diff --git a/polycopie.tex b/polycopie.tex
index 9b2463c0ee8ced7402c4221a0fd23a113da12d0e..13bb2e7fcda4e4397b8fe74d208d648a8f5fa58c 100644
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@@ -363,7 +363,7 @@ différentes. Par exemple, si $d=2$ nous avons les trois formes suivantes :
\paragraph{Le shift sur un alphabet fini.}
Dans les exemples précendants l'espace $X$ était toujours un sous-espace compact
-d'un manifold. Cet exemple est très different et il a plusieurs applications en
+d'un manifold. Cet exemple est très différent et il a plusieurs applications en
théorie des nombres dans les pages suivantes.
Soit $X=\{0,1,\ldots,k-1\}^\ZZ$, \textit{i.e.} l'espace des mots double-infinis
@@ -882,15 +882,44 @@ l'objet central dans l'étude de la théorie ergodique.
$T^{-1}E=E$) est soit $0$ soit $1$.
\end{definition}
-Il n'est pas difficile de voir que $T$ est ergodique si et seulement
-si les fonctions mesurables et invariantes par $T$ (fonctions $f$
-telles que $f=f\circ T$) sont des fonctions constantes presque
-partout.
+\begin{proposition}\label{prop:equivalent-ergodicity}
+ Soit $(X,T,\mu)$ un système dynamique
+ mesuré. Alors les assertions suivantes sont équivalentes :
+ \begin{enumerate}[(1)]
+ \item $T$ est ergodique ;
+ \item toute application $f\colon X\to \RR$ mesurable, telle que
+ $f\circ T=f$ presque partout, est presque partout constante ;
+ \item toute application $f\in L^1(X)$, telle que $f\circ T=f$
+ presque partout, est presque partout constante ;
+ \item toute application $f\in L^2(X)$, telle que $f\circ T=f$
+ presque partout, est presque partout constante.
+ \end{enumerate}
+\end{proposition}
+
+\begin{proof}
+ \begin{itemize}
+ \item (2) $\Rightarrow$ (3) : Toute $f\in L^1(X)$ est mesurable.
+ \item (3) $\Rightarrow$ (4) : $L^1(X)\subset L^2(X)$.
+ \item (4) $\Rightarrow$ (1) : Soit $E\subseteq X$ mesurable tel que
+ $T^{-1}E=E$ et $1_E$ la fonction caractéristique de $E$. Alors $1_E\in
+ L^2(X)$ et donc avec (4) $1_E$ est constante presque partout. Donc $1_E$ est
+ égale à $0$ ou à $1$ presque partout et $\mu(E)=0$ ou $1$.
+ \item (1) $\Rightarrow$ (2) : Si $f$ n'est pas
+ constante presque partout, il existe un réel $x$ tel que, en notant
+ $A'=f^{-1}([x,+\infty])$, on a $0<\mu(A')<1$. L'égalité $f\circ T=f$
+ presque partout assure que les ensembles $A'$ et $T^{-1}(A')$
+ coïncident en dehors d'une partie négligeable. L'ensemble
+ $A=\bigcap_{p\in\NN} \bigcup_{n\geq p}T^{-n}(A')$ coïncide alors
+ avec $A'$ en dehors d'une partie négligeable. En particulier, on a
+ $0<\mu(A)<1$. comme $T^{-1}(A)=A$, ceci contredit l'ergodicité de $\mu$.
+ \end{itemize}
+
+\end{proof}
L'ergodicité semble être une propriété plutôt faible. Remarquablement,
c'est exactement la propriété qui nous permet de faire des assertions
-rigoureuses de la forme ``les moyennes temporelles tendent vers les
-moyennes de l'espace''.
+rigoureuses de la forme ``les moyennes temporelles tendent vers la
+moyenne spatiale''.
Avant de continuer, nous voulons donner quelques exemples.
@@ -901,17 +930,13 @@ Avant de continuer, nous voulons donner quelques exemples.
\end{proposition}
\begin{proof}
- Soit $f\colon \TT \to \RR$ une fonction mesurable et invariante par
- $R_\alpha$ qui n'est pas constante presque partout. Chaque niveau
- $\{x\colon s\leq f(x)\leq t\}$ est aussi invariante par $R_\alpha$ :
- en passant par un ensemble de niveau où la fonction n'est pas
- constante presque partout nous pouvons supposer que $f\in
- L^1(\TT)$. Soit $\varepsilon >0$. Comme l'espace des fonctions
- continues $C(\TT)$ est dense dans $L^1(\TT)$, il existe une fonction
+ Nous utilisons la version (3) du proposition \ref{prop:equivalent-ergodicity}.
+ Soit $\varepsilon >0$. Comme l'espace des fonctions
+ continues $\mathcal{C}(\TT)$ est dense dans $L^1(\TT)$, il existe une fonction
continue $\widetilde{f}$ avec
$\left\| f-\widetilde{f}\right\|_1\leq\varepsilon$. En appliquant
$R_\alpha^n$ et en utilisant l'invariance de $f$ avec l'invariance
- par rotation de $\left\| \cdot\right\|$ on obtient
+ par rotation de $\left\| \cdot\right\|_1$ on obtient
$\left\| f-\widetilde{f}\circ R_\alpha^n\right\|_1\leq \varepsilon$
pour tout $n$. Donc
$\left\| \widetilde{f}-\widetilde{f}\circ R_\alpha^n\right\|_1\leq
@@ -919,44 +944,46 @@ Avant de continuer, nous voulons donner quelques exemples.
(voir théorème~\ref{densite-des-rotations}), il s'ensuit avec la
continuité de $\widetilde{f}$ que
$\left\| \widetilde{f}-\widetilde{f}\circ R_t\right\|_1\leq
- 2\varepsilon$ pour tout $t\in\TT$. En posant $c(\widetilde{f})$ la
+ 3\varepsilon$ pour tout $t\in\TT$. En posant $c(\widetilde{f})$ la
fonction constante égale à $\int \widetilde{f}\mathrm{d}\mu$, cela
implique que
\begin{align*}
\left\|\widetilde{f}-c(\widetilde{f})\right\|_1
- &=\int\left|\widetilde{f}(x)-\int \widetilde{f}(x+t)\mathrm{d}\mu(t)\right|\mathrm{d}\mu(x)\\
- &=\int\left|\int\widetilde{f}(x)-\widetilde{f}(x+t)\mathrm{d}\mu(t)\right|\mathrm{d}\mu(x)\\
- &\leq\iint\left|\widetilde{f}(x)-\widetilde{f}(x+t)\right|\mathrm{d}\mu(t)\mathrm{d}\mu(x)\\
- &\leq 2\varepsilon.
+ &=\int\left|\widetilde{f}(x)-\int \widetilde{f}(x+t)\mathrm{d}t\right|\mathrm{d}x\\
+ &=\int\left|\int\widetilde{f}(x)-\widetilde{f}(x+t)\mathrm{d}t\right|\mathrm{d}x\\
+ &\leq\iint\left|\widetilde{f}(x)-\widetilde{f}(x+t)\right|\mathrm{d}t\mathrm{d}x\\
+ &\leq 3\varepsilon.
\end{align*}
Donc on a $\left\| f-c(\widetilde{f})\right\|_1\leq
- 3\varepsilon$. Alors
- \[
+ 4\varepsilon$. Alors
+ \begin{align*}
\left| c(f)-c(\widetilde{f})\right|
- =\left| \int(f-c(\widetilde{f}))\mathrm{d}\mu\right|
- \leq3\varepsilon
- \]
+ =\left| \int(f(x)-c(\widetilde{f}))\mathrm{d}x\right|
+ \leq \int \left|f(x)-c(\widetilde{f})\right|\mathrm{d}x
+ =\left\| f-c(\widetilde{f})\right\|_1
+ \leq 4\varepsilon
+ \end{align*}
et par l'inégalité du triangle on a $\left\| f-c(f)\right\|_1\leq
- 6\varepsilon$. D'après $\varepsilon>0$ était arbitraire, on a
+ 8\varepsilon$. D'après $\varepsilon>0$ était arbitraire, on a
$\left\| f-c(f)\right\|_1=0$ qui implique que $f=c(f)$ presque
partout en contradiction.
\end{proof}
-\begin{proposition}[La duplication est ergodique]
- La transformation $T(x)=2x-\left\lfloor 2x\right\rfloor$ est
- ergodique par rapport à la mesure de Lebesgue $\mu$.
+\begin{proposition}[L'application dilatante est ergodique]
+ La transformation $T\colon \TT\to\TT$ définie par $T(x)=2x-\left\lfloor
+ 2x\right\rfloor$ est ergodique par rapport à la mesure de Lebesgue $\mu$.
\end{proposition}
\begin{proof}
-Soit $D_{a,n}$ un intervalle bipartite d'ordre $n$, c'est-à-dire un
+Soit $D_{a,n}$ un intervalle dyadique d'ordre $n$, c'est-à-dire un
intervalle de la forme $\left(\frac{a}{2^n},\frac{a+1}{2^n}\right)$
-avec $a\in\ZZ$. Soit $E$ un ensemble mesurable. C'est claire que
+avec $a\in\ZZ$ et soit $E\subseteq\TT$ un ensemble mesurable. C'est claire que
$\mu(T^{-n}E\cap D_{a,n})=2^{-n}\mu(E)$. Donc si $E$ est invariant
par $T$ alors $\mu(E\cap D_{a,n})=2^{-n}\mu(E)$.
Pour tout $\varepsilon>0$ il existe un ouvert $U$ avec $E\subseteq U$
et $\mu(U\setminus E)\leq\varepsilon$. Pour tout $n$ nous écrivons
-$U_n$ pour l'union des intervalles bipartite d'ordre $n$ contenant
+$U_n$ pour l'union des intervalles dyadique d'ordre $n$ contenant
dans $U$. C'est claire que $U_1\subseteq U_2\subseteq \cdots$. Comme
$U$ est ouvert on a $\bigcup_n U_n=U$. Par le théorème de convergence
monotone on obtient
@@ -967,7 +994,7 @@ Donc si $\mu(E)\neq0$ alors $\mu(U)=1$ et par conséquent $\mu(E)\geq
arbitraire, nous avons $\mu(E)=1$.
\end{proof}
-\section{Moyennes temporelles contre moyennes de l'espace}
+\section{Moyennes temporelles contre moyennes spatiales}
Soit $(X,\mu,T)$ un système dynamique mesuré avec $\mu(X)=1$ et
supposons que $T\colon X\to X$ soit ergodique. Un ``théorème
@@ -986,7 +1013,7 @@ f\mathrm{d}\mu$.
on a $\langle f_N-f,g\rangle\to0$.
\item $f_N\to f$ dans $L^2$ si $\left\| f_N-f\right\|_2\to0$.
\item Plus généralement, si $p\geq1$, nous disons que $f_N\to f$
- dans $L^p$ si $\left\| f_N-f\right\|_2\to0$. Normalement nous
+ dans $L^p$ si $\left\| f_N-f\right\|_p\to0$. Normalement nous
prenons $1\leq p\leq 2$.
\item Nous disons que $f_N\to f$ simplement presque partout si
$f_N(x)\to f(x)$ pour tout $x$ sauf un ensemble de mesure $0$.
@@ -998,7 +1025,7 @@ convergence.
Si $f_N\to f$ dans $L^2$ alors $f_N\to f$ faiblement dans $L^2$, parce
que
-\[\langle f_N-f,g\rangle\leq \left\| f_N-f\right\|_2\left\|
+\[\lvert\langle f_N-f,g\rangle\rvert\leq \left\| f_N-f\right\|_2\left\|
g\right\|_2\]
par l'inégalité de Cauchy-Schwarz. Par contre, le contraire n'est pas
vrai. En effet, posons $X=\RR/\ZZ$ et $f_N(x)=e^{2\pi i N
@@ -1025,7 +1052,7 @@ $f_n\colon [0,1]\to \RR$ définie par $f_n(x)=n$ si $0\leq x\leq 1/n$
et $f_n(x)$ sinon, converge vers zéro presque partout. Mais $f_n$ ne
converge pas vers zéro dans n'importe quel $L^p$ avec $p\geq1$.
-\section{Moyennes temporelles contre moyennes de l'espace dans faible
+\section{Moyennes temporelles contre moyennes spatiales dans faible
$L^2$}
Nous commençons avec le théorème le plus faible qu'on peut appeler un
@@ -1046,16 +1073,16 @@ dual).
\begin{proof}
Sans perde de généralité nous supposons que $\lVert
- f\rVert_2=1$. Comme l'application $U_T\colon L^2(X)\to L^2(X)$ est
- une isométrie, on a
+ f\rVert_2=1$. Comme l'application $U_T\colon L^2(X)\to L^2(X)$
+ définie par $U_T(f)=f\circ T$ est une isométrie, on a
\[\lVert S_Nf\rVert_2=\lVert
\frac1N(f+U_Tf+\cdots+U_T^{N-1}f\rVert_2\leq1.\]
Donc $S_Nf$ est dans la boule unitaire de $L^2(X)$. Notons que les
moyennes $S_Nf$ sont presque invariantes par $T$ par
- \begin{gather}\label{green:eq3.2}
+ \begin{equation}\label{green:eq3.2}
\lVert S_Nf-S_Nf\circ T\rVert_2\leq \frac1N\left(\lVert
f\rVert_2+\lVert U_T^Nf\rVert_2\right)\leq \frac2N.
- \end{gather}
+ \end{equation}
Suppose que la sous-suite $\left\{S_{N_k}f\right\}_{k\geq1}$
converge faiblement vers $g\in L^2(X)$. D'après (\ref{green:eq3.2})
on voir que aussi $\left\{S_{N_k}f\circ T\right\}_{k\geq1}$ converge
@@ -1064,7 +1091,13 @@ dual).
partout. Depuis
\[\int S_{N_k}f\mathrm{d}\mu - \int g\mathrm{d}\mu
=\langle S_{N_k}f-g,1\rangle\to0\]
- et $\langle S_Nf,1\rangle=\int S_Nf\mathrm{d}\mu=\overline{f}$ pour
+ et
+ \[
+ \langle S_Nf,1\rangle=\int S_Nf(x)\mathrm{d}\mu(x)
+ =\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}\int f\circ T^n(x) \mathrm{d}\mu(x)
+ =\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}\int f(x) \mathrm{d}\mu(x)
+ =\overline{f}\]
+ pour
tout $N$, il faut que $g=\overline{f}$.
Nous avons montré que toute sous-suite de $\{S_Nf\}_{N\geq1}$
@@ -1124,7 +1157,18 @@ isométries.
=\langle UU^*f,f\rangle
\leq \lVert UU^* f\rVert\cdot\lVert f\rVert
\leq \lVert U^* f\rVert\cdot\lVert f\rVert.\]
-
+ De plus si $f$ est invariante par $U$ elle est aussi invariante par $U^*$. En effet
+ \begin{align*}
+ \left\| f- U^*f\right\|^2
+ &= \langle f-U^*f, f-U^*f \rangle\\
+ &=\langle f, f\rangle - \langle U^*f, f\rangle
+ -\langle f, U^*f\rangle - \langle U^*f, U^*f\rangle\\
+ &=\lVert f\rVert^2 + \lVert U^*f\rVert^2 - \langle f, Uf\rangle
+ -\langle Uf, f\rangle\\
+ &=\lVert f\rVert^2 + \lVert U^*f\rVert^2 - \langle f, f\rangle
+ -\langle f, f\rangle=-\lVert f\rVert^2 + \lVert U^*f\rVert^2\leq 0.
+ \end{align*}
+
L'idée central de la démonstration est l'identification du
complément orthogonal de $I$ comme sous-espace fermé des
\textit{cocycles}\index{cocycle}. Soit $g\in H$, alors on écrit
@@ -1140,8 +1184,14 @@ isométries.
f\rangle=0$. D'où
\begin{align*}
\lVert f-Uf\rVert^2
- &=\langle f, f-Uf\rangle+\langle f-Uf, f\rangle
- - \lVert f\rVert^2 + \lVert Uf\rVert^2\\
+ &= \langle f-Uf, f-Uf \rangle\\
+ &= \langle f + f - Uf - f, f-Uf \rangle\\
+ &=\langle f, f-Uf\rangle+\langle f-Uf, f-Uf\rangle
+ - \langle f, f-Uf\rangle\\
+ &=\langle f-Uf, f\rangle
+ -\langle f-Uf, Uf\rangle- \langle f, f-Uf\rangle\\
+ &=-\langle f, Uf\rangle+ \langle Uf, Uf\rangle
+ -\langle f, f\rangle+ \langle f, Uf\rangle\\
&=- \lVert f\rVert^2 + \lVert Uf\rVert^2\\
&\leq 0.
\end{align*}
@@ -1156,12 +1206,17 @@ isométries.
\lVert S_Nf-\pi(f)\rVert\leq \lVert S_N(\partial g)\rVert+\lVert
S_N h\rVert.
\end{gather}
+ Pour le cocycle on obtient
+ \[
+ \lVert S_N(\partial g)\rVert=\lVert\frac1N\sum_{n=0}^{N-1} U^n(g - Ug)\rVert
+ =\frac1N\lVert g - U^Ng\rVert\leq \frac2N \lVert g\rVert.
+ \]
Puisque $U$ est une contraction on a
- \[ \lVert S_Nh\rVert\leq \varepsilon.\]
- Maintenant, en télescopant la somme, on voit que
- \[ S_N(\partial g)=\frac1N(g-U^Ng),\]
- et donc
- \[\lVert S_N(\partial g)\rVert\leq \frac{2}{N}\lVert g\rVert.\]
+ \[ \lVert S_Nh\rVert=\lVert\frac1N\sum_{n=0}^{N-1} U^nh\rVert
+ \leq\frac1N\sum_{n=0}^{N-1}\lVert U^nh\rVert
+ \leq\frac1N\sum_{n=0}^{N-1}\lVert h\rVert
+ \leq\varepsilon.
+ \]
En comparent avec (\ref{green:eq4.1}) on peut voir que
\[\lVert S_Nf-\pi(f)\rVert\leq \frac2N\lVert g\rVert+\varepsilon.\]
Comme $\varepsilon>0$ était arbitraire, le théorème est démontré.
@@ -1361,6 +1416,55 @@ preuve est assez simple.
% ---------------------------------------------------------------------------
+\chapter{Quelques applications en théorie des nombres}
+
+\section{Nombres normaux}
+
+Soit $x\in[0,1]$. Pour $b\geq2$ un entier on a la représentation
+\[x=\sum_{i\geq1}\frac{a_i}{b^i}=0.a_1a_2a_3\ldots\]
+avec $a_i\in\{0,1,\ldots,b-1\}$. Pour chaque bloc de $\ell$ chiffres
+$d_1\ldots d_\ell$, nous comptons la fréquence de son apparition parmi
+les premiers $N$ chiffres. On dit que $x$ est normal en base $b$ si
+\[
+ \lim_{N\to\infty}\frac1N\lvert\left\{0\leq n< N\colon
+ a_{n+1}=d_1,\ldots, a_{n+\ell}=d_\ell\right\}\rvert=b^{-\ell},
+\]
+pour tout $\ell\geq1$ et toute choix de $d_1,\ldots,d_\ell$. Autrement dit le
+nombre d'occurrences du bloc $d_1\ldots d_\ell$ et le nombre attendu.
+
+Un point de vue différent est d'interpréter la normalité par rapport
+à la dilatation du cercle $T_k$ avec $k\geq2$ un entier. En
+particulière nous avons $a_{n+1}\ldots a_{n+\ell}=d_1\ldots d_\ell$ si
+et seulement si $T_k^nx$ est dans l'intervalle
+\[ I:=\frac{d_1}{k}+\cdots +
+ \frac{d_\ell}{k^{\ell}}+\left[0,\frac{1}{k^{\ell}}\right[.\] Puisque les
+applications $T_k$ sont ergodique (en effet, nous avons démontré cela
+seulement dans le cas $k=2$, mais le cas général se démontrer de même
+manier). Alors par théorème d'ergodicité de Birkhoff (théorème \ref{thm-ergodique-simple}) on
+a
+\[\lim_{N\to\infty}\frac1N\lvert\{\left\{0\leq n< N\colon
+ a_{n+1}=d_1,\ldots, a_{n+\ell}=d_\ell\right\}\rvert
+ =\lim_{N\to\infty}\frac{1}{N}\sum_{n=1}^N 1_I(T_k^n x)
+ =\mu(I)=b^{-\ell}\]
+pour presque tout $x$. Il y a seulement un nombre dénombrable des choix pour
+$\ell$ et $d_1\ldots d_\ell$ et donc on a que presque tout $x\in[0,1]$
+est normal en base $b$.
+
+Puisque il y a seulement un nombre dénombrable des entiers $b\geq2$ on
+a que presque tout $x$ est normal par rapport aux toutes bases $b$. On
+appelle un tel réel \textit{absolument normal}\index{absolument normal}.
+
+
+\section{Le théorème de recurrence de Khintchine}
+
+\section{Fractions continues et la transformation de Gauss}
+
+% ---------------------------------------------------------------------------
+
+% \chapter{Le théorème de Roth}
+
+% ---------------------------------------------------------------------------
+
\chapter{Le théorème de Furstenberg et Sárközy}
Dans ce chapitre nous allons démontrer le résultat suivant de Furstenberg et