From c02b582b04528902a6bfd31cd16ebed37e343219 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Manfred Madritsch <made@gmx.at>
Date: Tue, 22 Mar 2022 18:47:12 +0100
Subject: [PATCH] Pomodoro 4.3
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polycopie.tex | 53 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++-
1 file changed, 52 insertions(+), 1 deletion(-)
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index 9d5f6b4..95ba9a0 100644
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+++ b/polycopie.tex
@@ -1542,7 +1542,58 @@ On a ajouté le point $0$ pour rentre l'espace compact.
$\psi_{k_n,\ldots,k_1}$ de $X$ dans $U_{k_n,\ldots,k_1}$ est presque
affine.
- Pour voir cela, nous utilisons la dérivée de la composition.
+ Pour voir cela, nous utilisons la dérivée de la composition :
+ \[\mathrm{var}_{[0,1]}\psi'_{k_n,\ldots,k_1}
+ \leq \mathrm{var}_{[0,1]}\psi'_{k_{n-1},\ldots,k_1}
+ \cdot
+ \mathrm{var}_{\psi_{k_{n-1},\ldots,k_1}(]0,1])}\phi'_{k_n}.\]
+ Par l'affirmation précédente, la quantité de droite est bornée par
+ $\max_i\mathrm{var}_I\phi'_{k_n}$, où le maximum est sur toutes les
+ intervalles dont la longueur est au plus $2^{-(n-1)/2}$. Mais
+ \[\mathrm{var}_{[a,b]}\phi'_k=\lvert \frac{k+b}{k+a}\rvert^2
+ \leq\lvert 1+b-a\rvert^2\leq 1+3(b-a).\]
+ Il s'ensuit que
+ \[\mathrm{var}_{[0,1]}\psi'_{k_n,\ldots,k_1}\leq\prod_{n=1}^\infty(1+3\cdot
+ 2^{-(n-1)/2},\]
+ où le produit infini converge rapidement.
+
+ Nous appelons tout intervalle $U_{k_n,\ldots,k_1}$ un cylindre à
+ l'ordre $n$. Soit $E\subset [0,1]$ mesurable et soit $E':=E\cap
+ U_{k_n,\ldots,k_1}$. Alors $\psi=\psi_{k_n,\ldots,k_1}\colon E\to
+ E'$ est une bijection, et par un changement des variables on a
+ \[\mu(E')=\int 1_{\psi(E)}(x)\mathrm{d}\mu(x)
+ =\int 1_{E}(y)\psi'(y)\mathrm{d}\mu(y).\]
+ Comme $\mathrm{var}_{[0,1]}\psi'$ est bornée, cette mesure est
+ compris entre $M_1\mu(E)$ et $M_2\mu(E)$ où la ratio $M_2/M_1$ est
+ bornée indépendamment de $E$. Notons que si $E=[0,1]$ on a
+ $E'=U_{k_n,\ldots,k_1}$ et on a
+ \[\mu(T^{-n}E\cap U_{k_n,\ldots,k_1})\geq
+ c\mu(E)\mu(U_{k_n,\ldots,k_1})\]
+ avec une constante absolue $c>0$. Supposons que $E$ soit invariant
+ par $T$. Alors $T^{-n}E=E$ et donc
+ \[\mu(E\cap \widetilde{U})\geq c\mu(E)\mu(\widetilde{U})\]
+ pour tout ensemble $\widetilde{U}$ qui sont des unions de cylindres
+ à l'ordre $n$.
+
+ Puisque $T$ est surjective, tout point dans $]0,1[$ est dans un
+ cylindre à l'ordre $n$. La longueur de ces intervalles tends vers
+ zéro pour $n$ vers l'infinie. On voit que pour tout ensemble ouvert
+ $U$ il existe une suite enchaînée $U_1\supseteq U_2\supseteq\cdots$
+ avec $U_n$ un cylindre d'ordre $n$ pour tout $n$, telle que $\bigcap
+ U_n=U$. Par le théorème de convergence monotone nous avons
+ \[ \mu(E\cap U)\geq c\mu(E)\mu(U)\]
+ pour tout ensemble ouvert $U$.
+
+ La propriété de la régularité de la mesure de Lebesgue il existe,
+ pour tout $\varepsilon>0$, un ensemble ouvert $U$ avec
+ $E^c\subseteq U$ et $\mu(U)\leq \mu(E^c)+\varepsilon$. D'où
+ $\mu(E\cap U)\leq \varepsilon$ et donc
+ $\varepsilon/c\geq \mu(E)\mu(U)\geq \mu(E)(1-\mu(E))$. Comme
+ $\varepsilon$ était arbitraire, on a soit $\mu(E)=0$ soit
+ $\mu(E)=1$. Enfin, remarquons que c'est facile d'en déduire que cela
+ implique que soit $\nu(E)=0$ ou $\nu(E)=1$, parce que $\mu$ est
+ $\nu$ sont absolument continue une par rapport à l'autre.
+
\end{proof}
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