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@@ -1405,7 +1405,8 @@ preuve est assez simple.
   Le premier terme à droite peut être analysé comme précédemment ; la
   somme se télescope et on obtient
   \[\lvert S_N(\partial g)(x)\rvert
-    =\lvert\frac1N \left(g(x)-g(T^{N}(x))\right)\rvert,\]
+    =\lvert\frac1N \sum_{n=0}^{N-1}\left(g(T^nx)-g(T^{n+1}x)\right)\rvert
+    =\lvert\frac1N \left(g(x)-g(T^{N}x)\right)\rvert,\]
   qui tends vers zéro pour tout $x$ puisque $g\in L^\infty(X)$. Donc
   $E_\varepsilon$ est contenu, sauf un ensemble de mesure zéro,
   dans l'ensemble
@@ -1489,7 +1490,7 @@ naturels qui est à ``lacunes bornées''.
   Soit $(X,T,\mu)$ un système dynamique mesuré et soit
   $\varepsilon>0$. Soit $A\subseteq X$ un ensemble quelconque avec
   $\mu(A)>0$. Alors l'ensemble
-  \[\{n\in \NN^*\colon \mu(A\cap T^nA)\geq\mu(A)^2-\varepsilon\}\]
+  \[\{n\in \NN^*\colon \mu(A\cap T^{-n}A)\geq\mu(A)^2-\varepsilon\}\]
   est syndétique.
 \end{theoreme}
 
@@ -1497,38 +1498,41 @@ naturels qui est à ``lacunes bornées''.
   Soit $I\subseteq L^2(X)$ l'espace des fonctions invariantes par $T$,
   et soit $\pi\colon L^2(X)\to I$ la projection associée. Par les
   propriétés basiques des espérances conditionnelles on a que
-  $\pi(1_A\circ T^n)=\pi(1_A)$ pour tout $n$. On en déduit que
+  $\pi(\mathbbm{1}_A\circ T^n)=\pi(\mathbbm{1}_A)$ pour tout $n$. On en déduit que
   \begin{align*}
     \lvert \frac1N \sum_{n=M}^{M+N-1}\mu(A\cap T^{-n}A)-\langle
-    1_A,\pi(1_A)\rangle\rvert
+    \mathbbm{1}_A,\pi(\mathbbm{1}_A)\rangle\rvert
     &=\lvert \frac1N \sum_{n=M}^{M+N-1}\langle
-      1_A,1_A\circ T^n-\pi(1_A)\rangle\rvert\\
+      \mathbbm{1}_A,\mathbbm{1}_A\circ T^n-\pi(\mathbbm{1}_A)\rangle\rvert\\
     &=\lvert \langle
-      1_A,S_N(1_A\circ T^M)-\pi(1_A)\rangle\rvert\\
+      \mathbbm{1}_A,S_N(\mathbbm{1}_A\circ T^M)-\pi(\mathbbm{1}_A)\rangle\rvert\\
     &=\lvert \langle
-      1_A,S_N(1_A\circ T^M)-\pi(1_A\circ T^M)\rangle\rvert\\
+      \mathbbm{1}_A,S_N(\mathbbm{1}_A\circ T^M)-\pi(\mathbbm{1}_A\circ T^M)\rangle\rvert\\
     &=\lvert \langle
-      1_{T^MA},S_N1_A-\pi(1_A)\rangle\rvert\\
-    &\leq \lVert S_N1_A -\pi(1_A)\rVert_2.
+      1_{T^MA},S_N\mathbbm{1}_A-\pi(\mathbbm{1}_A)\rangle\rvert\\
+    &\leq \lVert S_N\mathbbm{1}_A -\pi(\mathbbm{1}_A)\rVert_2.
   \end{align*}
   La quatrième ligne découle de la troisième par les propriétés de
   base de l'espérance conditionnelle et la cinquième de la quatrième
   par changement de variables. La dernière ligne suit de la précédente
-  par l'inégalité de Cachy-Schwarz.
+  par l'inégalité de Cachy-Schwarz. Il ensuit avec le théorème de von Neumann
+  (théorème~\ref{thm:moyenne}) que
+  \[ \lvert \frac1N \sum_{n=M}^{M+N-1}\mu(A\cap T^{-n}A)-\langle
+  \mathbbm{1}_A,\pi(\mathbbm{1}_A)\rangle\rvert\leq \varepsilon \] 
+  pour $N\geq N_0(\varepsilon)$ (la borne ne dépends pas de $M$).
 
   Maintenant on a que
-  $\langle 1_A-\pi(1_A),\pi(1_A)\rangle = \langle
-  1_A-\pi(1_A),1\rangle =0$. En appliquant l'inégalité de
+  $\langle \mathbbm{1}_A-\pi(\mathbbm{1}_A),\pi(\mathbbm{1}_A)\rangle = \langle
+  \mathbbm{1}_A-\pi(\mathbbm{1}_A),1\rangle =0$. En appliquant l'inégalité de
   Cachy-Schwarz on obtient
-  \[\langle 1_A,\pi(1_A)\rangle
-  =\lVert \pi(1_A)\rVert_2^2
-  \geq\langle \pi(1_A),1\rangle^2
-  =\langle 1_A,1\rangle^2
-  =\mu(A)^2.\]
-  Il ensuit avec le théorème de von Neumann \ref{thm:moyenne} que
+  \[\langle \mathbbm{1}_A,\pi(\mathbbm{1}_A)\rangle
+  =\lVert \pi(\mathbbm{1}_A)\rVert_2^2
+  \geq\langle \pi(\mathbbm{1}_A),1\rangle^2
+  =\langle \mathbbm{1}_A,1\rangle^2
+  =\mu(A)^2,\]
+  qui implique
   \[ \frac{1}{N}\sum_{n=M}^{M+N-1} \mu(A\cap T^{-n}A)\geq
-    \mu(A)^2-\varepsilon\] pour $N\geq N_0(\varepsilon)$
-  (la borne ne dépends pas de $M$). En particulier, il existe au moins
+    \mu(A)^2-\varepsilon\] pour $N\geq N_0(\varepsilon)$. En particulier, il existe au moins
   un entier $n$ dans chaque intervalle $[M,M+N[$ avec
   $\mu(A\cap T^{-n}A)\geq\mu(A)^2-\varepsilon$ pour
   $N\geq N_0(\varepsilon)$.