maj

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@@ -48,12 +48,12 @@ $$\left\\{\begin{aligned} \left.{\bf a}\wedge{\bf n}\right|\_{\Gamma_d} &= {\bf
 
 En appliquant le principe détaillé dans le deuxième chapitre sur la [formulation en **rot-rot**](../../principe/continu/#formulation-variationnelle-1), on peut déduire la formulation faible de notre problème : 
 
-Trouver ${\bf a} \in \text{H}\_{0}({\bf rot},\Omega) = \\{ {\bf a} \in \text{H}({\bf rot},\Omega) : {\bf a}\wedge{\bf n}\|\_{\Gamma_{d}} = 0\\}$, tel que : 
+Trouver ${\bf a} \in \textbf{H}\_{0}({\bf rot},\Omega) = \\{ {\bf a} \in \textbf{H}({\bf rot},\Omega) : {\bf a}\wedge{\bf n}\|\_{\Gamma_{d}} = 0\\}$, tel que : 
 
-$$\forall {\bf a'} \in \text{H}\_{0}({\bf rot},\Omega),~~ \left(\mu^{-1}\\,{\bf rot}\\,{\bf a}\\,,\\,{\bf rot}\\,{\bf a'}\right)\_{\Omega} + \left(\mu^{-1}\\,{\bf b_r}\\,,\\,{\bf rot}\\,{\bf a'}\right)\_{\Omega_a} + \left( -{\bf j_s} \\,,\\, {\bf a'}\right)\_{\Omega_c}= 0$$
+$$\forall {\bf a'} \in \textbf{H}\_{0}({\bf rot},\Omega),~~ \left(\mu^{-1}\\,{\bf rot}\\,{\bf a}\\,,\\,{\bf rot}\\,{\bf a'}\right)\_{\Omega} + \left(\mu^{-1}\\,{\bf b_r}\\,,\\,{\bf rot}\\,{\bf a'}\right)\_{\Omega_a} + \left( -{\bf j_s} \\,,\\, {\bf a'}\right)\_{\Omega_c}= 0$$
 
 {{% notice warning %}}
-Rappelons ici que la formulation ci-dessus ne conduit pas à une solution unique comme vu dans les chapitres précédents, il nous faudra rajouter une condition de jauge sur ${\bf a}$ pour pouvoir le calculer en 3D (jauge de Coulomb ou Jauge d'arbre).
+Rappelons ici que la formulation ci-dessus ne conduit pas à une solution unique comme vu dans les chapitres précédents, il nous faudra rajouter une condition de jauge sur ${\bf a}$ pour pouvoir le calculer en 3D (jauge de Coulomb ou jauge d'arbre).
 {{% /notice %}}
 
 

module-web/content/mefem/Magnétostatique/cas3D.md

@@ -3,14 +3,143 @@ title: Problèmes 3D
 weight: 34
 #pre: "<b>3. </b>"
 chapter: false
+math: true
 ---
 
 
-## Conditions de Jauge
 
 
+## Conditions de Jauge sur le potentiel vecteur magnétique
 
+Nous avons déjà vu plusieurs fois précédemment que le potentiel vecteur 
+magnétique ${\bf a}$ était définit à un champ de gradient près et qu'il était 
+donc nécessaire de le jauger pour assurer l'unicité de la solution.   
+
+Dans le chapitre précédent, [deux méthodes ont été présentées](../../../principe/discret/whitney/#condition-de-jauge) 
+et nous allons maintenant voir leur application à nos problèmes ainsi 
+que la manière de les définir dans GetDP. 
+
+
+### Jauge de Coulomb
+
+Par application directe de la [**méthode du chapitre 2**](http://localhost:1313/ensem/emag-bf/principe/discret/whitney/#jauge-de-coulomb),
+La formulation en potentiel vecteur dans le domaine discret est : 
+
+$$\boxed{\left\\{\begin{aligned}&\text{Trouver}~{\bf a_h} \in W_0^1,~\xi_h \in W_0^0~\text{tels que :} \\\\ &\left(\mu^{-1}\\,{\bf rot\\,a_h},{\bf rot\\,a_h'}\right)\_{\Omega}  + \left(\mu^{-1}\\,{\bf b_r},{\bf rot\\,a_h'}\right)\_{\Omega_a} + \left(-{\bf j_s},{\bf a_h'}\right)\_{\Omega} + \left({\bf grad}\\,\xi_h,{\bf a_h'}\right)\_{\Omega} = 0,~ \forall\\,{\bf a_h'} \in W_0^1 \\\\  &\left({\bf a_h},{\bf grad}\\,\xi_h'\right)\_{\Omega} = 0, \forall \\, \xi'_h \in W_0^0 \end{aligned}\right.}$$
+
+où $W_0^1$ et $W_0^0$ approximent respectivement $\textbf{H}\_{0}({\bf rot},\Omega)$ 
+et $\text{H}\_{0}({\bf grad},\Omega)$.  
+
+Dans GetDP, il faudra d'abord définir ces deux espaces fonctionnels :
+```c++
+Constraint {	
+  {Name Dirichlet ;
+    Case {      
+      { Region Dirichlet ; Type Assign ; Value 0. ; }
+    }
+  }
+}
+
+FunctionSpace {
+  { Name Hrot ; Type Form1 ; // W_0^1
+    BasisFunction { 
+      { Name se ; NameOfCoef ae ; Function BF_Edge ; 
+	     Support Region[{Domaine}]  ; Entity EdgesOf[All] ; }  } 
+    Constraint {
+      { NameOfCoef ae  ; EntityType EdgesOf ; NameOfConstraint Dirichlet ; }
+    }
+  }  
+  { Name Hgrad ; Type Form0 ; // W_0^0
+    BasisFunction { 
+      { Name sn ; NameOfCoef xin ; Function BF_Node ; 
+	       Support Region[{Domaine}]  ; Entity NodesOf[All] ; }  } 
+    Constraint {
+      { NameOfCoef xin  ; EntityType NodesOf ; NameOfConstraint Dirichlet ; }
+    }
+  } 
+}
+```
+Puis la formulation correspondante (exemple pour un problème sans aimants avec 
+lois de comportement magnétiques linéaires) :
+```c++
+Formulation {
+  { Name Magnetostat ; Type FemEquation ;
+    Quantity {
+      { Name a  ; Type Local  ; NameOfSpace Hrot ; }
+      { Name xi ; Type Local  ; NameOfSpace Hgrad ; }
+    }
+    Equation {
+      Integral { [ nu[] * Dof{d a} , {d a} ];
+	     In Domaine; Jacobian Jvol; Integration Integ; }
+      
+      Integral { [ -js[] , {a} ];
+	     In Bobines; Jacobian Jvol; Integration Integ; }
+      
+      Integral{ [ Dof{Grad xi} , {a}  ];
+	     In Domaine; Jacobian Jvol; Integration Integ; }
+      
+      Integral { [ Dof{a} , {Grad xi} ];
+	     In Domaine; Jacobian Jvol; Integration Integ; }
+    }
+  } 
+}
+```
+
+Le principal inconvénient de cette méthode est d'aboutir à une taille de système 
+conséquente conduisant à des temps de calcul élévés, c'est pourquoi on lui préfèrera 
+généralement la technique suivante. 
+
+
+### Jauge d'arbre
+
+Comme vu dans [cette partie](../../../principe/discret/whitney/#jauge-darbre), 
+nous allons construire un arbre sur l'ensemble des arrêtes du domaine en partant 
+des surfaces sur lesquelles sont imposées des conditions particulières 
+(dans le cas présent, les conditions de Dirichlet) et imposer une circulation nulle 
+de ${\bf a}$ le long de cet arbre directement dans l'espace fonctionnel associé. 
+Ce dernier sera alors noté $W_{0,\text{JA}}^1$, et notre formulation devient ainsi :
+
+ $$\boxed{\left\\{\begin{aligned}&\text{Trouver}~{\bf a_h} \in W\_{0,\text{JA}}^1 ~\text{tel que :} \\\\ & \left(\mu^{-1}\\,{\bf rot\\,a_h},{\bf rot\\,a_h'}\right)\_{\Omega} + \left(\mu^{-1}\\,{\bf b_r},{\bf rot\\,a_h'}\right)\_{\Omega_a} + \left(-{\bf j_s},{\bf a_h'}\right)\_{\Omega} = 0,~ \forall\\,{\bf a_h'} \in W\_{0,\text{JA}}^1\end{aligned}\right.}$$
+
+La taille du système sera ainsi fortement réduite par rapport au cas précédent puisqu'on s'affranchit du calcul 
+de la grandeur nodale $\xi$.  
+
+En pratique, dans GetDP cela se définit de la façon suivante : 
+```c++
+Constraint {	
+  {Name Dirichlet ;
+    Case {      
+      { Region Dirichlet ; Type Assign ; Value 0. ; }
+    }
+  }
+  { Name Jauge_arbre ; Type Assign ;
+    Case {
+      {Region Domaine ; SubRegion Dirichlet ; Value 0. ; }
+    }
+  }
+}
+
+FunctionSpace {
+  { Name Hrot ; Type Form1 ;  // W_(0,JA)^1
+    BasisFunction { 
+      { Name se ; NameOfCoef ae ; Function BF_Edge ; 
+	      Support Region[{Domaine}]  ; Entity EdgesOf[All] ; }  } 
+    Constraint {
+      { NameOfCoef ae  ; EntityType EdgesOf ; NameOfConstraint Dirichlet ; }
+      { NameOfCoef ae  ; EntityType EdgesOfTreeIn ; EntitySubType StartingOn ;
+	       NameOfConstraint Jauge_arbre ; }
+    }
+  }  
+}
+```
+**Et la formulation sera strictement la même que dans les cas 2D précédents.** 
+
+
+---
 
 ## Applications
 
+### Retour sur notre inductance pour électronique de puissance
+
+