suites

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@@ -374,10 +374,289 @@ Ces notes sont écrit par Manfred Madritsch.
 
 \section{Les suites}
 
-\section{Les nombres réels}
+Ce qui suit peut également être démontré pour le cas plus général des suites sur
+les nombres réels ou complexes. Mais d'une part, nous ne les avons pas encore
+introduits et d'autre part, la structure abstraite d'un corps ordonné suffit
+pour toutes les définitions et propositions de ce chapitre. Le lecteur ambitieux
+est libre de le vérifier.
+
+\subsection{Définitions}
+
+\begin{definition}
+  Une application $u\colon \NN\to\QQ$ est dite une suite des nombres
+  rationnelles. Pour $n\in\NN$ on note $u(n)$ par $u_n$ et on l'appelle $n$-ème
+  {\em terme} ou {\em terme-général} de la suite.
+\end{definition}
+
+La suite est notée $u$, ou plus souvent $(u_n)_{n\in\NN}$ ou simplement $(u_n)$.
+Il arrive fréquemment que l'on considère des suites définies à partir d'un
+certain entier naturel $n_0>0$, on note alors $(u_n)_{n\geq n_0}$.
+
+\begin{definition}
+  Soit $(u n)_{n\in\NN}$ une suite.
+  \begin{itemize}
+    \item $(u_n)_{n\in\NN}$ est {\em majorée} si $\exists M\in \QQ$ $\forall
+    n\in\NN$ $u_n\leq M$.
+    \item $(u_n)_{n\in\NN}$ est {\em minorée} si $\exists m\in \QQ$ $\forall
+    n\in\NN$ $u_n\geq m$.
+    \item $(u_n)_{n\in\NN}$ est {\em bornée} si $\exists B\in \QQ$ $\forall
+    n\in\NN$ $\abs{u_n}\leq B$.
+  \end{itemize}
+\end{definition}
+
+\begin{theorem}
+  Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites bornées. Alors les suites $(u_n+v_n)$ et
+  $(u_n\cdot v_n)$ sont aussi bornées.
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+  Comme $(u_n)$ et $(v_n)$ sont bornées ils existent deux constantes
+  $M_u,M_v\in\QQ$ telles que
+  $\abs{u_n}\leq M_u$ et $\abs{v_n}\leq M_v$ pour tout $n\in\NN$. Car
+  \begin{align*}
+    &\abs{u_n+v_n}\leq \abs{u_n}+\abs{v_n}\leq M_u+M_v\quad\text{et}\\
+    &\abs{u_n\cdot v_n}=\abs{u_n}\cdot\abs{v_n}\leq M_u\cdot M_v
+  \end{align*}
+  le théorème suit avec $M_u+M_v\in\QQ$ et $M_u\cdot M_v\in\QQ$.
+\end{proof}
+
+\subsection{Limites}
+
+\begin{definition}
+  La suite $(u_n)$ {\em tend vers} $\ell$, on appelle $\ell$ sa limite, si :
+  pour tout $\varepsilon>0$, il existe un entier naturel $N$ tel que si $n>N$ alors
+  $\abs{u_n-\ell}<\varepsilon$, \textit{i.e.}
+  \[\forall\varepsilon>0\colon \exists N\in\NN\colon \forall n>N\colon
+  \abs{u_n-\ell}<\varepsilon.\]
+  
+  On note \[\lim_{n\to+\infty}u_n=\ell.\]
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+  La suite $(u_n)_{n\in\NN}$ {\em tend vers} $+\infty$ si :
+  \[\forall A>0\colon \exists N\in\NN\colon\forall n>N\colon u_n\geq A.\]
+
+  La suite $(u_n)_{n\in\NN}$ {\em tend vers} $-\infty$ si :
+  \[\forall B<0\colon \exists N\in\NN\colon\forall n>N\colon u_n\leq B.\]
+
+  On note \[\lim_{n\to+\infty}u_n=+\infty
+  \quad\text{ou}\quad\lim_{n\to+\infty}u_n=-\infty,\]
+  respectivement.
+\end{definition}
+
+\begin{definition}
+  Une suite $(u_n)_{n\in\NN}$ est {\em convergente} si elle admet une limite
+  \textbf{finie}. Elle est {\em divergente} sinon (c'est-à-dire soit la suite
+  tend vers $\pm\infty$, soit elle n'admet pas de limite).
+\end{definition}
+
+\begin{exemple}
+  La suite $(\tfrac1n)_{n\geq1}$ converge vers $0$.
+
+  En effet : soit $\varepsilon\in\QQ$ avec $\varepsilon>0$. Prenons
+  $N_\varepsilon\in\NN$ tel que $N_\varepsilon>\frac1\varepsilon$. Alors pour
+  tout $n\geq N_\varepsilon$ on a $\abs{\frac1n-0}=\frac1n\leq
+  \frac1{N_\varepsilon}<\varepsilon$. Donc la suite $(\frac1n)$ converge vers $0$.
+\end{exemple}
+
+On va pouvoir parler de \textbf{la} limite, si elle existe, car il y a unicité de la
+limite :
+
+\begin{theorem}
+  Si la suite $(u_n)_{n\in\NN}$ converge, sa limite est unique.
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+  On procède par l'absurde. Soit $(u_n)_{n\in\NN}$ une suite convergente ayant
+  deux limites $\ell\neq\ell'$. Choisissons $\varepsilon>0$ tel que
+  $\varepsilon<\frac{\abs{\ell-\ell'}}{2}$.
+  Comme $(u_n)$ converge vers $\ell$ il existe $N_1\in\NN$ tel que pour tout
+  $n\geq N_1$ on a $\abs{u_n-\ell}<\varepsilon$.
+  De même $(u_n)$ converge vers $\ell'$ et il existe $N_2\in\NN$ tel que pour
+  tout $n\geq N_2$ on a $\abs{u_n-\ell'}<\varepsilon$. Notons $N=\max(N_1,N_2)$,
+  on a donc
+  \begin{gather}\label{deux:limities:pre}
+    \abs{u_N-\ell}<\varepsilon
+    \quad\text{et}\quad
+    \abs{u_N-\ell'}<\varepsilon.
+  \end{gather}
+  En appliquant l'inégalité triangulaire on obtient
+  $\abs{\ell-\ell'}=\abs{\ell-u_N+u_N-\ell'}\leq\abs{u_N-\ell}+\abs{u_N-\ell'}$.
+  Avec \eqref{deux:limities:pre} et notre choix de $\varepsilon$ on a
+  \[\abs{\ell-\ell'}\leq\abs{u_N-\ell}+\abs{u_N-\ell'}<\varepsilon+\varepsilon=2\varepsilon=\abs{\ell-\ell'}.\]
+  Alors $\abs{\ell-\ell'}<\abs{\ell-\ell'}$ qui est absurde. Donc notre
+  hypothèse de deux limites différentes est fausse.
+\end{proof}
+
+\subsection{Propriétés des limites}
+
+\begin{lemma}
+  \begin{enumerate}[(1)]
+    \item $\lim_{n\to+\infty}u_n=\ell \Longleftrightarrow \lim_{n\to+\infty}
+    (u_n-\ell)=0 \Longleftrightarrow \lim_{n\to+\infty}\abs{u_n-\ell}=0$ ;
+    \item $\lim_{n\to+\infty}u_n=\ell \Longrightarrow \lim_{n\to+\infty}\abs{u_n}=\abs{\ell}$.
+  \end{enumerate}
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}~
+  \begin{enumerate}[(1)]
+  \item On a
+    % \begin{align*}
+    %   \lim_{n\to+\infty}u_n=\ell
+    %   &\Longleftrightarrow  \forall \varepsilon>0\colon \exists N\in\NN \colon \forall n>N\colon \abs{u_n-\ell}<\varepsilon \\
+    %   &\Longleftrightarrow  \forall \varepsilon>0\colon \exists N\in\NN \colon \forall n>N\colon \ell-\varepsilon < u_n < \ell+\varepsilon \\
+    %   &\Longleftrightarrow  \forall \varepsilon>0\colon \exists N\in\NN \colon \forall n>N\colon 0-\varepsilon < u_n - \ell< 0+\varepsilon \\
+    %   &\Longleftrightarrow  \lim_{n\to+\infty}(u_n - \ell)=0\\
+    %   &\Longleftrightarrow  \forall \varepsilon>0\colon \exists N\in\NN \colon \forall n>N\colon \abs{u_n-\ell}<\varepsilon \\
+    %   &\Longleftrightarrow  \forall \varepsilon>0\colon \exists N\in\NN \colon \forall n>N\colon 0-\varepsilon<\abs{u_n-\ell}<0+\varepsilon \\
+    %   &\Longleftrightarrow  \lim_{n\to+\infty}\abs{u_n - \ell}=0
+    % \end{align*}
+    \begin{align*}
+      \abs{u_n-\ell}<\varepsilon\Longleftrightarrow  \ell-\varepsilon < u_n < \ell+\varepsilon 
+      \Longleftrightarrow  0-\varepsilon < u_n - \ell< 0+\varepsilon
+      \Longleftrightarrow \abs{u_n-\ell-0}<\varepsilon
+    \end{align*}
+    et donc $\lim_{n\to+\infty}u_n=\ell\Leftrightarrow
+    \lim_{n\to+\infty}(u_n-\ell)=0$.
+    
+    De même
+    \begin{align*}
+      \abs{u_n-\ell-0}<\varepsilon
+      &\Longleftrightarrow  0-\varepsilon < u_n - \ell< 0+\varepsilon
+      \Longleftrightarrow  0-\varepsilon < \abs{u_n - \ell} < 0+\varepsilon \\
+      &\Longleftrightarrow  \abs{\abs{u_n - \ell}-0}< \varepsilon
+    \end{align*}
+    et donc $\lim_{n\to+\infty}(u_n-\ell)=0\Leftrightarrow
+    \lim_{n\to+\infty}\abs{u_n-\ell}=0$
+  \item Pour tout $\varepsilon>0$ l'inégalité triangulaire implique $\varepsilon>\abs{u_n-\ell}\geq
+  \abs{u_n}-\abs{\ell}$. \qedhere
+  \end{enumerate}
+  
+\end{proof}
+
+\begin{lemma}\label{lem:convergence:implique:bornee}
+  Soit $(u_n)$ convergente. Alors $(u_n)$ est bornée.
+\end{lemma}
+
+\begin{proof}
+  Supposons que $\lim_{n\to+\infty}u_n=\ell$. Alors il existe $N\in\NN$ tel que
+  $\abs{u_n-\ell}<1$ pour tout $n\geq N$. Donc
+  \[\abs{u_n}=\abs{u_n-\ell+\ell}\leq\abs{u_n-\ell}+\abs{\ell}\leq
+  1+\abs{\ell}.\]
+  
+  De plus pour $0\leq n\leq N$ on a $\abs{u_n}\leq\max\{\abs{u_0},
+  \ldots,\abs{u_{N-1}}\}$. Donc pour tout $n\in\NN$ :
+  \[ \abs{u_n}\leq \max\{\abs{u_0},
+  \ldots,\abs{u_{N-1}}, 1+\abs{\ell}\}.\qedhere\]
+\end{proof}
+
+\begin{theorem}
+  Soient $(u_n)$ et $(v_n)$ deux suites convergentes.
+  \begin{enumerate}[(1)]
+    \item Si $\lim_{n\to+\infty}u_n=\ell\in\RR$ et
+    $\lim_{n\to+\infty}v_n=\ell'\in\RR$,
+    alors $\lim_{n\to+\infty}\left(u_n+v_n\right)=\ell + \ell'$.
+    \item Si $\lim_{n\to+\infty}u_n=\ell\in\RR$ et
+    $\lim_{n\to+\infty}v_n=\ell'\in\RR$, alors $\lim_{n\to+\infty}u_n\cdot
+    v_n=\ell \cdot \ell'$.
+    \item Si $\lim_{n\to+\infty}u_n=\ell\in\RR$ et
+    $\lim_{n\to+\infty}v_n=\ell'\in\RR^*$, alors la suite $(w_n)$ définie par
+    \[ w_n=\begin{cases} \frac{1}{v_n} &\text{si }v_n\neq 0\\
+      0 &\text{sinon}\end{cases}\]
+    converge vers $1/\ell'$.
+  \end{enumerate}
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+  \begin{enumerate}[(1)]
+  \item Soit $\varepsilon>0$. Puisque $(u_n)$ et $(v_n)$ convergent il
+    existent $N_u,N_v\in\NN$ tels que
+    \begin{align*}
+      \forall n\geq N_u\colon \abs{u_n-\ell}<\frac{\varepsilon}2
+      \quad\text{et}\quad
+      \forall n\geq N_v\colon \abs{v_n-\ell'}<\frac{\varepsilon}2.
+    \end{align*}
+    Donc pour tout $n\geq \max\{N_u,N_v\}$ on a
+    \[\abs{(u_n+v_n)-(\ell+\ell')}\leq \abs{u_n-\ell} + \abs{v_n-\ell'}
+    <\frac{\varepsilon}2+\frac{\varepsilon}2=\varepsilon.\]
+  \item Comme $(v_n)$ converge, lemme \ref{lem:convergence:implique:bornee}
+    implique que $(v_n)$ est bornée. Alors il existe $B\in\QQ$ tel que
+    $\abs{v_n}\leq B$ pour tout $n\in\NN$. De plus, la suite $(u_n)$ est
+    également convergente. Donc pour tout $\varepsilon>0$ il existe
+    $N_\varepsilon\in\NN$ tel que $\abs{u_n-\ell}<\frac{\varepsilon}{2B}$.
+    Enfin, $(v_n)$ est aussi convergente et donc pour tout $\varepsilon>0$ il
+    existe un entier $N'_\varepsilon\in \NN$ tel que
+    $\abs{v_n-\ell'}<\frac{\varepsilon}{2\abs{\ell}}$, or
+    $\abs{\ell}\cdot\abs{v_n-\ell'}<\frac{\varepsilon}2$. D'où
+    \begin{align*}
+      \abs{u_n\cdot v_n-\ell\cdot\ell'}
+      &=\abs{u_n\cdot v_n-\ell\cdot v_n+\ell\cdot v_n-\ell\cdot\ell'}\\
+      &\leq\abs{u_n\cdot v_n-\ell\cdot v_n}+\abs{\ell\cdot v_n-\ell\cdot\ell'}\\
+      &=\abs{u_n-\ell}\cdot\abs{v_n}+\abs{\ell}\cdot \abs{v_n-\ell'}\\
+      &<\frac{\varepsilon}{2B}\cdot B + \abs{\ell}\cdot\frac{\varepsilon}{2\abs{\ell}}=\varepsilon.\qedhere
+    \end{align*}
+  \item Puisque $(v_n)$ converge vers $\ell'$, il existe $N_0\in\NN$ tel que  
+    pour tout $n\geq N_0$
+    \[ \abs{\ell'}-\abs{v_n}\leq \abs{v_n-\ell'}<\frac{\ell'}{2}.\] Cela
+    implique pour tout $n\geq N_0$
+    \[ \abs{v_n}>\frac{\abs{\ell'}}2>0\] et donc $w_n=v_n^{-1}$ pour tout $n\geq
+    N$.
+    
+    De plus, pour tout $\varepsilon>0$ il existe $N_1\in\NN$ tel que pour tout
+    $n\geq N_1$ :
+    \[ \abs{v_n-\ell'}<\varepsilon\frac{\abs{\ell'}^2}2.\] Donc pour tout
+    $n\geq\max\{N_0,N_1\}$ on a
+    \[\abs{w_n-\frac1{\ell'}}
+      =\abs{\frac{1}{v_n}-\frac{1}{\ell'}}
+      =\abs{\frac{\ell'-v_n}{v_n\ell'}}
+      =\frac{\abs{\ell'-v_n}}{\abs{v_n}\cdot\abs{\ell'}}
+      <\varepsilon\frac{\abs{\ell'}^2}2 \frac{2}{\abs{\ell'}}\frac{1}{\abs{\ell'}}=\varepsilon.\]
+
+  \end{enumerate}
+  
+\end{proof}
+
+\begin{theorem}[Théorème des « gendarmes »]
+  Si $(u_n)$, $(v_n)$ et $(w_n)$ sont trois suites telles que 
+  \[\forall n\in \NN\colon u_n\leq v_n\leq w_n\]
+  et $\lim_{n\to+\infty}u_n=\lim_{n\to+\infty} w_n=\ell$, alors la suite $(v_n)$
+  est convergente et $\lim_{n\to+\infty}v_n=\ell$.
+\end{theorem}
+
+\begin{proof}
+  Soit $\varepsilon>0$. Comme $\lim_{n\to+\infty}u_n=\ell$ il existe $N_u\in\NN$
+  tel que $\abs{u_n-\ell}<\varepsilon$ pour tout $n\geq N_u$. De même,
+  $\lim_{n\to+\infty}w_n=\ell$ et alors il existe $N_w\in\NN$ tel que
+  $\abs{w_n-\ell}<\varepsilon$ pour tout $n\geq N_w$. Posons
+  $N_v=\max\{N_u,N_w\}$ Alors pour tout $n\geq N_v$
+  \[-\varepsilon<u_n-\ell\leq v_n-\ell\leq w_n-\ell<\varepsilon\]
+  et, d'après $\varepsilon$ était arbitraire, $(v_n)$ converge vers $\ell$.
+\end{proof}
+
+\begin{definition}
+  Soit $(u_n)$ une suite.
+  \begin{itemize}
+    \item $(u_n)$ est croissante si pour tout $n\in\NN$ $u_n\leq u_{n+1}$ ; 
+    \item $(u_n)$ est strictement croissante si pour tout $n\in\NN$ $u_n<
+    u_{n+1}$ ; 
+    \item $(u_n)$ est décroissante si pour tout $n\in\NN$ $u_n\geq u_{n+1}$ ; 
+    \item $(u_n)$ est strictement décroissante si pour tout $n\in\NN$ $u_n>
+    u_{n+1}$ ; 
+    \item $(u_n)$ est monotone si elle est croissante ou décroissante ; 
+    \item $(u_n)$ est strictement monotone si elle est strictement croissante ou
+    strictement décroissante.
+  \end{itemize}
+\end{definition}
+
+\subsection{Suites de \textsc{Cauchy}}
 
 \section{Les séries}
 
+%% -----------------------------------------------------------------------
+\chapter{Les nombres réels et complexes}
+
+\section{Les nombres réels}
+
 \section{Les nombres complexes}
 
 Nous pouvons déjà résoudre de très nombreuses équations, mais nous en trouvons
@@ -610,14 +889,15 @@ Certaines parties de ce chapitre proviennent des notes de exo7.
   
   On appelle $A$ l'ensemble de départ ou l'ensemble de définition et $B$ l'ensemble
   d'arrivé.
-
-  Pour $M\subset A$ on appelle
-  \[ f(M)=\{f(x)\colon x\in M\}\subset B\]
-  l'image de $M$ sur $f$. Pour $N\subset B$ on appelle
-  \[ f^{-1}(N)=\{x\colon f(x)\in N\}\subset A\]
-  l'image réciproque de $N$ sur $f$.
 \end{definition}
 
+Soit $f:E\to F$ une fonction. Pour $M\subset A$ on appelle
+\[ f(M)=\{f(x)\colon x\in M\}\subset B\]
+l'{\em image directe} de $M$ sur $f$. De même, pour $N\subset B$ on appelle
+\[ f^{-1}(N)=\{x\colon f(x)\in N\}\subset A\] l'{\em image réciproque} de $N$
+sur $f$. Enfin, pour $y\in F$ tout $x\in E$ tel que $f(x)=y$ est un {\em antécédent} de
+$y$.
+
 \begin{definition}[Opérations sur les fonctions]
   Soient $f\colon U\to \RR$ et $g\colon U\to \RR$ deux fonctions sur une même
   partie $U\in \RR$ et soit $\lambda\in \RR$. On peut alors définir les
@@ -781,7 +1061,7 @@ Certaines parties de ce chapitre proviennent des notes de exo7.
 \begin{definition}
   Si $f$ est bijective, alors la fonction $g$ du théorème
   \ref{thm:fon:reciproque} est dite la {\em fonction réciproque} de $f$, notée
-  $g=f^{-1}$. existence 
+  $g=f^{-1}$.
 \end{definition}
 
 \begin{definition}
@@ -861,12 +1141,12 @@ Certaines parties de ce chapitre proviennent des notes de exo7.
   fonction $f$ est dite {\em périodique} de période $T$ si $\forall x\in\RR$ $f(x+T)=f(x)$.
 \end{definition}
 
+\section{Limités}
+
 \section{Continuité}
 
 \section{Séries entières}
 
-\section{Limités}
-
 %% -----------------------------------------------------------------------
 \chapter{Dérivée d'une fonction}