Intégrales de Wallis

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@@ -3661,6 +3661,46 @@ l'intégrale $\int_a^bf(t)\dt$ désigne un nombre réel.
   \[ \int x^2e^x\dx=(x^2-2x+2)e^x+c.\]
 \end{exemple}
 
+\begin{exemple}\label{exo:integrales_de_wallis}
+  Les intégrales de Wallis sont les termes de la suite réelle $(W_n)_{n\in\NN}$
+  définie par : 
+  \[W_n=\int_0^{\frac\pi2} \cos(x)^n\dx.\]
+
+  Les premiers termes de cette suite sont : 
+  \begin{align*}
+    W_0&=\int_{0}^{\frac\pi2} 1\dx=\frac\pi2;\\
+    W_1&=\int_0^{\frac\pi2} \cos(x)\dx=\left[ \sin(x)\right]_0^{\frac\pi2}=1;\\
+    W_2&=\int_0^{\frac\pi2} \cos(x)^2\dx
+        =\int_0^{\frac\pi2} \frac{1+\cos(2x)}{2}\dx
+        =\frac12\left[x+\frac{\sin(2x)}{2}\right]_0^{\frac\pi2}
+        =\frac\pi4.
+  \end{align*}
+
+  Maintenant cherchons une relation de récurrence. On pose $u=\cos(x)^{n-1}$ et
+  $v'=\cos(x)$. Ainsi $u'=-(n-1)\cos(x)^{n-2}\sin(x)$ et $v=\sin(x)$. Alors par
+  intégration par partie
+  \begin{align*}
+    W_n&=\int_0^{\frac\pi2} \cos(x)^{n-1}\cos(x)\dx\\
+      &=\left[\cos(x)^{n-1}\sin(x)\right]_0^{\frac\pi2}+\int_0^{\frac\pi2}(n-1)\cos(x)^{n-2}\sin(x)^2\dx\\
+      &=(n-1)\int_0^{\frac\pi2}\cos(x)^{n-2}\left(1-\cos(x)^2\right)\dx\\
+      &=(n-1)W_{n-2}-(n-1)W_n.
+  \end{align*}
+  Donc la relation de réciproque est
+  \[ W_n=\frac{n-1}{n}W_{n-2}.\]
+
+  Alors on peut obtenir une formule pour $W_{2p}$ et $W_{2p+1}$ :
+  \begin{align*}
+    W_{2p}&=\frac{2p-1}{2p}\frac{2p-3}{2p-2}\cdots \frac{1}{2}W_0
+      =\frac\pi2\prod_{k=1}^{p}\frac{2k-1}{2k}\frac{2k}{2k}
+      =\frac\pi2\frac{(2p)!}{(2^pp!)^2}=\frac\pi2\frac{\binom{2p}{p}}{4^p}
+    \intertext{et}
+    W_{2p+1}&=\frac{2p}{2p+1}\frac{2p-2}{2p-1}\cdots \frac{2}{3}W_1
+      =\prod_{k=1}^p\frac{2k}{2k+1}\frac{2k}{2k}
+      =\frac{(2^pp!)^2}{(2p+1)!}=\frac{1}{2p+1}\frac{4^p}{\binom{2p}{p}}.
+  \end{align*}
+  
+\end{exemple}
+
 \subsection{Changement de variable}
 
 \begin{theorem}