Propriétés d'intégral

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@@ -3109,9 +3109,21 @@ Clairement $\sum_{k=1}^n\Delta_k=b-a$.
 \end{exemple}
 
 \begin{exemple}
-  raionnels/irrationnels.
+  Soif $f\colon[a,b]\to\RR$ la fonction définie par
+  \[f(x)=\begin{cases} 1 &\text{si }x\in\RR\setminus\QQ,\\
+    0 &\text{si }x\in\QQ.\end{cases}\]
+  Pour toute subdivision $P$ de $[a,b]$ on a
+  \[U(f,P)=b-a\quad\text{et}\quad L(f,P)=0.\]
+  Donc $\bint_a^bf(x)\dx = 0\neq \tint_a^bf(x)\dx=b-a$. Alors $f$ n'est pas
+  intégrable (au sens de Riemann) sur $[a,b]$.
 \end{exemple}
 
+Mais l'ensemble $\QQ$ est dénombrable et l'ensemble $\RR\setminus\QQ$ n'est pas
+dénombrable. Donc il y a beaucoup plus de points  où la fonction vaut $1$ que de
+points où elle vaut $0$. Pour remédier à cet inconvénient, nous devons
+introduire un autre concept d'intégrale, celui d'intégrale de Lebesgue. Mais
+cela fait alors partie de la théorie de la mesure et y est traité.
+
 \begin{theorem}
   Soit $f$ une fonction monotone sur $[a,b]$. Alors $f$ est intégrable sur $[a,b]$.
 \end{theorem}
@@ -3165,7 +3177,7 @@ Clairement pour toute subdivision $P$ et toute marquage $\Xi$ de $P$ on a
 En particulière, on a égalité si $\xi_k=m_k(f)$ ou $\xi_k=M_k(f)$ pour $1\leq
 k\leq n$ respectivement.
 
-\begin{theorem}[Integrabilité de Riemann]
+\begin{theorem}[Integrabilité de Riemann]\label{thm:convergence_somme_riemann}
   Soit $f$ une fonction bornée sur $[a,b]$. Alors $f$ est intégable sur $[a,b]$
   si et seulement si il existe un nombre réel $I$ tel que pour chaque
   $\varepsilon>0$, il existe une partition $P$ telle que pour tout raffinement
@@ -3236,11 +3248,55 @@ k\leq n$ respectivement.
 \section{Propriétés}
 
 \begin{theorem}[Relation de Chasles]
-  Soient $a<c<b$. Si $f$ est intégrable sur $[a,c]$ et $[c,b]$, alors $f$ est
-  intégrable sur $[a,b]$. Et on a
-  \[\int_{a}^{b}f(x)\dx=\int_a^cf(x)\dx+\int_c^bf(x)\dx.\]
+  Soit $f$ une fonction bornée sur $[a,b]$
+  \begin{enumerate}
+  \item Si $a<c<b$ et si $f$ est intégrable sur $[a,c]$ et $[c,b]$ alors $f$ est
+  intégrable sur $[a,b]$ et \[\int_a^bf(x)\dx=\int_a^cf(x)\dx+\int_c^bf(x)\dx.\].
+  \item Si $a<c<b$ et si $f$ est intégrable sur $[a,b]$, alors $f$ est
+  intégrable sur $[a,c]$ et $[c,b]$.
+  \end{enumerate}
 \end{theorem}
 
+\begin{proof}
+  \begin{enumerate}
+    \item Soit $f$ intégrable sur $[a,c]$ et sur $[c,b]$ et soit $\varepsilon>0$. Il
+    existe des subdivision $P_1$ et $P_2$ de $[a,c]$ et $[c,b]$, respectivement,
+    telles que si $Q_1$ et $Q_2$ sont des raffinements de $P_1$ et de $P_2$ avec
+    marquages $\Xi_1$ et $\Xi_2$, respectivement, alors on a
+    \[\left|S(f,Q_1,\Xi_1)-\int_a^cf(x)\dx\right|<\varepsilon
+      \quad\text{et}\quad
+      \left|S(f,Q_2,\Xi_2)-\int_c^bf(x)\dx\right|<\varepsilon.\]
+  
+    On pose $P=P_1\cup P_2$. Alors $P$ est une subdivision de $[a,b]$ et si $Q$
+    est un raffinement de $P$, alors $Q_1=Q\cap[a,c]$ est un raffinement de $P_1$
+    et $Q_2=Q\cap[c,b]$ est un raffinement de $P_2$, respectivement. Donc
+    \begin{align*}
+      &\left|S(f,Q,\Xi)-\left(\int_a^cf(x)\dx+\int_c^bf(x)\dx\right)\right|\\
+      %&\quad=\left|S(f,Q_1,\Xi)+S(f,Q_2,\Xi)-\int_a^cf(x)\dx-\int_c^bf(x)\dx\right|\\
+      &\quad\leq\left|S(f,Q_1,\Xi)-\int_a^cf(x)\dx\right|
+        +\left|S(f,Q_2,\Xi)-\int_c^bf(x)\dx\right|\\
+      &\quad\leq\frac{\varepsilon}{2}+\frac{\varepsilon}{2}=\varepsilon.
+    \end{align*}
+    Alors par théorème \ref{thm:convergence_somme_riemann} la fonction $f$ est
+    intégrable sur $[a,b]$ et
+    \[\int_a^bf(x)\dx=\int_a^cf(x)\dx+\int_c^bf(x)\dx.\]
+    \item Soit $f$ intégrable sur $[a,b]$. Soit $\varepsilon>0$. Alors il existe
+    une subdivision $P$ de $[a,b]$ telle que
+    \[ U(f,P)-L(f,P)<\varepsilon.\]
+    Soit $Q=P\cup\{c\}$ et soient $Q_1=Q\cap[a,c]$ et $Q_2=Q\cap[c,b]$. Alors
+    \begin{align*}
+      \varepsilon&>U(f,Q)-L(f,Q)\\
+      &=U(f,Q_1)+U(f,Q_2)-L(f,Q_1)-L(f,Q_2)\\
+      &=\left(U(f,Q_1)-L(f,Q_1)\right)+\left(U(f,Q_2)-L(f,Q_2)\right).
+    \end{align*}
+    Comme $U(f,Q_1)-L(f,Q_1)>0$ et $U(f,Q_2)-L(f,Q_2)>0$ on peut en deduire que
+    \[U(f,Q_1)-L(f,Q_1)<\varepsilon
+    \quad\text{et}\quad U(f,Q_2)-L(f,Q_2)<\varepsilon.\]
+    Donc par théorème \ref{thm:critere_de_Riemann} on a que $f$ est intégrable
+    sur $[a,c]$ et sur $[c,b]$, respectivement.
+  \end{enumerate}
+\end{proof}
+
 \begin{definition}
   \begin{enumerate}
   \item Si $a=b$ et $f(a)$ soit définie, alors \[\int_a^af(x)\dx =0.\]
@@ -3248,15 +3304,33 @@ k\leq n$ respectivement.
   \end{enumerate}
 \end{definition}
 
-\begin{theorem}\label{thm:somme_est_integrable}
-  Soient $f$ et $g$ deux fonctions intégrables sur $[a,b]$. La fonction $f+g$ est intégrable et \[\int_a^b(f+g)(x)\dx =\int_a^bf(x)\dx+\int_a^bg(x)\dx.\]
+\begin{theorem}\label{thm:integrale_est_lineaire}
+  Soient $f_1$ et $f_2$ deux fonctions intégrables sur $[a,b]$ et soient $\lambda_1$
+  et $\lambda_2$ deux réels. Alors la fonction $\lambda_1 f_1+\lambda_2 f_2$ est intégrable sur
+  $[a,b]$ et on a
+  \[\int_a^b \lambda_1 f_1(x)+\lambda_2 f_2(x)\dx
+  =\lambda_1\int_a^bf_1(x)\dx+\lambda_2\int_a^bf_2(x)\dx.\]
 \end{theorem}
 
-\begin{theorem}\label{thm:multiple_est_integrable}
-  Soit $f$ une fonction intégrable sur $[a,b]$. Pour tout réel $\lambda$,
-  $\lambda f$ est intégrable sur $[a,b]$ et on a
-  \[\int_a^b\lambda f(x)\dx =\lambda\int_a^bf(x)\dx.\]
-\end{theorem}
+\begin{proof}
+  Soit $\varepsilon>0$. Il existe $\varepsilon'>0$ tel que
+  \[\left(\abs{\lambda}+\abs{\mu}\right)\varepsilon'<\varepsilon.\]
+  Il existe subdivisions $P_1$ et $P_2$ telles que tout raffinement $Q_j$ de
+  $P_j$, quelle que soit la marquage $\Xi_j$ de $Q_j$, satisfait
+  \[\left|S(f,Q_j,\Xi_j)-\int_a^b f_j\dx\right|<\varepsilon'.\]
+
+  On pose $P=P_1\cup P_2$. Tout raffinement $Q$ de $P$, quelle que soit sa
+  marquage $\Xi$, est aussi un raffinement de $P_1$ et de $P_2$. Donc
+  \begin{align*}
+    &\left| S(\lambda_1f_1+\lambda_2f_2,Q,\Xi)-\left(\lambda_1\int_a^bf_1(x)\dx+\lambda_2\int_a^bf_2(x)\dx\right)\right|\\
+    &\quad=\left| \lambda_1S(f_1,Q,\Xi)+\lambda_2S(f_2,Q,\Xi)-\lambda_1\int_a^bf_1(x)\dx-\lambda_2\int_a^bf_2(x)\dx\right|\\
+    &\quad\leq\abs{\lambda_1}\left|S(f_1,Q,\Xi)-\int_a^bf_1(x)\dx\right|+
+      \abs{\lambda_2}\left| S(f_2,Q,\Xi)-\int_a^bf_2(x)\dx\right|\\
+    &\quad\leq\abs{\lambda_1}\varepsilon'+\abs{\lambda_2}\varepsilon'=\varepsilon.
+  \end{align*}
+  Alors une application du théorème \ref{thm:convergence_somme_riemann} montre
+  ce théorème.
+\end{proof}
 
 \begin{theorem}\label{thm:ordre_des_integrales}
   Soit $a\leq b$ deux réels et $f$ et $g$ deux fonctions intégrables sur
@@ -3264,10 +3338,9 @@ k\leq n$ respectivement.
 \end{theorem}
 
 \begin{proof}
-  D'après les théorèmes \ref{thm:somme_est_integrable} et
-  \ref{thm:multiple_est_integrable} la fonction $h=g-f$ est intégrable. Soit
-  $P=\{x_0,x_1,\ldots,x_n\}$ une subdivision de $[a,b]$. Comme $h(x)\geq0$ on a
-  $m_k(h)\geq$ et donc
+  D'après le théorème \ref{thm:integrale_est_lineaire} la fonction $h=g-f$ est
+  intégrable. Soit $P=\{x_0,x_1,\ldots,x_n\}$ une subdivision de $[a,b]$. Comme
+  $h(x)\geq0$ on a $m_k(h)\geq$ et donc
   \[L_P(h)\geq 0.\]
   D'où
   \[L(h)=\sup_P L_P(h)\geq0.\]
@@ -3292,15 +3365,44 @@ Clairement on a
 \end{align*}
 
 \begin{theorem}
-  Si $f$ est intégrable sur $[a,b]$, alors aussi $f^+$ et $f^-$ sont intégrables
-  sur $[a,b]$.
+  Soit $f$ une fonction bornée. Si $f$ est intégrable sur $[a,b]$, alors aussi
+  $f^+$ et $f^-$ sont intégrables sur $[a,b]$.
 \end{theorem}
 
+\begin{proof}
+  Sans perte de la généralité nous demontrons le théorème pour $f^+$. Posons
+  \[M_k^+=\sup\{f^+(x)\colon x\in [x_{k-1},x_k]\}
+  \quad\text{et}\quad
+  m_k^+=\inf\{f^+(x)\colon x\in [x_{k-1},x_k]\}.\]
+  Alors on a les possibilités suivantes :
+  \begin{enumerate}
+    \item si $M_k\geq0$ et $m_k\geq0$, alors $M_k^+=M_k$ et $m_k^+=m_k$ ;
+    \item si $M_k\geq0$ et $m_k<0$, alors $M_k^+=M_k$ et $m_k^+=0$ ;
+    \item si $M_k<$ et $m_k<0$, alors $M_k^+=0$ et $m_k^+=0$.
+  \end{enumerate}
+  En tout cas on a $M_k^+-m_k^+\leq M_k-m_k$. Cela implique pour toute
+  subdivision $P$
+  \[U(f^+,P)-L(f^+,P)\leq U(f,P)-L(f,P)\] Comme $f$ est intégrable, le théorème
+  \ref{thm:critere_de_Riemann} donne la démonstration.
+\end{proof}
+
 \begin{theorem}
   Soit $f$ intégrable sur $[a,b]$. Alors $\abs{f}$ est intégrable sur $[a,b]$ et
   \[\left|\int_a^bf(x)\dx\right|\leq\int_a^b\left| f(x)\right|\dx.\]
 \end{theorem}
 
+\begin{proof}
+  D'après $\abs{f}=f^++f^-$ on a l'intégrabilité de $f$ par théorème
+  \ref{thm:integrale_est_lineaire}. De plus
+  \[\int_a^b\abs{f(x)}\dx =\int_a^bf^+(x)\dx+\int_a^bf^-(x)\dx.\]
+  Comme $f^-\geq0$ on a
+  \[\int_a^b\abs{f(x)}\dx\geq
+  \int_a^bf^+(x)\dx-\int_a^bf^-(x)\dx=\int_a^bf(x)\dx.\]
+  De même $f^+\geq0$ et donc
+  \[\int_a^b\abs{f(x)}\dx\geq
+  -\int_a^bf^+(x)\dx+\int_a^bf^-(x)\dx=-\int_a^bf(x)\dx.\]
+\end{proof}
+
 \begin{theorem}
   Soient $f$ et $g$ intégrable sur $[a,b]$. Alors la fonction $f\cdot g$ est
   intégrable sur $[a,b]$.
@@ -3309,6 +3411,46 @@ Clairement on a
 \textbf{Attention :} En général
 \[\int_a^b(fg)(x)\dx\neq \left(\int_a^bf(x)\dx\right)\left(\int_a^bg(x)\dx\right).\]
 
+\begin{proof}
+  Supposons pour l'instant que $f$ et $g$ sont positives sur $[a,b]$.
+
+  Si $f(x)=0$ ou $g(x)=0$ sur $[a,b]$, alors $(f\cdot g)(x)=0$ et donc $f\cdot
+  g$ est intégrable.
+  
+  Sinon soit $P$ une subdivision de $[a,b]$. On a
+  \begin{align*}
+    M_k(f\cdot g)&\leq M_k(f)\cdot M_k(g)\quad\text{et}\\
+    m_k(f\cdot g)&\geq m_k(f)\cdot m_k(g).
+  \end{align*}
+  Donc
+  \begin{align*}
+    M_k(f\cdot g)-m_k(f\cdot g)
+    &\leq M_k(f)\cdot M_k(g)-m_k(f)\cdot m_k(g)\\
+    &\leq M_k(f)\cdot\left(M_k(g)-m_k(g)\right)+m_k(g)\cdot \left(M_k(f)-m_k(f)\right)\\
+    &\leq M_k(f)\cdot\left(M_k(g)-m_k(g)\right)+M_k(g)\cdot \left(M_k(f)-m_k(f)\right).
+  \end{align*}
+  En multipliant par $(x_{k}-x_{k-1})$ et en faisant la somme, on obtient
+  \[U(f\cdot g,P)-L(f\cdot g,P)
+  \leq M(f)\left(U(g,P)-L(g,P)\right)+M(g)\left(U(f,P)-L(f,P)\right).\]
+
+  Comme $f$ est intégrable par théorème \ref{thm:critere_de_Riemann} il existe
+  une subdivision $P_1$ telle que
+  \[U(f,P_1)-L(f,P_1)<\frac{\varepsilon}{2M(g)}.\]
+  De même il existe une subdivision $P_2$ telle que
+  \[U(g,P_2)-L(g,P_2)<\frac{\varepsilon}{2M(f)}.\]
+  Posons $P=P_1\cup P_2$. Donc
+  \begin{align*}
+    U(f\cdot g,P)-L(f\cdot g,P)
+    %&\leq M(f)\left(U(g,P)-L(g,P)\right)+M(g)\left(U(f,P)-L(f,P)\right)\\
+    &\leq M(f)\left(U(g,P_2)-L(g,P_2)\right)+M(g)\left(U(f,P_1)-L(f,P_1)\right)\\
+    &\leq M(f)\frac{\varepsilon}{2M(f)}+M(g)\frac{\varepsilon}{2M(g)}=\varepsilon.
+  \end{align*}
+
+  Maintenant si $f$ et $g$ sont arbitraire on écrit
+  \[f\cdot g=\left(f^+-f^-\right)\left(g^+-g^-\right)
+  =f^+g^+-f^-g^+-f^+g^-+f^-g^-.\]
+  Chaque summand du côté droit est intégrable, donc $f\cdot g$ aussi.
+\end{proof}
 
 \section{Primitive}