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@@ -338,9 +338,9 @@ particulière, si
 \[x=\cfrac{1}{a_1+\cfrac{1}{a_2+\cfrac{1}{a_3+\ddots}}}, \quad\text{alors}\quad
 Tx=\cfrac{1}{a_2+\cfrac{1}{a_3+\cfrac{1}{a_4+\ddots}}},\] et nous obtenons le
 $n$-ième coefficient $a_n$ du developpement de $x$ par $a_n=\lfloor
-1/T{n-1}x\rfloor$. C'est clair que l'application $T$ n'est pas continue mais
+1/T^{n-1}x\rfloor$. C'est clair que l'application $T$ n'est pas continue mais
 elle preserve la mesure de Gauss- définie par :
-\[\mu(E):=\frac1{\ln}\int_{E}\frac{\dx}{1+x}.\]
+\[\mu(E):=\frac1{\ln2}\int_{E}\frac{\dx}{1+x}.\]
 Nous allons considérer cette transformation en plus detail en bas. 
 
 \paragraph{La rotation du tore.}
@@ -401,8 +401,8 @@ démontrer que la rotation du cercle est dense et équirépartie.
   $x=0$. Le théorème de Dirichlet nous dit que pour tout $\varepsilon$ ils
   existent deux entiers $q\geq1$ et $a$ tel que $\left| q\alpha - a \right|\leq
   \varepsilon$. Comme $\alpha$ est irrationnel c'est impossible d'avoir $\left|
-  q\alpha - a \right|=0$ et donc les itérées $m\alpha\pmod 1$, $2m\alpha\pmod
-  1$, $3m\alpha\pmod 1$, ... forment un sous-ensemble de $\mathbb{U}$ sans
+  q\alpha - a \right|=0$ et donc les itérées $q\alpha\pmod 1$, $2q\alpha\pmod
+  1$, $3q\alpha\pmod 1$, ... forment un sous-ensemble de $\mathbb{U}$ sans
   écarts plus grands que $\varepsilon$. Comme $\varepsilon$ était arbitraire,
   l'orbit $(n\alpha\pmod 1)_{n=1}^\infty)$ est dense.
 \end{proof}
@@ -420,7 +420,7 @@ démontrer que la rotation du cercle est dense et équirépartie.
 \end{remarque}
 
 \begin{proof}
-  L'idée centrale est l'utilisation de le developpement de $f$ en série de
+  L'idée centrale est l'utilisation du developpement de $f$ en série de
   Fourier :
   \begin{gather}\label{green:eq2.1}
     f(\theta) \sim \sum_{r\in \ZZ}\widehat{f}(r)e^{2\pi i r\theta}.  
@@ -508,7 +508,7 @@ En effet les deux versions du théorème de \textsc{van der Waerden} sont
 équivalentes. Pour déduire la version finie de la version infinie nous utilisons
 un argument très similaire à l'argument de la diagonale de Cantor. Supposons
 qu'on ait une suite $(N_{0,m})_{m=1}^\infty$ avec $N_{0,m}\to+\infty$ pour
-$m\to+\infty$, ensemble avec une suite $C_{1}^{(0,m)}\cup\cdot\cup
+$m\to+\infty$, ensemble avec une suite $C_{1}^{(0,m)}\cup\cdots\cup
 C_{r}^{(0,m)}$ des colorations de $[-N_{0,m},N_{0,m}]$ en $r$ couleurs telle que
 aucune coloration contient une progression arithmétique monochromatique de
 longueur $k$.
@@ -516,20 +516,20 @@ longueur $k$.
 Considérons la coloration de $-1,0,1$. D'après il y a seulement un nombre fini
 de façons à colorier ces trois entiers, il existe une sous-suite infinie
 $(N_{1,m})_{m=1}^\infty$ de $(N_{0,m})_{m=1}^\infty$ telle que $-1,0,1$ ont les
-même couleurs dans toutes les colorations associées $C_{1}^{(1,m)}\cup\cdot\cup
+même couleurs dans toutes les colorations associées $C_{1}^{(1,m)}\cup\cdots\cup
 C_{r}^{(1,m)}$.
 
 Maintenant considérons les couleurs de $-2,-1,0,1,2$. D'après il y a seulement
 un nombre fini de façons à colorier ces cinq entiers, il existe une sous-suite
 infinie $(N_{2,m})_{m=1}^\infty$ de $(N_{1,m})_{m=1}^\infty$ telle que
 $-2,-1,0,1,2$ ont les même couleurs dans toutes les colorations associées
-$C_{1}^{(2,m)}\cup\cdot\cup C_{r}^{(2,m)}$. 
+$C_{1}^{(2,m)}\cup\cdots\cup C_{r}^{(2,m)}$. 
 
 De même manier nous obtenons une sous-suite $(N_{3,m})_{m=1}^\infty$ et ainsi de
 suite. Considérons la suite diagonale :
 $(N^*_{m})_{m=1}^\infty=(N_{m,m})_{m=1}^\infty$. Après construction les entiers
-$-m,-m+1,\ldots,m-1,m$ ont la même couleurs dans la coloration associée
-$C_{1}^{*(m)}\cup\cdot\cup C_{r}^{*(m)}$. Cela donne une coloration de $\ZZ$.
+$-m,-m+1,\ldots,m-1,m$ ont les mêmes couleurs dans la coloration associée
+$C_{1}^{*(m)}\cup\cdots\cup C_{r}^{*(m)}$. Cela donne une coloration de $\ZZ$.
 D'après la version infinie du théorème de \textsc{van der Waerden} elle contient
 une progression arithmétique monochromatique de longueur $k$. Cette progression
 est contenu dans un intervalle $[-N_m^*,N_m^*]$ en contradiction avec
@@ -601,7 +601,7 @@ Voici une définition alternative qui est plus utile pour nous.
 
 \begin{lemme}\label{green:lem2.3}
   Soit $X$ un espace métrique et compact et soit $S$ un demi-group qui opère sur
-  $S$ par des applications continues. Alors il exist un ensemble $X'\subseteq x$
+  $X$ par des applications continues. Alors il exist un ensemble $X'\subseteq X$
   fermé, non-vide et invariant par $S$ tel que l'action $S$ est minimal sur $X'$.
 \end{lemme}
 
@@ -788,7 +788,92 @@ la dernière est la récurrence demandé.
 
 \chapter{Le théorème de Furstenberg et Sárközy}
 
-\chapter{Le théorème de Szemerédi}
+Dans ce chapitre nous allons démontrer le résultat suivant de Furstenberg et
+Sárközy. C'est peut-être une application très simples des idées de la théorie
+ergodique aux questions de la théorie combinatoire de nombres.
+
+\begin{theoreme}
+  Soit $\delta>0$. Il existe $N_0(\delta)$ tel que si $N\geq N_0(\delta)$ et si 
+  $A\subset\{1,\ldots,N\}$ est tel que $\left| A\right|\geq \delta N$, alors ils existent
+  deux éléments $a,a'\in A$ dont la différence est un carré.
+\end{theoreme}
+
+\section{Le théorème spectral de Bochner et Herglotz}
+
+Soit $H$ un espace de Hilbert, soit $U\colon H\to H$ une operator unitaire et soit
+$x\in H$. Nous considérons la suite $r(n):=\langle U^nx,x\rangle$ avec
+$n\in\ZZ$. L'idée centrale est d'analyser la transformation Fourier de cette
+suite, c'est-à-dire, de travailler sur
+\[\widehat{r}(\theta)\sim\sum_{n\in\ZZ}r(n)e^{2\pi i n \theta}\]
+avec $\theta\in[0,1]$. Mais à priori ce n'est pas évidente que la somme sur la
+droite converge.
+
+Le théorème de Bochner et Herglotz nous permettons de voir la transformation de
+Fourier comme une measure sur $\RR/\ZZ$.
+
+\begin{theoreme}[Théorème spectral]
+  Supposons que $\left\| x\right\|=1$. Alors il existe une measure probabiliste
+  de Borel $\mu$ sur $\RR/\ZZ$ (qui ne depends que de $x$) avec la propriété que
+  \[\langle U^nx,x\rangle=\widehat{\mu}(n):=\int_0^1e^{-2\pi i n \theta}\mathrm{d} \mu(\theta).\]
+\end{theoreme}
+
+\begin{proof}
+  Soit $\psi_k\colon \NN\to\RR$, $k=1,2,\ldots$ une suite des fonctions du
+  support compact telle que $\left\|\psi_k\right\|_{\ell^2(\ZZ)}=1$. On a
+  \begin{align*}
+    \left\|\sum_{n}e^{2\pi i n \theta}\psi_k(n)U^nx\right\|^2
+    &=\sum_{\ell,m}\left\langle U^\ell x,U^m x\right\rangle e^{2\pi i(\ell - m)\theta}
+      \psi_k(\ell)\psi_k(m)\\
+    &=\sum_{\ell,m}\left\langle U^{\ell-m} x,x\right\rangle e^{2\pi i(\ell - m)\theta}
+      \psi_k(\ell)\psi_k(m)\\
+    &=\sum_{n}\left\langle U^{n} x,x\right\rangle e^{2\pi i n\theta}
+      (\psi_k\ast \psi_k)(n),
+  \end{align*}
+  où la convolution est définie par
+  \[(\psi_k\ast\psi_k)(n):=\sum_{\ell,m\colon
+      \ell-m=n}\psi_k(\ell)\psi_k(m).\]
+  Posons
+  \[f_k(\theta):=\sum_n\left\langle U^n x, x\right\rangle e^{2\pi i
+      n\theta} (\psi_k\ast \psi_k)(n).\]
+  L'analyse en haut montre que $f_k(\theta)\geq0$ pour tout
+  $\theta$. Comme $\psi_k$ est de support compact, la fonction $f_k$
+  est de $\mathcal{C}^\infty$ sur $\RR/\ZZ$. Alors nous pouvons
+  appliquer la transformation de Fourier inverse pour obtenir
+  \[ \left\langle U^n x, x\right\rangle (\psi_k\ast\psi_k)(n)
+    =\int_0^1f_k(\theta)e^{-2\pi i n\theta}d\nu(\theta).\]
+  Nous écrivons
+  \[\left\langle U^n x, x\right\rangle (\psi_k\ast\psi_k)(n)
+    =\widehat{\mu_k}(n),\]
+  où la mesure $\mu_k$ est donne comme
+  $\mathrm{d}\mu_k/\mathrm{d}\nu=f_k(\theta)$.
+
+  Notons que la mesure $\mu_k$ est une mesure de probabilité
+  (autrement dit $\mu_k(\RR/\ZZ)=1$. En effet
+  \[\mu_k(\RR/\ZZ)=\widehat{\mu_k}(0)
+  =\langle x,x\rangle (\psi_k\ast\psi_k)(0)
+  =(\psi_k\ast\psi_k)(0)
+  =\left\|\psi\right\|_{\ell^2(\ZZ)}^2=1.\]
+
+  Nous savons que l'espace des mesures régulières, probabilistes et
+  borélienne est faiblement compact. Donc il existe une mesure
+  borélienne régulière probabiliste $\mu$ tel que $\mu_{k_j}$ converge
+  faiblement 
+  vers $\mu$ pour une sous-suite $k_j\to\infty$. Cela entrain que
+  $\widehat{\mu}_{k_j}(n)\to \widehat{\mu}(n)$ pour tout $n$. Alors on
+  a
+  \[\langle U^n x,
+    x\rangle\lim_{j\to\infty}(\psi_{k_j}\ast\psi_{k_j})(n)=\widehat{\mu}(n)\]
+  pour tout $n$.
+
+  Pour conclure il faut choisir les fonctions $\psi_k$ telles que
+  \[\lim_{k\to\infty}(\psi_{k}\ast\psi_{k})(n)=1\]
+  pour tout $n$. Un choix simple est
+  $\psi_k(m)=\frac1{\sqrt{2k+1}}1_{\left| m\right|\leq k}$.
+
+  
+\end{proof}
+
+%\chapter{Le théorème de Szemerédi}
 
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