From 1e01a568d72fb45e77576a036064d6862f31afa2 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: Manfred Madritsch <made@gmx.at> Date: Fri, 25 Mar 2022 19:43:23 +0100 Subject: [PATCH] Pomodoro 5.4 --- polycopie.tex | 117 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++--- 1 file changed, 112 insertions(+), 5 deletions(-) diff --git a/polycopie.tex b/polycopie.tex index 0d77ca9..5a1ddc3 100644 --- a/polycopie.tex +++ b/polycopie.tex @@ -1041,7 +1041,7 @@ convergence dans $L^2$. La convergence simple est ``moralement'' la notation la plus forte de toutes. S'il existe une fonction $g\in L^p(X)$ telle que $\lvert f_n(x)\rvert,\lvert f(x)\rvert\leq g(x)$ pour presque tout $x$, alors -par le théorème de convergence dominé on obtient que $f_n\to f$ dans +par le théorème de convergence dominée on obtient que $f_n\to f$ dans $L^p$. En effet, par convexité on a \[ \lvert f_n(x)-f(x)\rvert^p\leq 2^{p-1}\left(\lvert f_n(x)\rvert^p+\lvert f(x)\rvert^p\right)\leq 2^pg(x)^p,\] @@ -1141,7 +1141,7 @@ d'effort on peut traiter le cas des contractions par rapport aux isométries. \begin{theoreme}[Théorème moyenne ergodique de von Neumann pour les - espaces de Hilbert] + espaces de Hilbert]\label{thm:von-Neumann-for-Hilbert-spaces} Soit $H$ un espace de Hilbert, et soir $U\colon H\to H$ une contraction (c.-a.-d. $\lVert U f\rVert\leq \lVert f\rVert$ pour tout $f\in H$). Soit $I\subseteq H$ le sous-espace des éléments @@ -1876,6 +1876,48 @@ entier $n\geq1$ tel que \[ \langle U^{n^2}f,f\rangle >0,\] où $f:=1_S$ (). +Avant nous traitons les somme exponentielles avec le carrés. En effet on peut +démontrer la même pour des polynômes ayant au moins un coefficient irrationnel. + +\begin{lemme}[Théorème de Weyl]\label{lem:weyls-theorem} + Soit $\alpha\in\RR\setminus \QQ$ un irrationnel. Alors + \[\lim_{N\to+\infty} \frac1N\sum_{n=1}^N e^{2\pi i \alpha n^2} = 0.\] +\end{lemme} + +\begin{proof} + Nous écrivons $e(x):=\exp(2\pi i x)$. Alors on a + \begin{align*} + \lvert \sum_{n=1}^N e(\alpha n^2)\rvert^2 + &=\sum_{n_1=1}^N\sum_{n_2=1}^N e(\alpha(n_1^2-n_2^2)) + =\sum_{n=1}^N \sum_{k=1-n}^{N-n} e(\alpha((n+k)^2-n^2))\\ + &=\sum_{k=-N+1}^{N-1} e(\alpha k^2)\sum_{n\in I(k)} e(\alpha 2kn), + \end{align*} + où + \[ I(k) = [1-k, N-k] \cap [1, N]\cap \ZZ.\] + + Fixons $k$ et notons que $I(k)=[N_1+1, N_2]\cap \ZZ$ est toujours un + intervalle. On obtient pour la somme à l'intérieur + \begin{align*} + \lvert \sum_{n=N_1+1}^{N_2}e(\alpha 2kn)\rvert + &=\lvert e(\alpha2k(N_1+1))\sum_{n=1}^{N_2-N_1-1}e(\alpha2k)^n\rvert + =\lvert \frac{e(\alpha2k(N_2-N_1))-1}{e(\alpha2k)-1}\rvert\\ + &\leq\frac{2}{\lvert e(\alpha2k)-1\rvert} + =\frac{2}{\lvert e(\alpha k)-e(-\alpha k)\rvert}\\ + &=\frac{2}{\lvert 2i\sin(\pi \alpha k)\rvert} + =\frac{1}{\lvert \sin(\pi \alpha k)\rvert}\\ + &=\frac{1}{\lvert \sin(\pi \lVert\alpha k\rVert)\rvert} + \leq\frac{1}{2\lVert\alpha k\rVert}. + \end{align*} + + En mettant tout ensemble, on obtient + \begin{align*} + \lvert \frac{1}{N}\sum_{n=1}^N e(\alpha n^2)\rvert^2 + &\leq \frac1{N^2}\sum_{k=-N+1}^{N-1}\lvert \sum_{n\in I(k)} e(\alpha 2kn)\rvert\\ + &\leq\frac1{N^2}\sum_{k=-N+1}^{N-1}\frac{1}{2\lVert\alpha k\rVert}\xrightarrow[N\to+\infty]{}0, + \end{align*} + parce que $\alpha k\not \in \ZZ$ pour tout $k\in \ZZ$. +\end{proof} + Dans un espace de Hilbert $L^2(X)$ nous identifions le sous-espace $L^2_{\text{rat}}(X)$ engendré par les valeurs propres de $U$ de valeur propre $e^{2\pi i\theta}$, $\theta\in \QQ$, bien que son complement orthogonal @@ -1883,7 +1925,7 @@ $L^{2\perp}_{\text{rat}}(X)$. D'après la théorie standard des espaces de Hilbe $L^2(X)$ est la somme directe de ces deux espaces. Alors nous pouvons decomposer $f$ comme $f_{\text{rat}}+f_{\text{rat}}^{\perp}$. -\begin{lemme} +\begin{lemme}\label{lem:green3.1} Soit $Q\geq1$ un entier positif. Alors \[ \lim_{N\to\infty}\frac1N\sum_{n=1}^N U^{Q^2n^2}x=0\] pour tout $x\in L_{\text{rat}}^{2\perp}$. @@ -1896,14 +1938,79 @@ decomposer $f$ comme $f_{\text{rat}}+f_{\text{rat}}^{\perp}$. dont l'éxistence est garantie par théorème \ref{thm:spectral-theorem} (notons qu'on ne suppose pas que $\lVert x\rVert=1$; donc cela n'est pas forcement une mesure de probabilité. - + + \medskip \textit{Affirmation} : La mesure $\mu$ donne la mesure $0$ à tout point - rationnels $\theta$. + rationnel $\theta$. \begin{proof}[Démonstration de l'affirmation] + Supposons qu'il existe $\theta\in\QQ$ avec $\mu(\{\theta\})$. Considérons + l'opérateur $\widetilde{U}:=e^{2\pi i \theta}U$. Il est une contraction sur + $H$. Alors par le théorème de von Neumann dans l'éspace de Hilbert (théorème + \ref{thm:von-Neumann-for-Hilbert-spaces}) on a + \[\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}\widetilde{U}^nx\xrightarrow[N\to+\infty]{} y\in H.\] + C'est facile à voir que $y$ est invariant par $\widetilde{U}$ et donc $y$ + est un vecteur propre de $U$ avec valeur propre $e^{-2\pi i \theta}$. Mais + \begin{align*} + \langle y,x\rangle + &= \lim_{N\to+\infty} \frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1} e^{2\pi i n\theta}\langle U^nx,x\rangle\\ + &= \lim_{N\to+\infty} \frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1} e^{2\pi i n\theta}\int_0^1e^{-2\pi i n \phi}\mathrm{d}\mu(\phi)\\ + &= \int_0^1\lim_{N\to+\infty} \frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1} e^{2\pi i n (\theta-\phi)}\mathrm{d}\mu(\phi)\\ + &=\mu(\{\theta\}), + \end{align*} + où l'échange de la limit avec l'intégral est justifié par le théorème de + convergence dominée. Puisque cela est positive nous n'avons pas $y=0$ presque + partout en contradiction avec le fait que $U$ n'a pas de valeurs propres de + la form $e^{2\pi i \theta}$ avec $\theta\in \QQ$. Cela montre l'affirmation. \end{proof} + + Maintenant + \begin{align*} + \lVert \frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N} U^{Q^2n^2}x\rVert^2 + &=\frac{1}{N^2}\sum_{n_1=1}^N\sum_{n_2=1}^N \langle U^{Q^2(n_1^2-n_2^2)}x,x\rangle\\ + &=\int_0^1\frac{1}{N^2}\sum_{n_1=1}^N\sum_{n_2=1}^N e^{-2\pi i Q^2(n_1^2-n_2^2)\theta}\mathrm{d}\mu(\theta)\\ + &=\int_0^1\lvert \frac{1}{N}\sum_{n=1}^Ne^{-2\pi i Q^2n^2\theta}\rvert\mathrm{d}\mu(\theta). + \end{align*} + Nous pouvons diviser la dernière somme en deux parties : + \[ + \sum_{\theta\in\QQ}\lvert \frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}e^{-2\pi i Q^2n^2\theta}\rvert\mu({\theta}) + +\int_0^1\lvert \frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}e^{-2\pi i Q^2n^2\theta}\rvert 1_{\theta\not\in\QQ}\mathrm{d}\mu(\theta). + \] + Les deux parties tendent vers zéro pour $N\to+\infty$ : la première à cause + d'affirmation en haut et la deuxième par le théorème de Weyl (lemme \ref{lem:weyls-theorem}) et le théorème de + convergence dominée. \end{proof} + Alors on a $\langle f_{\text{rat}},1\rangle = \langle f,1\rangle>0$, et donc + $f_{\text{rat}}$ ne s'annule pas presque partout. Il en résulte que $\langle + f,f_{\text{rat}}\rangle = \langle f_{\text{rat}},f_{\text{rat}}\rangle \neq + 0$. + + Soit $\varepsilon >0$. Alors on peut trouver une combinaison linéaire finie + $\widetilde{f}_{\text{rat}}=\sum_{\theta}c_\theta x_\theta$, où $U x_\theta = + e^{2\pi i \theta} x_{\theta}$ et les $\theta$ tous sont rationnels, tel que + $\lVert f_{\text{rat}}-\widetilde{f}_{\text{rat}}\rVert<\varepsilon$. Soit $Q$ + un dénominateur commun de tous les $\theta$. Alors clairement + $U^{Q^2n^2}\widetilde{f}_{\text{rat}}=\widetilde{f}_{\text{rat}}$ pour tout + entier $n\geq 1$. En particulière, + \[ \frac{1}{N}\sum_{n=1}^N + U^{Q^2n^2}\widetilde{f}_{\text{rat}}=\widetilde{f}_{\text{rat}}\] + et donc + \[\lVert \frac{1}{N}\sum_{n=1}^N + U^{Q^2n^2}f_{\text{rat}}-f_{\text{rat}}\rVert < 2\varepsilon.\] + Mais il s'ensuit du lemme \ref{lem:green3.1} que + \[ \lim_{N\to+\infty} \frac{1}{N}\sum_{n=1}^N + U^{Q^2n^2}f_{\text{rat}}^{\perp}=0,\] + et donc on voit que + \[ \lim_{N\to+\infty}\lVert\frac{1}{N}\sum_{n=1}^N + U^{Q^2n^2}f-f_{\text{rat}}\rVert<2\varepsilon.\] + En prenant des produits avec $f$ et en rappelant notre hypothèse $\langle + U^{m^2}f,f\rangle =0$ pour tout $m\geq1$, on obtient que + \[ \lvert\langle f_{\text{rat}},f\rangle \rvert < 2\varepsilon \lVert + f\rVert.\] + Puisque $\varepsilon$ était arbitraire nous concluons que $\langle + f_{\text{rat}}, f\rangle=0$ en contradiction avec ce qu'on a montré avant. + % --------------------------------------------------------------------------- % \chapter{Le théorème de Roth} -- GitLab