From 04c55f7d177c63d2b2a464b1a9cc880729f0de6a Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Manfred Madritsch <made@gmx.at>
Date: Tue, 29 Mar 2022 15:11:25 +0200
Subject: [PATCH] more typos
---
polycopie.tex | 44 ++++++++++++++++++++++++--------------------
1 file changed, 24 insertions(+), 20 deletions(-)
diff --git a/polycopie.tex b/polycopie.tex
index 98dbf19..d2539b6 100644
--- a/polycopie.tex
+++ b/polycopie.tex
@@ -1405,7 +1405,8 @@ preuve est assez simple.
Le premier terme à droite peut être analysé comme précédemment ; la
somme se télescope et on obtient
\[\lvert S_N(\partial g)(x)\rvert
- =\lvert\frac1N \left(g(x)-g(T^{N}(x))\right)\rvert,\]
+ =\lvert\frac1N \sum_{n=0}^{N-1}\left(g(T^nx)-g(T^{n+1}x)\right)\rvert
+ =\lvert\frac1N \left(g(x)-g(T^{N}x)\right)\rvert,\]
qui tends vers zéro pour tout $x$ puisque $g\in L^\infty(X)$. Donc
$E_\varepsilon$ est contenu, sauf un ensemble de mesure zéro,
dans l'ensemble
@@ -1489,7 +1490,7 @@ naturels qui est à ``lacunes bornées''.
Soit $(X,T,\mu)$ un système dynamique mesuré et soit
$\varepsilon>0$. Soit $A\subseteq X$ un ensemble quelconque avec
$\mu(A)>0$. Alors l'ensemble
- \[\{n\in \NN^*\colon \mu(A\cap T^nA)\geq\mu(A)^2-\varepsilon\}\]
+ \[\{n\in \NN^*\colon \mu(A\cap T^{-n}A)\geq\mu(A)^2-\varepsilon\}\]
est syndétique.
\end{theoreme}
@@ -1497,38 +1498,41 @@ naturels qui est à ``lacunes bornées''.
Soit $I\subseteq L^2(X)$ l'espace des fonctions invariantes par $T$,
et soit $\pi\colon L^2(X)\to I$ la projection associée. Par les
propriétés basiques des espérances conditionnelles on a que
- $\pi(1_A\circ T^n)=\pi(1_A)$ pour tout $n$. On en déduit que
+ $\pi(\mathbbm{1}_A\circ T^n)=\pi(\mathbbm{1}_A)$ pour tout $n$. On en déduit que
\begin{align*}
\lvert \frac1N \sum_{n=M}^{M+N-1}\mu(A\cap T^{-n}A)-\langle
- 1_A,\pi(1_A)\rangle\rvert
+ \mathbbm{1}_A,\pi(\mathbbm{1}_A)\rangle\rvert
&=\lvert \frac1N \sum_{n=M}^{M+N-1}\langle
- 1_A,1_A\circ T^n-\pi(1_A)\rangle\rvert\\
+ \mathbbm{1}_A,\mathbbm{1}_A\circ T^n-\pi(\mathbbm{1}_A)\rangle\rvert\\
&=\lvert \langle
- 1_A,S_N(1_A\circ T^M)-\pi(1_A)\rangle\rvert\\
+ \mathbbm{1}_A,S_N(\mathbbm{1}_A\circ T^M)-\pi(\mathbbm{1}_A)\rangle\rvert\\
&=\lvert \langle
- 1_A,S_N(1_A\circ T^M)-\pi(1_A\circ T^M)\rangle\rvert\\
+ \mathbbm{1}_A,S_N(\mathbbm{1}_A\circ T^M)-\pi(\mathbbm{1}_A\circ T^M)\rangle\rvert\\
&=\lvert \langle
- 1_{T^MA},S_N1_A-\pi(1_A)\rangle\rvert\\
- &\leq \lVert S_N1_A -\pi(1_A)\rVert_2.
+ 1_{T^MA},S_N\mathbbm{1}_A-\pi(\mathbbm{1}_A)\rangle\rvert\\
+ &\leq \lVert S_N\mathbbm{1}_A -\pi(\mathbbm{1}_A)\rVert_2.
\end{align*}
La quatrième ligne découle de la troisième par les propriétés de
base de l'espérance conditionnelle et la cinquième de la quatrième
par changement de variables. La dernière ligne suit de la précédente
- par l'inégalité de Cachy-Schwarz.
+ par l'inégalité de Cachy-Schwarz. Il ensuit avec le théorème de von Neumann
+ (théorème~\ref{thm:moyenne}) que
+ \[ \lvert \frac1N \sum_{n=M}^{M+N-1}\mu(A\cap T^{-n}A)-\langle
+ \mathbbm{1}_A,\pi(\mathbbm{1}_A)\rangle\rvert\leq \varepsilon \]
+ pour $N\geq N_0(\varepsilon)$ (la borne ne dépends pas de $M$).
Maintenant on a que
- $\langle 1_A-\pi(1_A),\pi(1_A)\rangle = \langle
- 1_A-\pi(1_A),1\rangle =0$. En appliquant l'inégalité de
+ $\langle \mathbbm{1}_A-\pi(\mathbbm{1}_A),\pi(\mathbbm{1}_A)\rangle = \langle
+ \mathbbm{1}_A-\pi(\mathbbm{1}_A),1\rangle =0$. En appliquant l'inégalité de
Cachy-Schwarz on obtient
- \[\langle 1_A,\pi(1_A)\rangle
- =\lVert \pi(1_A)\rVert_2^2
- \geq\langle \pi(1_A),1\rangle^2
- =\langle 1_A,1\rangle^2
- =\mu(A)^2.\]
- Il ensuit avec le théorème de von Neumann \ref{thm:moyenne} que
+ \[\langle \mathbbm{1}_A,\pi(\mathbbm{1}_A)\rangle
+ =\lVert \pi(\mathbbm{1}_A)\rVert_2^2
+ \geq\langle \pi(\mathbbm{1}_A),1\rangle^2
+ =\langle \mathbbm{1}_A,1\rangle^2
+ =\mu(A)^2,\]
+ qui implique
\[ \frac{1}{N}\sum_{n=M}^{M+N-1} \mu(A\cap T^{-n}A)\geq
- \mu(A)^2-\varepsilon\] pour $N\geq N_0(\varepsilon)$
- (la borne ne dépends pas de $M$). En particulier, il existe au moins
+ \mu(A)^2-\varepsilon\] pour $N\geq N_0(\varepsilon)$. En particulier, il existe au moins
un entier $n$ dans chaque intervalle $[M,M+N[$ avec
$\mu(A\cap T^{-n}A)\geq\mu(A)^2-\varepsilon$ pour
$N\geq N_0(\varepsilon)$.
--
GitLab