From 99b04bb8ae952787f2767d1077951a12adec947c Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Manfred Madritsch <made@gmx.at> Date: Sat, 19 Mar 2022 07:59:12 +0100 Subject: [PATCH] the end of Chapter 3 --- polycopie.tex | 345 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++- 1 file changed, 341 insertions(+), 4 deletions(-) diff --git a/polycopie.tex b/polycopie.tex index c673f2a..9b2463c 100644 --- a/polycopie.tex +++ b/polycopie.tex @@ -318,7 +318,7 @@ Nous aimerons commencer avec quelques exemples des systèmes dynamiques mesuré. Soit $\alpha\in\RR$ un nombre réel, soit $X=\mathbb{U}:=\RR/\ZZ$ le cercle, et soit $R_\alpha\colon X\to X$ la rotation donnée par $x\mapsto x+\alpha\pmod 1$. -\paragraph{La multiplication avec $k$.} Soit comme avant $X=\mathbb{U}$ et soit +\paragraph{L'application dilatante du cercle.} Soit comme avant $X=\mathbb{U}$ et soit $k\in \ZZ$. Nous définissons par $S_k\colon X\to X$ la transformation $x\mapsto kx\pmod 1$. Celle-ci preserve la mesure de Lebesgue sur $\mathbb{U}$. En particulière soit $I=[a,b)$ un intervalle. Alors @@ -1025,6 +1025,342 @@ $f_n\colon [0,1]\to \RR$ définie par $f_n(x)=n$ si $0\leq x\leq 1/n$ et $f_n(x)$ sinon, converge vers zéro presque partout. Mais $f_n$ ne converge pas vers zéro dans n'importe quel $L^p$ avec $p\geq1$. +\section{Moyennes temporelles contre moyennes de l'espace dans faible + $L^2$} + +Nous commençons avec le théorème le plus faible qu'on peut appeler un +théorème ergodique. + +\begin{theoreme} + Soit $(X,\mu,T)$ un système dynamique mesuré avec $T$ ergodique et + soit $f\in L^2(X)$. Alors les moyennes temporelles + $S_Nf(x):= \frac1N\sum_{n=0}^{N-1}f(T^nx)$ converge faiblement vers + $\overline{f}:=\int f\mathrm{d}\mu$ dans $L^2$. +\end{theoreme} + +L'idée centrale de la démonstration est le théorème de Banach et +Alaoglu : la boule unitaire est compact en topologie faible (plus +précisément, le théorème dit que la boule unitaire de $L^2(X)^*$ est +compact en topologie faible-*; mais $L^2$ est isomorphe avec son +dual). + +\begin{proof} + Sans perde de généralité nous supposons que $\lVert + f\rVert_2=1$. Comme l'application $U_T\colon L^2(X)\to L^2(X)$ est + une isométrie, on a + \[\lVert S_Nf\rVert_2=\lVert + \frac1N(f+U_Tf+\cdots+U_T^{N-1}f\rVert_2\leq1.\] + Donc $S_Nf$ est dans la boule unitaire de $L^2(X)$. Notons que les + moyennes $S_Nf$ sont presque invariantes par $T$ par + \begin{gather}\label{green:eq3.2} + \lVert S_Nf-S_Nf\circ T\rVert_2\leq \frac1N\left(\lVert + f\rVert_2+\lVert U_T^Nf\rVert_2\right)\leq \frac2N. + \end{gather} + Suppose que la sous-suite $\left\{S_{N_k}f\right\}_{k\geq1}$ + converge faiblement vers $g\in L^2(X)$. D'après (\ref{green:eq3.2}) + on voir que aussi $\left\{S_{N_k}f\circ T\right\}_{k\geq1}$ converge + faiblement vers $g$, donc $g=g\circ T$ presque partout. Comme $T$ + est ergodique, cela implique que $g$ est constante presque + partout. Depuis + \[\int S_{N_k}f\mathrm{d}\mu - \int g\mathrm{d}\mu + =\langle S_{N_k}f-g,1\rangle\to0\] + et $\langle S_Nf,1\rangle=\int S_Nf\mathrm{d}\mu=\overline{f}$ pour + tout $N$, il faut que $g=\overline{f}$. + + Nous avons montré que toute sous-suite de $\{S_Nf\}_{N\geq1}$ + converge faiblement dans $L^2$ vers $\overline{f}$. Ce n'est pas + difficile à déduire que par la compacité de la boule unitaire de + $L^2(X)$ en topologie faible, la suite $\{S_Nf\}_{N\geq1}$ elle-même + converge faiblement vers $\overline{f}$ dans $L^2(X)$. +\end{proof} + +\section[le théorème moyenne]{Moyennes temporelles contre moyennes de l'espace dans $L^2$ : +le théorème moyenne} + +Le théorème principal de cette section supplante complètement celui de +la section précédente, bien que la preuve soit plus compliquée. + +\begin{theoreme}[Théorème moyenne ergodique de von Neumann]\label{thm:ergodique-moyenne} + Soit $(X,\mu,T)$ un système dynamique mesuré avec $T$ ergodique. Alors pour toute $f\in + L^2(X)$ on a $S_Nf\to\overline{f}$ dans $L^2$. +\end{theoreme} + +Il existe, en fait, une version de ce théorème pour les +transformations préservant la mesure qui ne sont pas nécessairement +ergodiques. Soit $I\subseteq L^2(X)$ l'espace fermé des fonctions +$T$-invariante et soit $\pi(f)$ la projection de $f$ sur $I$. + +\begin{theoreme}[Théorème moyenne de von Neumann]\label{thm:moyenne} + Soit $(X,\mu,T)$ un système dynamique mesuré. Alors pour tout $f\in + L^2(X)$ on a + \[\lVert S_Nf-\pi(f)\rVert_2\to0\] + pour $N\to\infty$. +\end{theoreme} + +C'est simple de déduire théorème \ref{thm:ergodique-moyenne} de +théorème \ref{thm:moyenne}, parce que dans le cas ergodique $I$ +ne contient que des fonctions constantes. + +La démonstration du théorème moyenne ergodique de von Neumann est +discuté de manier la plus naturelle en utilisent les isométries +$U_T\colon L^2(X)\to L^2(X)$ induit par $T$. En fait, avec un peu plus +d'effort on peut traiter le cas des contractions par rapport aux +isométries. + +\begin{theoreme}[Théorème moyenne ergodique de von Neumann pour les + espaces de Hilbert] + Soit $H$ un espace de Hilbert, et soir $U\colon H\to H$ une + contraction (c.-a.-d. $\lVert U f\rVert\leq \lVert f\rVert$ pour tout + $f\in H$). Soit $I\subseteq H$ le sous-espace des éléments + invariants par $U$ et soit $\pi\colon H\to I$ la projection + associée. Alors les moyennes temporelles + $S_Nf:=\frac1N\sum_{n=0}^{N-1} U^nf$ converge vers $\pi(f)$ dans $H$. +\end{theoreme} + +\begin{proof} + Soit $U^*$ l'opérateur adjoint, qui est aussi une contraction, parce + que pour tout $f\in H$ on a + \[\lVert U^*f\rVert^2=\langle U^*f,U^*f\rangle + =\langle UU^*f,f\rangle + \leq \lVert UU^* f\rVert\cdot\lVert f\rVert + \leq \lVert U^* f\rVert\cdot\lVert f\rVert.\] + + L'idée central de la démonstration est l'identification du + complément orthogonal de $I$ comme sous-espace fermé des + \textit{cocycles}\index{cocycle}. Soit $g\in H$, alors on écrit + $\partial g=g-Ug$ pour le cocycle de $g$. En outre, soit $M$ + le sous-espace fermé de $H$ engendré par les cocyles $\partial + g$. Clairement $I\subseteq M^\perp$, parce que si $f$ est invariante + par $U$, alors on a + \[\langle \partial g, f\rangle + =\langle g-Ug, f\rangle + =\langle g, f\rangle-\langle g, U^*f\rangle=0.\] + Contrairement supposons que $f\in H$ soit orthogonal aux toutes + cocyles. Alors, en particulier, $\langle f,\partial + f\rangle=0$. D'où + \begin{align*} + \lVert f-Uf\rVert^2 + &=\langle f, f-Uf\rangle+\langle f-Uf, f\rangle + - \lVert f\rVert^2 + \lVert Uf\rVert^2\\ + &=- \lVert f\rVert^2 + \lVert Uf\rVert^2\\ + &\leq 0. + \end{align*} + Donc $f=Uf$, et autrement dit $f\in I$. + + Maintenant nous avons la décomposition suivante. Soit $f\in H$ + arbitraire. Alors pour tout $\varepsilon>0$ on peut écrire + \[ f=\pi(f)+\partial g + h\] + où $\lVert h\rVert\leq \varepsilon$. En prennent des moyennes nous + obtenons + \begin{gather}\label{green:eq4.1} + \lVert S_Nf-\pi(f)\rVert\leq \lVert S_N(\partial g)\rVert+\lVert + S_N h\rVert. + \end{gather} + Puisque $U$ est une contraction on a + \[ \lVert S_Nh\rVert\leq \varepsilon.\] + Maintenant, en télescopant la somme, on voit que + \[ S_N(\partial g)=\frac1N(g-U^Ng),\] + et donc + \[\lVert S_N(\partial g)\rVert\leq \frac{2}{N}\lVert g\rVert.\] + En comparent avec (\ref{green:eq4.1}) on peut voir que + \[\lVert S_Nf-\pi(f)\rVert\leq \frac2N\lVert g\rVert+\varepsilon.\] + Comme $\varepsilon>0$ était arbitraire, le théorème est démontré. +\end{proof} + +Nous remarquons que le théorèmes \ref{thm:ergodique-moyenne} et +\ref{thm:moyenne} sont des conséquences faciles de ce dernier +théorème. + +\section{Le théorème ergodique presque partout} + +Les théorème ergodiques ponctuels capturent l'essence de la théorie +ergodique. Nous allons donner une preuve plus ``détaillée'' que +d'habitude. + +\begin{theoreme}[Théorème ergodique de Birkhoff] + \label{thm-ergodique-simple} + Soit $(X,\mu,T)$ un système dynamique mesuré et soit $f\in + L^1(X)$. Soit $\mathcal{F}_0$ la tribu des ensembles $T$ invariants + et écrivons $\pi\colon L^1(X)\to L^1(X)$ pour l'opérateur de + l'espérance conditionnelle $f\mapsto \mathbb{E}(f\vert + \mathcal{F}_0)$. Alors $S_Nf\to\pi(f)$ converge simplement presque + partout. En particulière, si $T$ est ergodique les moyennes + temporelle $S_Nf$ converge simplement vers les moyennes de l'espace + $\overline{f}=\int f\mathrm{d}\mu$ presque partout. +\end{theoreme} + +L'ingrédient clé est un résultat appelé le théorème ergodique maximal. +Pour tout entier $L\geq1$ on écrit $S^*_Lf(x):=\max_{M\leq + L}\frac{1}{M}\sum_{m=0}^{M-1}f(T^mx)$. Soit +$S^*f(x):=\sup_LS^*_Lf(x)$. Dans le jargon de l'analyse, le théorème +ergodique maximal est l'affirmation que l'opérateur $S^*$ satisfait à +une inégalité de type (1,1) faible. + +\begin{proposition}[Théorème ergodique maximal] + \label{thm-ergodique-max} + Soit $(X,\mu,T)$ un + système dynamique mesuré et soit $\lambda>0$. Alors $\mu\{x\colon + S^*f(x)\geq\lambda\}\leq 4\lVert f\rVert_1/\lambda$. +\end{proposition} + +\begin{proof} + Nous appliquons l'inégalité maximale de Hardy et Littlewood aux + fonctions $F\colon \mathbb{Z}\to\mathbb{R}$. Étant donné une telle + fonction, définissons la fonction maximal $F^*$ par + \[ F^*(x):=\sup_{M\geq 1}\frac{1}{M}\sum_{m=0}^{M-1}F(x+m).\] +\end{proof} + +L'inégalité maximale de Hardy et Littlewood dit que l'opérateur +maximal $F\mapsto F^*$ est de type $(1,1)$ faible. Nous remarquons +qu'il est possible de généraliser ce théorème de nombreuses manières +différentes, et il existe une branche entière de l'analyse consacrée à +l'étude de tels théorèmes. Dans ce cas particulier, cependant, la +preuve est assez simple. + +\begin{theoreme}[Inégalité maximale de Hardy et LIttlewood pour la + ligne] Soit $\lambda>0$. Alors on a $\#\{x\colon + F^*(x)\geq\lambda\}\leq 4\lVert + F\rVert_{\ell^1(\mathbb{Z}}/\lambda$. +\end{theoreme} + +\begin{proof} + Soit $A\subseteq\mathbb{Z}$ l'ensemble de tout $x$ tel que + $F^*(x)\geq\lambda$. Alors nous associons à tout $x\in A$ un entier + $M=M(x)\geq1$ tel que + $\frac{1}{M}\sum_{m=0}^{M-1}F(x+m)\geq\lambda/2$. Posons + $I_x:=\{x,\ldots, x+M-1\}$; donc $F$ est en moyenne au moins + $\lambda/2$ à tout élément de $I_x$. + + L'affirmation est la suivante qu'il existe un ensemble $A'\subseteq + A$ tel que les intervalles $I_x$ avec $x\in A'$ sont disjoints, et + tel que $\sum_{x\in A'}\lvert + I_x\rvert\geq\frac12\lvert\bigcup_{x\in A}I_x\rvert$. Une fois ceci + prouvé, nous avons + \[\lVert F\rVert_{\ell^1(\mathbb{Z})} + \geq\frac\lambda2\sum_{x\in A'}\lvert I_x\rvert + \geq\frac\lambda4\lvert\bigcup_{x\in A}I_x\rvert + \geq\frac\lambda4\lvert A\rvert,\] + ce qui est le résultat que nous revendiquons. + + Il reste à démontrer l'affirmation. Tout d'abord, passons à une + sous-collection minimal $\{ I_x\colon x\in A_0\}$ avec la propriété + que $\bigcup_{x\in A_0}I_x=\bigcup_{x\in A}I_x$. Par une simple + inspection, cette sous-collection a la propriété qu'aucun point $y$ + ne se trouve dans trois des $I_x$. En étiquetant les intervalles + comme $I_j:=\{a_j,\ldots, b_j\}$ avec $a_1\leq a_2\leq \cdots a_k$ + on peut voir que $b_1\leq a_3, b_2\leq a_4,\ldots b_{k-2}\leq + a_k$. Alors les deux collections $I_1\cup I_3\cup\ldots$ et $I_2\cup + I_4\cup \ldots$ sont constitués de intervalles disjoints. Si l'on + passe à celle de ces deux collections qui a la plus grande mesure + total, on a le résultat demandé. +\end{proof} + +\begin{proof}[Démonstration du théorème \ref{thm-ergodique-max}] + Soit $\lambda>0$, soient $N\gg L\geq1$ des entiers et soit $x\in X$ + fixé. Nous appliquons l'inégalité de Hardy et Littlewood maximal à + une version tronquée de la fonction $n\mapsto f(T^nx)$, plus + précisément, + \[F(n):=\begin{cases}f(T^nx) &\text{si }0\leq n<N+L\text{ et}\\ + 0 &\text{sinon.} + \end{cases}\] + On obtient l'inégalité + \[\lvert\left\{n\in\{1,\ldots N\}\colon + \max_{M\leq L}\frac1M \sum_{m=0}^{M-1} + f(T^{n+m}x)\geq\lambda\right\}\rvert + \leq\frac{4\sum_{0\leq j<N+L}\lvert f(T^jx)\rvert}{\lambda}.\] + En intégrant sur $x\in X$ et en utilisant l'invariance de $\mu$ par + $T$ on obtient + \[\int_{X}\lvert\left\{n\in\{1,\ldots N\}\colon + \max_{M\leq L}\frac1M \sum_{m=0}^{M-1} + f(T^{n+m}x)\geq\lambda\right\}\rvert \leq\frac{C(N+L)\lVert + f\rVert_1}{\lambda}.\] Maintenant, la fonction indicatrice de + l'événement + $\max_{M\leq L}\frac1M \sum_{m=0}^{M-1} f(T^{n+m}x)\geq\lambda$ est + une fonction mesurable de $n$ et $x$ sur l'espace + $\ZZ\times\NN$. Par le théorème de Fibini nous pouvons échanger + l'ordre pour obtenir + \[\sum_{n=1}^N\mu\left(\left\{x\in X\colon + \max_{M\leq L}\frac1M \sum_{m=0}^{M-1} + f(T^{n+m}x)\geq\lambda\right\}\right) + \leq\frac{C(N+L)\lVert f\rVert_1}{\lambda}.\] + Encore par l'invariance de $\mu$ par $T$ nous obtenons + \[N\mu\left(\left\{x\in X\colon + \max_{M\leq L}\frac1M \sum_{m=0}^{M-1} + f(T^{m}x)\geq\lambda\right\}\right) + \leq\frac{C(N+L)\lVert f\rVert_1}{\lambda}.\] + Autrement dit on a + \[\mu\left(\left\{x\in X\colon + S_L^*f(x)\geq\lambda\right\}\right) + \leq\frac{C(N+L)\lVert f\rVert_1}{N\lambda}.\] + En laissant $L$ et $N$ tends vers l'infinie, avec $N$ plus vite que + $L$, on obtient + \[\mu\left(\left\{x\in X\colon + S^*f(x)\geq\lambda\right\}\right) + \leq\frac{C\lVert f\rVert_1}{\lambda}\] + qui est le théorème avec une constante plus faible que demandée. +\end{proof} + +\begin{proof}[Démonstration du théorème \ref{thm-ergodique-simple}] + Il suffit de démontrer pour tout $\varepsilon>0$ que + \[ E_\varepsilon:=\{x\in X\colon \limsup_{N\to\infty} \lvert + S_Nf(x)-\pi(f)\rvert\geq\varepsilon\}\] + a la mesure zéro. + + Soit $\delta>0$. Dans la démonstration du théorème de von Neumann + (théorème \ref{thm:ergodique-moyenne}) nous avons décomposé un + fonction $f\in L^2(X)$ comme + \begin{gather}\label{green:eq5.1} + f=\pi(f)+\partial g+h, + \end{gather} + où $g\in L^2(X)$ et $\lVert h\rVert_2\leq \delta$. + + Dans le théorème ergodic de Birkhoff, nous opérons sous l'hypothèse + plus faible que $f\in L^1(X)$, et pour traiter cette hypothèse, nous + devons remplacer (\ref{green:eq5.1}) par une décomposition + légèrement plus raffinée. Mais $L^2(X)$ est dense dans $L^1(X)$ (en + effet, $\mathcal{C}(X)$ est dense dans $L^1(X)$), et alors pour tout + $\delta>0$ on peut trouver $f_0\in L^2(X)$ avec $\lVert + f-f_0\rVert\leq\delta$. En appliquant (\ref{green:eq5.1}) à cette + fonction on obtient la décomposition + \[ f_0=\pi(f_0)+\partial g_0+h_0\] + avec $\lVert h_0\rVert_2\leq \delta$. Alors + \[ f=\pi(f)+\partial g_0+h_1,\] + où $h_1:=h_0+(f-f_0)-(\pi(f)-\pi(f_0))$. Notons que $\lVert + h_1\rVert_1\leq \lVert h_0\rVert_1+2\delta\leq 3\delta$. + + C'est important d'avoir un peu de contrôle sur $g_0$, qui est + maintenant dans $L^2(X)$. Depuis $L^\infty(X)$ est dense dans + $L^2(X)$, il existe $g\in L^\infty(X)$ avec $\lVert + g-g_0\rVert_2\leq\delta$. Alors notre inégalité devient + \[f=\pi(f)+\partial g+h,\] + où $h=h_1+\partial(g_0-g)$; donc $\lVert h\rVert_1\leq + 3\delta+\lVert\partial(g-g_0)\rVert_2^{1/2}\leq + 3\delta+(2\delta)^{1/2}$. En choisissant $\delta$ nous pouvons + supposer que $\lVert h\rVert_1\leq \delta$. + + Nous avons clairement, pour tout $x\in X$, + \[\lvert S_Nf(x)-\pi(f)\rvert + \leq \lvert S_N(\partial g)(x)\rvert + \lvert S_Nh(x)\rvert.\] + Le premier terme à droite peut être analysé comme précédemment ; la + somme se télescope et on obtient + \[\lvert S_N(\partial g)(x)\rvert + =\lvert\frac1N \left(g(x)-g(T^{n-1}(x))\right)\rvert,\] + qui tends vers zéro pour tout $x$ puisque $g\in L^\infty(X)$. Donc + $E_\varepsilon$ est contenu, sauf un ensemble de mesure zéro, + dans l'ensemble + \[\left\{x\in X\colon \limsup_{N\to\infty}\lvert + S_Nh(x)\rvert\geq\varepsilon\right\}.\] + Ceci est contenu dans l'ensemble + \[\left\{x\in X\colon \lvert + S^*h(x)\rvert\geq\varepsilon\right\}\] + qui, par le théorème ergodique maximale (théorème + \ref{thm-ergodique-max}) et la borne pour $\lVert h\rVert_1$ a une + mesure plus petit que $4\delta/\varepsilon$. Puisque $\delta$ était + arbitraire on a $\mu(E_\varepsilon)=0$ comme demandé. +\end{proof} + +% --------------------------------------------------------------------------- + \chapter{Le théorème de Furstenberg et Sárközy} Dans ce chapitre nous allons démontrer le résultat suivant de Furstenberg et @@ -1032,9 +1368,10 @@ Sárközy. C'est peut-être une application très simples des idées de la théo ergodique aux questions de la théorie combinatoire de nombres. \begin{theoreme} - Soit $\delta>0$. Il existe $N_0(\delta)$ tel que si $N\geq N_0(\delta)$ et si - $A\subset\{1,\ldots,N\}$ est tel que $\left| A\right|\geq \delta N$, alors ils existent - deux éléments $a,a'\in A$ dont la différence est un carré. + Soit $\delta>0$. Il existe $N_0(\delta)$ tel que si + $N\geq N_0(\delta)$ et si $A\subset\{1,\ldots,N\}$ est tel que + $\left| A\right|\geq \delta N$, alors ils existent deux éléments + $a,a'\in A$ dont la différence est un carré. \end{theoreme} \section{Le théorème spectral de Bochner et Herglotz} -- GitLab