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module-web/content/mefem/Magnétostatique/cas2D.md

@@ -14,7 +14,7 @@ Dans le cas de problèmes 2D plans ou axisymétriques, la formulation en potenti
 
 Dans ces cas, la jauge de Coulomb $(\text{div}\\,{\bf a} = 0)$ est automatiquement vérifiée et n'a pas besoin d'être spécifiquement imposée.  
 
-Pour définir $W^1$ approximant $\text{H}({\bf rot},\Omega)$, il existe dans GetDP des fonctions de base spécialement dédiées. Elles sont associées à des arrêtes fictives perpendiculaires au plan d'étude s'appuyant sur les nœuds du domaine. En pratique, nous pourrons définir notre espace d'aproximation comme suit : 
+Pour définir $W^1$ approximant $\textbf{H}({\bf rot},\Omega)$, il existe dans GetDP des fonctions de base spécialement dédiées. Elles sont associées à des arrêtes fictives s'appuyant sur les nœuds du domaine et perpendiculaires au plan d'étude. En pratique, nous pourrons définir notre espace d'aproximation comme suit : 
 ```c++
 FunctionSpace {
   { Name Hrot ; Type Form1P ; 
@@ -98,10 +98,12 @@ Un exemple de résultat possible pourrait être par exemple :
 
 Apprès avoir détaillé son principe de fonctionnement, résoudre le problème correspondant à un coupleur à aimants tel que représenté ci-dessous :
 
-{{< figure src="../../../images/figures/coupleur2D.png" title="Représentation schématique du coupleur considéré">}}
+{{< figure src="../../../images/figures/coupleur2D.png" title="Représentation schématique d'un pôle de coupleur considéré">}}
+
+Pour gagner du temps, **vous pouvez télécharger la géométrie en** {{% button href="../../../files/geometrie_coupleur_2D.zip" icon="fas fa-download" icon-position="right" %}}cliquant sur ce lien{{% /button %}}.
 
 {{% notice note %}}
-**Il faudra utiliser des conditions de périodicité si vous voulez réduire le domaine d'étude.** 
+**Il faudra utiliser des conditions de périodicité puisque nous travaillerons sur un pôle.** 
 {{% /notice %}}
 
 Je vous donne un exemple d'implantation de ce type de conditions ci-dessous : 
@@ -110,12 +112,17 @@ Constraint {
   {Name Anticyclique;
     Case {
        { Region Gauche; Type Link; RegionRef Droite;
-		Coefficient (-1) ; Function Rotate[ Vector[$X,$Y,$Z], 0, 0, -Pi/pp ] ; } 
+		  Coefficient (-1) ; Function Rotate[ Vector[$X,$Y,$Z], 0, 0, -Pi/p ] ; } 
     }
   }
 }
 ```
-Et pour gagner du temps, **vous pouvez télécharger la géométrie en** {{% button href="../../../files/geometrie_coupleur_2D.zip" icon="fas fa-download" icon-position="right" %}}cliquant sur ce lien{{% /button %}}.
+
+{{% notice tip %}}
+Pour le calcul du couple, une bonne approche consiste à moyenner, sur le volume d'entrefer sous un pôle $(V_e = S_e\\,L_z)$, l'expression obtenue par le tenseur de Maxwell. Montrer préalablement (sur papier) que cette moyenne peut s'écrire : $$ \displaystyle \Gamma = \frac{2\\,p~L_z}{\mu_0\\,e} \iint\_{S_e} \frac{(x^2-y^2)\\,b_x b_y + x y\\,(b_y^2-b_x^2)}{\sqrt{x^2+y^2}}\\,dxdy$$ 
+Cette formule sera ensuite facile à implanter dans le post-processeur de GetDP. 
+{{% /notice %}}
+
 
 {{% notice info %}}
 Cet exemple est tiré de cet [**excellent article des Techniques de l'Ingénieur**](https://www.techniques-ingenieur.fr/base-documentaire/energies-th4/generalites-sur-les-machines-electriques-tournantes-42250210/conception-par-optimisation-des-actionneurs-electromecaniques-d3416/). *Oui, je fais de l'auto-promo* 😉   

module-web/content/mefem/Magnétostatique/cas3D.md

@@ -12,7 +12,7 @@ math: true
 ## Conditions de Jauge sur le potentiel vecteur magnétique
 
 Nous avons déjà vu plusieurs fois précédemment que le potentiel vecteur 
-magnétique ${\bf a}$ était définit à un champ de gradient près et qu'il était 
+magnétique ${\bf a}$ était défini à un champ de gradient près et qu'il était 
 donc nécessaire de le jauger pour assurer l'unicité de la solution.   
 
 Dans le chapitre précédent, [deux méthodes ont été présentées](../../../principe/discret/whitney/#condition-de-jauge) 
@@ -22,8 +22,9 @@ que la manière de les définir dans GetDP.
 
 ### Jauge de Coulomb
 
-Par application directe de la [**méthode du chapitre 2**](http://localhost:1313/ensem/emag-bf/principe/discret/whitney/#jauge-de-coulomb),
-La formulation en potentiel vecteur dans le domaine discret est : 
+Par application directe de la [**méthode du chapitre 2**](http://localhost:1313/ensem/emag-bf/principe/discret/whitney/#jauge-de-coulomb), nous allons définir un champ scalaire $\xi$ dont le gradient permettra d'assurer $\text{div}\\,{\bf a} = 0$ en l'introduisant comme multiplicateur de Lagrange dans la formulation.  
+ 
+Ainsi la formulation ccomplète dans le domaine discret sera : 
 
 $$\boxed{\left\\{\begin{aligned}&\text{Trouver}~{\bf a_h} \in W_0^1,~\xi_h \in W_0^0~\text{tels que :} \\\\ &\left(\mu^{-1}\\,{\bf rot\\,a_h},{\bf rot\\,a_h'}\right)\_{\Omega}  + \left(\mu^{-1}\\,{\bf b_r},{\bf rot\\,a_h'}\right)\_{\Omega_a} + \left(-{\bf j_s},{\bf a_h'}\right)\_{\Omega} + \left({\bf grad}\\,\xi_h,{\bf a_h'}\right)\_{\Omega} = 0,~ \forall\\,{\bf a_h'} \in W_0^1 \\\\  &\left({\bf a_h},{\bf grad}\\,\xi_h'\right)\_{\Omega} = 0, \forall \\, \xi'_h \in W_0^0 \end{aligned}\right.}$$
 
@@ -141,5 +142,41 @@ FunctionSpace {
 
 ### Retour sur notre inductance pour électronique de puissance
 
+Dans le problème de [dimensionnement d'inductance](../cas2d/#dimensionnement-dune-inductance-pour-électronique-de-puissance) de la page précédente, nous avons
+utilisé un modèle 2D alors que l'épaisseur de la ferrite utilisée est relativement faible.
+Il serait donc judicieux de valider (ou non) cette hypothèse par un calcul 3D.  
+
+Pour ce faire, je vous fournis le modèle complet (réduit à un huitième de géométrie gràce aux symétries) à {{% button href="../../../files/Inductance3D.zip" icon="fas fa-download" icon-position="right" %}}Télécharger ici{{% /button %}}.  
+
+Avec, vous pourrez : 
+- tester les deux types de jauge en linéaire et non-linéaire ;
+- observer les valeurs des champs tels que l'induction dans le circuit magnétique par exemple :
+![Champ dans l'inductance en 3D](../../../images/figures/inductance3D.png "Induction dans la Ferrite")
+- tester votre design et vérifier si vous respectez le cahier des charges (250 µH sous 15 A) ;
+- tracer la valeur de l'inductance en fonction du courant : 
+![Inductance en fonction du courant](../../../images/figures/LdeI.png "Inductance en fonction du courant")
+
+---
+
+### Retour sur notre accouplement à aimants permanents
+
+L'accouplement étudié page précédente reposait lui aussi sur l'hypothèse que les 
+effets de bords sont négligeables et il serait opportun de le vérifier.
+
+Résoudre le problème en 3D et comparer les deux formulations : 
+1. en **potentiel vecteur magnétique** (avec la jauge que vous voulez) ;
+2. en **potentiel scalaire magnétique**.
+
+Pour gagner du temps, je vous fournis encore la géométie 3D en {{% button href="../../../files/geometrie_coupleur_3D.zip" icon="fas fa-download" icon-position="right" %}}cliquant ici{{% /button %}}. Un exemple de géométrie possible est représenté ci-dessous :
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+{{< figure src="../../../images/figures/coupleur3D.png" title="Représentation schématique du coupleur considéré">}}
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