From 1e01a568d72fb45e77576a036064d6862f31afa2 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Manfred Madritsch <made@gmx.at>
Date: Fri, 25 Mar 2022 19:43:23 +0100
Subject: [PATCH] Pomodoro 5.4

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 polycopie.tex | 117 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++---
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@@ -1041,7 +1041,7 @@ convergence dans $L^2$.
 La convergence simple est ``moralement'' la notation la plus forte de
 toutes. S'il existe une fonction $g\in L^p(X)$ telle que $\lvert
 f_n(x)\rvert,\lvert f(x)\rvert\leq g(x)$ pour presque tout $x$, alors
-par le théorème de convergence dominé on obtient que $f_n\to f$ dans
+par le théorème de convergence dominée on obtient que $f_n\to f$ dans
 $L^p$. En effet, par convexité on a
 \[ \lvert f_n(x)-f(x)\rvert^p\leq 2^{p-1}\left(\lvert
     f_n(x)\rvert^p+\lvert f(x)\rvert^p\right)\leq 2^pg(x)^p,\]
@@ -1141,7 +1141,7 @@ d'effort on peut traiter le cas des contractions par rapport aux
 isométries.
 
 \begin{theoreme}[Théorème moyenne ergodique de von Neumann pour les
-  espaces de Hilbert]
+  espaces de Hilbert]\label{thm:von-Neumann-for-Hilbert-spaces}
   Soit $H$ un espace de Hilbert, et soir $U\colon H\to H$ une
   contraction (c.-a.-d. $\lVert U f\rVert\leq \lVert f\rVert$ pour tout
   $f\in H$). Soit $I\subseteq H$ le sous-espace des éléments
@@ -1876,6 +1876,48 @@ entier $n\geq1$ tel que
 \[ \langle U^{n^2}f,f\rangle >0,\]
 où $f:=1_S$ ().
 
+Avant nous traitons les somme exponentielles avec le carrés. En effet on peut
+démontrer la même pour des polynômes ayant au moins un coefficient irrationnel.
+
+\begin{lemme}[Théorème de Weyl]\label{lem:weyls-theorem}
+  Soit $\alpha\in\RR\setminus \QQ$ un irrationnel. Alors
+  \[\lim_{N\to+\infty} \frac1N\sum_{n=1}^N e^{2\pi i \alpha n^2} = 0.\]
+\end{lemme}
+
+\begin{proof}
+  Nous écrivons $e(x):=\exp(2\pi i x)$. Alors on a
+  \begin{align*}
+    \lvert \sum_{n=1}^N e(\alpha n^2)\rvert^2
+    &=\sum_{n_1=1}^N\sum_{n_2=1}^N e(\alpha(n_1^2-n_2^2))
+    =\sum_{n=1}^N \sum_{k=1-n}^{N-n} e(\alpha((n+k)^2-n^2))\\
+    &=\sum_{k=-N+1}^{N-1} e(\alpha k^2)\sum_{n\in I(k)} e(\alpha 2kn),
+  \end{align*}
+  où
+  \[ I(k) = [1-k, N-k] \cap [1, N]\cap \ZZ.\]
+
+  Fixons $k$ et notons que $I(k)=[N_1+1, N_2]\cap \ZZ$ est toujours un
+  intervalle. On obtient pour la somme à l'intérieur
+  \begin{align*}
+    \lvert \sum_{n=N_1+1}^{N_2}e(\alpha 2kn)\rvert
+    &=\lvert e(\alpha2k(N_1+1))\sum_{n=1}^{N_2-N_1-1}e(\alpha2k)^n\rvert
+    =\lvert \frac{e(\alpha2k(N_2-N_1))-1}{e(\alpha2k)-1}\rvert\\
+    &\leq\frac{2}{\lvert e(\alpha2k)-1\rvert}
+    =\frac{2}{\lvert e(\alpha k)-e(-\alpha k)\rvert}\\
+    &=\frac{2}{\lvert 2i\sin(\pi \alpha k)\rvert}
+    =\frac{1}{\lvert \sin(\pi \alpha k)\rvert}\\
+    &=\frac{1}{\lvert \sin(\pi \lVert\alpha k\rVert)\rvert}
+    \leq\frac{1}{2\lVert\alpha k\rVert}.
+  \end{align*}
+
+  En mettant tout ensemble, on obtient
+  \begin{align*}
+    \lvert \frac{1}{N}\sum_{n=1}^N e(\alpha n^2)\rvert^2
+    &\leq \frac1{N^2}\sum_{k=-N+1}^{N-1}\lvert \sum_{n\in I(k)} e(\alpha 2kn)\rvert\\
+    &\leq\frac1{N^2}\sum_{k=-N+1}^{N-1}\frac{1}{2\lVert\alpha k\rVert}\xrightarrow[N\to+\infty]{}0,
+  \end{align*}
+  parce que $\alpha k\not \in \ZZ$ pour tout $k\in \ZZ$.
+\end{proof}
+
 Dans un espace de Hilbert $L^2(X)$ nous identifions le sous-espace
 $L^2_{\text{rat}}(X)$ engendré par les valeurs propres de $U$ de valeur propre
 $e^{2\pi i\theta}$, $\theta\in \QQ$, bien que son complement orthogonal
@@ -1883,7 +1925,7 @@ $L^{2\perp}_{\text{rat}}(X)$. D'après la théorie standard des espaces de Hilbe
 $L^2(X)$ est la somme directe de ces deux espaces. Alors nous pouvons
 decomposer $f$ comme $f_{\text{rat}}+f_{\text{rat}}^{\perp}$.
 
-\begin{lemme}
+\begin{lemme}\label{lem:green3.1}
   Soit $Q\geq1$ un entier positif. Alors
   \[ \lim_{N\to\infty}\frac1N\sum_{n=1}^N U^{Q^2n^2}x=0\]
   pour tout $x\in L_{\text{rat}}^{2\perp}$.
@@ -1896,14 +1938,79 @@ decomposer $f$ comme $f_{\text{rat}}+f_{\text{rat}}^{\perp}$.
   dont l'éxistence est garantie par théorème \ref{thm:spectral-theorem} (notons
   qu'on ne suppose pas que $\lVert x\rVert=1$; donc cela n'est pas forcement une
   mesure de probabilité.
-
+  
+  \medskip
   \textit{Affirmation} : La mesure $\mu$ donne la mesure $0$ à tout point
-  rationnels $\theta$.
+  rationnel $\theta$.
 
   \begin{proof}[Démonstration de l'affirmation]
+    Supposons qu'il existe $\theta\in\QQ$ avec $\mu(\{\theta\})$. Considérons
+    l'opérateur $\widetilde{U}:=e^{2\pi i \theta}U$. Il est une contraction sur
+    $H$. Alors par le théorème de von Neumann dans l'éspace de Hilbert (théorème
+    \ref{thm:von-Neumann-for-Hilbert-spaces}) on a
+    \[\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}\widetilde{U}^nx\xrightarrow[N\to+\infty]{} y\in H.\]
+    C'est facile à voir que $y$ est invariant par $\widetilde{U}$ et donc $y$
+    est un vecteur propre de $U$ avec valeur propre $e^{-2\pi i \theta}$. Mais
+    \begin{align*}
+      \langle y,x\rangle
+      &= \lim_{N\to+\infty} \frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1} e^{2\pi i n\theta}\langle U^nx,x\rangle\\
+      &= \lim_{N\to+\infty} \frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1} e^{2\pi i n\theta}\int_0^1e^{-2\pi i n \phi}\mathrm{d}\mu(\phi)\\
+      &= \int_0^1\lim_{N\to+\infty} \frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1} e^{2\pi i n (\theta-\phi)}\mathrm{d}\mu(\phi)\\
+      &=\mu(\{\theta\}),
+    \end{align*}
+    où l'échange de la limit avec l'intégral est justifié par le théorème de
+    convergence dominée. Puisque cela est positive nous n'avons pas $y=0$ presque
+    partout en contradiction avec le fait que $U$ n'a pas de valeurs propres de
+    la form $e^{2\pi i \theta}$ avec $\theta\in \QQ$. Cela montre l'affirmation.
   \end{proof}
+
+  Maintenant
+  \begin{align*}
+    \lVert \frac{1}{N}\sum_{n=1}^{N} U^{Q^2n^2}x\rVert^2
+    &=\frac{1}{N^2}\sum_{n_1=1}^N\sum_{n_2=1}^N \langle U^{Q^2(n_1^2-n_2^2)}x,x\rangle\\
+    &=\int_0^1\frac{1}{N^2}\sum_{n_1=1}^N\sum_{n_2=1}^N e^{-2\pi i Q^2(n_1^2-n_2^2)\theta}\mathrm{d}\mu(\theta)\\
+    &=\int_0^1\lvert \frac{1}{N}\sum_{n=1}^Ne^{-2\pi i Q^2n^2\theta}\rvert\mathrm{d}\mu(\theta).
+  \end{align*}
+  Nous pouvons diviser la dernière somme en deux parties :
+  \[
+    \sum_{\theta\in\QQ}\lvert \frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}e^{-2\pi i Q^2n^2\theta}\rvert\mu({\theta})
+    +\int_0^1\lvert \frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}e^{-2\pi i Q^2n^2\theta}\rvert 1_{\theta\not\in\QQ}\mathrm{d}\mu(\theta).
+  \]
+  Les deux parties tendent vers zéro pour $N\to+\infty$ : la première à cause
+  d'affirmation en haut et la deuxième par le théorème de Weyl (lemme \ref{lem:weyls-theorem}) et le théorème de
+  convergence dominée.
 \end{proof}
 
+  Alors on a $\langle f_{\text{rat}},1\rangle = \langle f,1\rangle>0$, et donc
+  $f_{\text{rat}}$ ne s'annule pas presque partout. Il en résulte que $\langle
+  f,f_{\text{rat}}\rangle = \langle f_{\text{rat}},f_{\text{rat}}\rangle \neq
+  0$.
+  
+  Soit $\varepsilon >0$. Alors on peut trouver une combinaison linéaire finie
+  $\widetilde{f}_{\text{rat}}=\sum_{\theta}c_\theta x_\theta$, où $U x_\theta =
+  e^{2\pi i \theta} x_{\theta}$ et les $\theta$ tous sont rationnels, tel que
+  $\lVert f_{\text{rat}}-\widetilde{f}_{\text{rat}}\rVert<\varepsilon$. Soit $Q$
+  un dénominateur commun de tous les $\theta$. Alors clairement
+  $U^{Q^2n^2}\widetilde{f}_{\text{rat}}=\widetilde{f}_{\text{rat}}$ pour tout
+  entier $n\geq 1$. En particulière,
+  \[ \frac{1}{N}\sum_{n=1}^N
+  U^{Q^2n^2}\widetilde{f}_{\text{rat}}=\widetilde{f}_{\text{rat}}\]
+  et donc
+  \[\lVert  \frac{1}{N}\sum_{n=1}^N
+  U^{Q^2n^2}f_{\text{rat}}-f_{\text{rat}}\rVert < 2\varepsilon.\]
+  Mais il s'ensuit du lemme \ref{lem:green3.1} que
+  \[ \lim_{N\to+\infty} \frac{1}{N}\sum_{n=1}^N
+  U^{Q^2n^2}f_{\text{rat}}^{\perp}=0,\]
+  et donc on voit que
+  \[ \lim_{N\to+\infty}\lVert\frac{1}{N}\sum_{n=1}^N
+  U^{Q^2n^2}f-f_{\text{rat}}\rVert<2\varepsilon.\]
+  En prenant des produits avec $f$ et en rappelant notre hypothèse $\langle
+  U^{m^2}f,f\rangle =0$ pour tout $m\geq1$, on obtient que
+  \[ \lvert\langle f_{\text{rat}},f\rangle \rvert < 2\varepsilon \lVert
+  f\rVert.\]
+  Puisque $\varepsilon$ était arbitraire nous concluons que $\langle
+  f_{\text{rat}}, f\rangle=0$ en contradiction avec ce qu'on a montré avant.
+
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 % \chapter{Le théorème de Roth}
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