(z'\bar{z})\\
+    &\leq\abs{z}^2+\abs{z'}^2+2\abs{z'\bar{z}}
+      =\abs{z}^2+\abs{z'}^2+2\abs{z'z}
+      =(\abs{z}+\abs{z'})^2.
+    \end{align*}
+\end{proof}
 
 \subsection{Racines carrées d'un nombre complexe}
 
 \subsection{Équation du second degré}
 
+\section*{Remarques}
+Certaines parties de ce chapitre proviennent des notes de exo7.
+
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 \chapter{Fonctions et continuité}