From 430fed07df9a8d47328232a8036fb9f9c1d8e289 Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: Julien Fontchastagner <fontchas5@univ-lorraine.fr>
Date: Fri, 3 Jan 2025 00:09:02 +0100
Subject: [PATCH] maj 2025 et compat v0.140
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module-web/content/electromag/CL.md | 4 ++--
module-web/content/electromag/RegHarmo.md | 10 ++++----
.../content/electromag/grandglob/energies.md | 10 ++++----
.../content/electromag/grandglob/forces.md | 10 ++++----
module-web/content/electromag/loisglobales.md | 2 +-
module-web/content/electromag/potentiels.md | 22 ++++++++++-------
module-web/content/electromag/synthese.md | 6 ++---
module-web/content/formulaire.md | 4 +++-
.../mefem/Magn\303\251todynamique/_index.md" | 7 +++---
.../Magn\303\251todynamique/magnetoharm.md" | 2 +-
.../mefem/Magn\303\251tostatique/_index.md" | 4 ++--
.../mefem/Magn\303\251tostatique/cas3D.md" | 13 ++++------
.../\303\211lectrocin\303\251tique/_index.md" | 7 ++----
.../mefem/\303\211lectrostatique/_index.md" | 2 +-
module-web/content/principe/continu/_index.md | 24 +++++++++----------
module-web/content/principe/discret/_index.md | 8 +++----
.../principe/discret/basisfunctions.md | 4 ++--
.../content/principe/discret/galerkin.md | 8 +++----
.../content/principe/discret/maillage.md | 9 +++++++
.../content/principe/discret/resolution.md | 6 ++---
.../content/principe/discret/whitney.md | 20 ++++++++--------
21 files changed, 96 insertions(+), 86 deletions(-)
diff --git a/module-web/content/electromag/CL.md b/module-web/content/electromag/CL.md
index 8aea544..4fb3689 100644
--- a/module-web/content/electromag/CL.md
+++ b/module-web/content/electromag/CL.md
@@ -26,14 +26,14 @@ $$\oiint_{\partial v_c} {\bf b}\cdot{\bf d S} = 0$$
Soit, en développant et en multipliant par $\frac{1}{s}$ :
-$$\frac{1}{s} \iint_{s_1} {\bf b}\cdot(-{\bf n_{12}})~\text{d} S + \frac{1}{s} \iint_{s_2} {\bf b}\cdot{\bf n_{12}}~\text{d} S + \frac{1}{s} \iint_{s_l} {\bf b}\cdot{\bf d S} = 0$$
+$$\frac{1}{s} \iint_{s_1} {\bf b}\cdot(-{\bf n_{12}})~ \text{d} S + \frac{1}{s} \iint_{s_2} {\bf b}\cdot{\bf n_{12}}~\text{d} S + \frac{1}{s} \iint_{s_l} {\bf b}\cdot{\bf d S} = 0$$
Or :
$$\frac{1}{s} \iint_{s_l} {\bf b}\cdot{\bf d S} \leq \max_{s_l}(|\\!|{\bf b}|\\!|)\\,\frac{s_l}{s} = o(u)$$
Et :
-$$\left\\{\begin{aligned}\lim_{u \to 0}\left(\frac{1}{s} \iint_{s_1} {\bf b}\cdot(-{\bf n_{12}})~\text{d} S\right) &= - {\bf b_1}\cdot{\bf n_{12}}\\\ \lim_{u \to 0}\left(\frac{1}{s} \iint_{s_2} {\bf b}\cdot{\bf n_{12}}~\text{d} S\right) &= {\bf b_2}\cdot{\bf n_{12}}\end{aligned}\right.$$
+$$\left\\{\begin{aligned}\lim_{u \to 0}\left(\frac{1}{s} \iint_{s_1} {\bf b}\cdot(-{\bf n_{12}})~ \text{d} S\right) &= - {\bf b_1}\cdot{\bf n_{12}}\\\ \lim_{u \to 0}\left(\frac{1}{s} \iint_{s_2} {\bf b}\cdot{\bf n_{12}}~\text{d} S\right) &= {\bf b_2}\cdot{\bf n_{12}}\end{aligned}\right.$$
Où ${\bf b_1}$ et ${\bf b_2}$ sont les valeurs de l'induction au centre du cylindre approché respectivement depuis les milieux $\\#1$ ou $\\#2$.
diff --git a/module-web/content/electromag/RegHarmo.md b/module-web/content/electromag/RegHarmo.md
index 95a8bb1..b18d56b 100644
--- a/module-web/content/electromag/RegHarmo.md
+++ b/module-web/content/electromag/RegHarmo.md
@@ -21,7 +21,7 @@ où :
Nous pouvons alors définir le complexe $\underline{u}$ tel que :
-$$\boxed{u(t) \mapsto \underline{u} ~,~ \text{tel que : } u(t) = \mathcal{Re}\left[\sqrt{2}\\,\underline{u}\\,\text{e}^{j \omega t}\right] ~ , ~~ \text{soit :}~ ~\underline{u} = u_{\text{eff}}\\,\text{e}^{j \varphi}}$$
+$$\boxed{u(t) \mapsto \underline{u} ~ , ~ \text{tel que : } u(t) = \mathcal{Re}\left[ \sqrt{2} \\, \underline{u} \\, \text{e} ^{j \omega t}\right] ~ , ~~ \text{soit :} ~ ~ \underline{u} = u\_{\text{eff}} \\, \text{e}^{j \varphi}}$$
La valeur efficace et la phase suffisent à définir le nombre complexe représentatif du signal temporel, et sont respectivement son module et son argument.
@@ -31,7 +31,7 @@ $$\frac{\text{d}\\,u}{\text{d} t}(t) \mapsto j \omega \\,\underline{u}$$
Nous pouvons le vérifier :
-$$\begin{aligned}\frac{\text{d}\\,u}{\text{d} t}(t) &= - \omega\\,u_{\text{eff}}\\,\sqrt{2}\\,\sin(\omega\\,t+\varphi) \\\\ &= \omega\\,u_{\text{eff}}\\,\sqrt{2}\\,\cos(\omega\\,t+\varphi+\frac{\pi}{2}) \\\\ &= \mathcal{Re}\left[\sqrt{2}\\,\omega\\,u_{\text{eff}}\\,\text{e}^{j(\omega\\,t\varphi+\frac{\pi}{2})}\right] \\\\ &= \mathcal{Re}\left[\sqrt{2}\\, j \omega \\,u_{\text{eff}} \\,\text{e}^{j\varphi}\\,\text{e}^{j \omega t}\right] \\\\ &= \mathcal{Re}\left[\sqrt{2}\\, (j \omega \\,\underline{u})\\,\text{e}^{j \omega t}\right]\end{aligned}$$
+$$\begin{aligned}\frac{\text{d}\\,u}{\text{d} t}(t) &= - \omega\\,u_{\text{eff}}\\,\sqrt{2}\\,\sin(\omega\\,t+\varphi) \\\\ &= \omega\\,u_{\text{eff}}\\,\sqrt{2}\\,\cos(\omega\\,t+\varphi+\frac{\pi}{2}) \\\\ &= \mathcal{Re}\left[\sqrt{2}\\,\omega\\,u_{\text{eff}}\\, \text{e}^{j(\omega\\,t\varphi+\frac{\pi}{2})}\right] \\\\ &= \mathcal{Re}\left[\sqrt{2}\\, j \omega \\,u_{\text{eff}} \\,\text{e}^{j\varphi}\\,\text{e}^{j \omega t}\right] \\\\ &= \mathcal{Re}\left[\sqrt{2}\\, (j \omega \\,\underline{u})\\,\text{e}^{j \omega t}\right]\end{aligned}$$
@@ -50,7 +50,7 @@ Si nous considérons un système électromagnétique alimenté par des tensions
Par exemple, le champ magnétique sera :
-$$\begin{aligned}{\bf h}(x,y,z,t) &= {\bf h}(x,y,z)\\,\cos(\omega t + \varphi(x,y,z))\\\\ &= \sqrt{2}~{\bf h\_{\text{eff}}}(x,y,z)\\,\cos(\omega t + \varphi(x,y,z)) \\\\ &= \mathcal{Re}[\sqrt{2}~{\bf h\_{\text{eff}}}(x,y,z)\\,\text{e}^{j\varphi(x,y,z)}\\,\text{e}^{j\omega\\,t}]\end{aligned}$$
+$$\begin{aligned}{\bf h}(x,y,z,t) &= {\bf h}(x,y,z)\\,\cos(\omega t + \varphi(x,y,z))\\\\ &= \sqrt{2} ~ {\bf h\_{\text{eff}}}(x,y,z)\\,\cos(\omega t + \varphi(x,y,z)) \\\\ &= \mathcal{Re}[\sqrt{2}~{\bf h\_{\text{eff}}}(x,y,z)\\,\text{e}^{j\varphi(x,y,z)}\\,\text{e}^{j\omega\\,t}]\end{aligned}$$
Soit :
$$\underline{{\bf h}}(x,y,z) = {\bf h\_{\text{eff}}}(x,y,z)\\,\text{e}^{j\varphi(x,y,z)}$$
@@ -70,7 +70,7 @@ $$\left\\{\begin{aligned}\text{div}\\,\underline{\bf b} &= 0 \\\\ {\bf rot\\,\un
En régime harmonique, nous aurons :
-$$\begin{aligned} {\bf \underline{b}} &= \mu_0\mu_r\\,{\bf \underline{h}},~ ~ ~{\bf \underline{h}} = \nu\\,{\bf \underline{b}} \\\\ {\bf \underline{j}} &= \sigma\\,{\bf \underline{e}},~ ~ ~{\bf \underline{e}} = \rho\\,{\bf \underline{j}}\end{aligned}$$
+$$\begin{aligned} {\bf \underline{b}} &= \mu_0\mu_r\\,{\bf \underline{h}},~ ~ ~ {\bf \underline{h}} = \nu\\,{\bf \underline{b}} \\\\ {\bf \underline{j}} &= \sigma\\,{\bf \underline{e}},~ ~ ~ {\bf \underline{e}} = \rho\\,{\bf \underline{j}}\end{aligned}$$
{{% notice tip %}}
@@ -78,7 +78,7 @@ Les aimants étant des sources statiques, ils ne peuvent être considérés dans
{{% /notice %}}
{{% notice warning %}}
-Nous nous intéresserons principalmeent qu'aux problèmes où les lois de comportement sont linéaires. En effet, le cas non-linéaire est mal défini. Par exemple si ${\bf h}$ est sinusoïdal, alors ${\bf b}$ ne l'est pas en non-linéaire, et inversement (cf figure ci-dessous). Dans ces cas, on ne considère que les valeurs du fondamental des grandeurs (hypothèse du premier harmonique).
+Nous nous intéresserons principalement qu'aux problèmes où les lois de comportement sont linéaires. En effet, le cas non-linéaire est mal défini. Par exemple si ${\bf h}$ est sinusoïdal, alors ${\bf b}$ ne l'est pas en non-linéaire, et inversement (cf figure ci-dessous). Dans ces cas, on ne considère que les valeurs du fondamental des grandeurs (hypothèse du premier harmonique).
Il existe des techniques permettant de traiter ce type de problèmes de façon approchée (en prenant également l'influence de la largeur du cycle d'hystérésis) en définissant par exemple des perméabilités complexes qui permettent de déduire la valeur du fondamental de l'induction associée (via son module) et le déphasage (via son argument), mais nous ne les traiterons pas dans le cadre de ce cours.
{{% /notice %}}
diff --git a/module-web/content/electromag/grandglob/energies.md b/module-web/content/electromag/grandglob/energies.md
index fa524bb..179cd9a 100644
--- a/module-web/content/electromag/grandglob/energies.md
+++ b/module-web/content/electromag/grandglob/energies.md
@@ -148,9 +148,9 @@ $$W\_{mag} = \iiint_V \frac{1}{2}\\,{\bf h}\cdot{\bf b}\\,\text{d} V $$
On peut développer avec une identité vectorielle :
$${\bf h}\cdot{\bf b}={\bf h}\cdot{\bf rot\\,a}={\bf rot\\,h}\cdot{\bf a}-\text{div}({\bf h}\wedge{\bf a})$$
Ainsi :
-$$W\_{mag} = \frac{1}{2}\left(\iiint_V {\bf rot\\,h}\cdot{\bf a}-\text{div}({\bf h}\wedge{\bf a})\\,\text{d} V \right)$$
+$$W\_{mag} = \frac{1}{2}\left(\iiint_V {\bf rot\\,h}\cdot{\bf a}-\text{div}({\bf h}\wedge{\bf a})\\,\text{d} V \right)$$
En réinjectant Maxwell-Ampère et en appliquant le théorème de la divergence, on obtient :
-$$W\_{mag} = \frac{1}{2}\left(\iiint_{V_c} {\bf a}\cdot{\bf j}~\text{d} V + \oiint\limits\_{S=\partial V} ({\bf a}\wedge{\bf h})\cdot{\bf d S} \right)$$
+$$W\_{mag} = \frac{1}{2}\left(\iiint_{V_c} {\bf a}\cdot{\bf j}~ \text{d} V + \oiint\limits\_{S=\partial V} ({\bf a}\wedge{\bf h})\cdot{\bf d S} \right)$$
On notera que l'intégrale volumique se limite au domaine conducteur $V_c$ (seul siège de courants).
Ainsi, pour un système électromagnétique contenu dans un volume choisi suffisamment grand pour que l'influence des sources soient négligeable sur la frontière (${\bf a}$ et/ou ${\bf h}$ nul), on obtient finalement :
$$\boxed{W\_{mag} = \frac{1}{2} \\, \iiint_{V_c} {\bf a}\cdot{\bf j}~\text{d} V}$$
@@ -171,7 +171,7 @@ Graphiquement, on peut ainsi représenter les densités correspondantes sur la f
Alors :
-$${w}\_{mag} = \int\_{b\_r}^{b} {\bf h}\cdot{\bf d b},~ ~\text{et}~ ~\widetilde{w}\_{mag} = \int\_{-h_c}^{h} {\bf b}\cdot{\bf d h}$$
+$${w}\_{mag} = \int\_{b\_r}^{b} {\bf h}\cdot{\bf d b},~ ~ \text{et} ~ ~\widetilde{w}\_{mag} = \int\_{-h_c}^{h} {\bf b}\cdot{\bf d h}$$
Dans le cas classique de matériaux très durs où la courbe ci-dessus peut être assimilée à une droite, on a ainsi :
@@ -183,7 +183,7 @@ $$\begin{aligned}\widetilde{w}\_{mag} &= \int\_{-h_c}^{h} \mu_a\\,({\bf h+h_c})\
{{% notice warning %}}
Chose un peu surprenante, l'expression des densités d'énergie et coénergie magnétiques dans un aimant permanent est l'inverse de celles dans les autres matériaux. Soit :
-$$\boxed{w_{mag} = \frac{\mu_a\\,|\\!|{\bf h}|\\!|^2}{2}}~ ~\text{et}~ ~\boxed{\widetilde{w}\_{mag}=\frac{|\\!|{\bf b}|\\!|^2}{2\\,\mu_a}}$$
+$$\boxed{w_{mag} = \frac{\mu_a\\,|\\!|{\bf h}|\\!|^2}{2}}~ ~ \text{et} ~ ~\boxed{\widetilde{w}\_{mag}=\frac{|\\!|{\bf b}|\\!|^2}{2\\,\mu_a}}$$
{{% /notice %}}
@@ -211,7 +211,7 @@ $$\boxed{W\_{el} = \frac{1}{2} \iiint_{V_q} \rho_q\\,v~\text{d} V}$$
{{% notice note %}}
On aurait pu donner l'ensemble des relations possibles en considérant le cas non-linéaire, mais nous ne l'avons pas fait par souci de concision. On peut quand même fournir les densités volumiques d'énergie qui pourront, le cas échéant servir de point de départ :
-$$w\_{el} = \int_{0}^{d} {\bf e}\cdot{\bf d\\,d},~ ~ ~\text{et}~ ~ ~ ~\widetilde{w}\_{el} = \int_{0}^{e} {\bf d}\cdot{\bf d\\,e}$$
+$$w\_{el} = \int_{0}^{d} {\bf e}\cdot{\bf d\\,d},~ ~ ~ \text{et} ~ ~ ~ ~\widetilde{w}\_{el} = \int_{0}^{e} {\bf d}\cdot{\bf d\\,e}$$
{{% /notice %}}
diff --git a/module-web/content/electromag/grandglob/forces.md b/module-web/content/electromag/grandglob/forces.md
index 095ab7b..0c0e525 100644
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+++ b/module-web/content/electromag/grandglob/forces.md
@@ -80,7 +80,7 @@ $$\boxed{\frac{\partial\\,\mathcal{f}}{\partial t} = -\mathcal{s}\\,\frac{\parti
En considérant que notre système est le siège d'effets purement magnétiques, la variation de la densité d'**énergie libre magnétique** (qu'on notera dans ce cas $f_m$) ne contient plus que les termes suivants :
-$$\text{d}\\,\mathcal{f_m} = -\mathcal{s}~\text{d}\\,T + {\bf h}\cdot{\bf d b} = -\mathcal{s}~\text{d}\\,T + \text{d}\\,w_{mag}$$
+$$\text{d}\\,\mathcal{f_m} = -\mathcal{s}~ \text{d} \\,T + {\bf h}\cdot{\bf d b} = -\mathcal{s}~\text{d}\\,T + \text{d}\\,w_{mag}$$
{{% notice note %}}
On remarque donc le lien entre énergie libre et énergie magnétique. À température fixée, les deux sont identiques. En fait, compte tenu de la différence d'ordre de grandeur des constantes de temps thermiques et électromagnétiques, **on pourra toujours considérer que l'énergie magnétique telle que nous l'avons définie est l'énergie libre du système**.
@@ -117,7 +117,7 @@ Alors :
$$\text{d}\\,\mathcal{g_m} = -\mathcal{s}~\text{d}\\,T + \cancel{{\bf h}\cdot{\bf d b}} - \cancel{{\bf h}\cdot{\bf d b}} - {\bf b}\cdot{\bf d h}$$
Soit :
-$$\text{d}\\,\mathcal{g_m} = -\mathcal{s}~\text{d}\\,T - {\bf b}\cdot{\bf d h} = -\mathcal{s}~\text{d}\\,T - \text{d}\\,\widetilde{w}\_{mag}$$
+$$\text{d}\\,\mathcal{g_m} = -\mathcal{s}~\text{d}\\,T - {\bf b}\cdot{\bf d h} = -\mathcal{s} ~ \text{d}\\,T - \text{d}\\,\widetilde{w}\_{mag}$$
Cette nouvelle grandeur énergétique $\mathcal{G_m}$, de densité volumique $\mathcal{g_m}$ est l'**enthalpie libre magnétique** (ou **énergie libre de Gibbs**) du système.
@@ -153,7 +153,7 @@ $$\Gamma = - \left(\frac{\partial\\,W\_{mag}}{\partial\\,\alpha_0}\right)\_{\var
Dans le cas de phénomènes électrostatiques, la densité volumique d'énergie libre électrostatique $\mathcal{f_e}$ est, d'après ce qui précède :
-$$\text{d}\\,\mathcal{f_e} = -\mathcal{s}~\text{d}\\,T + {\bf e}\cdot{\bf d\\,d} = -\mathcal{s}~\text{d}\\,T + \text{d}\\,w_{el}$$
+$$\text{d}\\,\mathcal{f_e} = -\mathcal{s}~ \text{d} \\,T + {\bf e}\cdot{\bf d\\,d} = -\mathcal{s}~\text{d}\\,T + \text{d}\\,w_{el}$$
#### Température et charges constantes
@@ -186,7 +186,7 @@ Alors :
$$\text{d}\\,\mathcal{g_e} = -\mathcal{s}~\text{d}\\,T + \cancel{{\bf e}\cdot{\bf d\\,d}} - \cancel{{\bf e}\cdot{\bf d\\,d}} - {\bf d}\cdot{\bf d e}$$
Soit :
-$$\text{d}\\,\mathcal{g_e} = -\mathcal{s}~\text{d}\\,T - {\bf d}\cdot{\bf d e} = -\mathcal{s}~\text{d}\\,T - \text{d}\\,\widetilde{w}\_{el}$$
+$$\text{d}\\,\mathcal{g_e} = -\mathcal{s} ~ \text{d}\\,T - {\bf d}\cdot{\bf d e} = -\mathcal{s}~\text{d}\\,T - \text{d}\\,\widetilde{w}\_{el}$$
Cette nouvelle grandeur énergétique $\mathcal{G_e}$, de densité volumique $\mathcal{g_e}$ est l'**enthalpie libre électrostatique** (ou **énergie libre de Gibbs**) du système.
@@ -238,7 +238,7 @@ $${\bf f_{em}} = \overline{\text{div}}\\,\overline{\overline{{\bf T}}}$$
Ainsi, la force totale ${\bf F_{em}}$ s'exerçant sur un sous-domaine quelconque $\Omega \subset V$ peut se réduire à l'intégrale surfacique de $\overline{\overline{{\bf T}}}$ sur son bord $\partial \Omega$ via le théorème de la divergence :
-$${\bf F\_{em}} = \iiint\_{\Omega} {\bf f\_{em}}~\text{d} V = \iiint\_{\Omega} \overline{\text{div}}\\,\overline{\overline{{\bf T}}}~\text{d} V = \oiint\_{\partial \Omega} \overline{\overline{{\bf T}}}\cdot{\bf d S}$$
+$${\bf F\_{em}} = \iiint\_{\Omega} {\bf f\_{em}} ~ \text{d} V = \iiint\_{\Omega} \overline{\text{div}}\\,\overline{\overline{{\bf T}}}~\text{d} V = \oiint\_{\partial \Omega} \overline{\overline{{\bf T}}}\cdot{\bf d S}$$
Le tenseur ainsi défini n'est pas unique et peut comprendre des termes difficiles à évaluer, en particulier aux interfaces entre les différents milieux. Mais on peut simplifier grandement les choses en :
* **choisissant un domaine $\Omega$ entourant entièrement l'élément sur lequel on veut calculer les forces**,
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index 069ecff..9b75fec 100644
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@@ -33,7 +33,7 @@ $\implies {\bf b}$ **est à flux conservatif.**
En appliquant le même théorème à l'induction électrique ${\bf d}$ sur le même volume $V$, et en y injectant l'équation de Maxwell-Gauss :
-$$\oiint_S {\bf d}\cdot{\bf dS} = \iiint_V \text{div}\\,{\bf d}~\text{d} V = \iiint_V \rho_q~\text{d} V $$
+$$\oiint_S {\bf d}\cdot{\bf dS} = \iiint_V \text{div}\\, {\bf d}~\text{d} V = \iiint_V \rho_q ~ \text{d} V $$
Soit :
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index d08e0d0..86aa492 100644
--- a/module-web/content/electromag/potentiels.md
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@@ -38,9 +38,11 @@ Même avec la condition de jauge, on remarque que le potentiel est encore défin
Dans le cas de problèmes magnétiques, nous avons besoin de connaître les sources, donc ${\bf j}$, donc ${\bf e}$, dans les domaines conducteurs ($\Omega_c$).
Substituons alors l'expression précédente dans l'équation de Maxwell-Faraday :
-$${\bf rot\\,e} = -\frac{\partial}{\partial t}\\,({\bf rot\\,a}) \Leftrightarrow {\bf rot}\\,\left({\bf e} + \frac{\partial\\,{\bf a}}{\partial t}\right) = 0$$
-$$\Leftrightarrow \exists~v \in \Omega_c : {\bf e} + \frac{\partial\\,{\bf a}}{\partial t} = -{\bf grad}\\,v$$
-Soit : $$\exists~v \in \Omega_c : {\bf e} = -{\bf grad}\\,v - \frac{\partial\\,{\bf a}}{\partial t}$$
+$${\bf rot\\,e} = -\frac{\partial}{\partial t}\\,({\bf rot\\,a}) \Leftrightarrow {\bf rot}\\,\left({\bf e} + \frac{\partial\\,{\bf a}}{\partial t}\right) = 0$$
+
+$$\Leftrightarrow \exists~v \in \Omega_c : {\bf e} + \frac{\partial\\,{\bf a}}{\partial t} = -{\bf grad}\\,v$$
+
+Soit : $$\exists~v \in \Omega_c : {\bf e} = -{\bf grad}\\,v - \frac{\partial\\,{\bf a}}{\partial t}$$
$v$ est appelé **potentiel scalaire électrique**.
{{% notice note %}}
@@ -63,7 +65,7 @@ avec $v$, le **potentiel scalaire électrique**.
## Potentiel vecteur électrique ${\bf t}$
Nous avons déjà vu que l'équation Maxwell-Ampère impliquait la loi de nœuds locale. En partant de cette dernière, nous avons :
-$$\text{div}\\,{\bf j} = 0 \Leftrightarrow \exists~{\bf t} \in \Omega_c : {\bf j} = {\bf rot\\,t}$$
+$$\text{div}\\,{\bf j} = 0 \Leftrightarrow \exists~{\bf t} \in \Omega_c : {\bf j} = {\bf rot\\,t}$$
${\bf t}$ est appelé **potentiel vecteur électrique**.
{{% notice note %}}
@@ -79,12 +81,16 @@ Dans le troisième chapitre, Nous verrons aussi que, parfois, nous préférerons
## Potentiel scalaire magnétique ${\bf \phi}$
-En utilisant le potentiel ${\bf t}$, on peut développer Maxwell-Ampère comme :
-$${\bf rot\\,h} = \left\\{\begin{array}{c l} {\bf rot\\,t}~ &\text{dans}~\Omega_c\\\ {\bf 0}~ &\text{dans}~\Omega\setminus\Omega_c\end{array}\right.$$
+En utilisant le potentiel ${\bf t}$, on peut développer Maxwell-Ampère comme :
+
+$$ {\bf rot\\,h} = \left\\{\begin{array}{c l} {\bf rot\\,t}~ &\text{dans~} \Omega_{c} \\\\ {\bf 0}~ &\text{dans~} \Omega\setminus\Omega_{c} \end{array}\right.$$
Ainsi :
-$$\left\\{\begin{array}{r l} {\bf rot}\\,({\bf h - t}) = {\bf 0}~ &\text{dans}~\Omega_c\\\ {\bf rot\\,h} = {\bf 0}~ &\text{dans}~\Omega\setminus\Omega_c\end{array}\right.$$
-$$\Leftrightarrow\exists~\phi\in\Omega : \left\\{\begin{array}{l l}{\bf h}={\bf t}-{\bf grad}\\,\phi & \text{dans}~\Omega_c\\\ {\bf h}= -{\bf grad}\\,\phi & \text{dans}~\Omega\setminus \Omega_c\end{array}\right.$$
+
+$$\left\\{\begin{array}{r l} {\bf rot}\\,({\bf h - t}) = {\bf 0}~ &\text{dans~} \Omega_c\\\ {\bf rot\\,h} = {\bf 0}~ &\text{dans~} \Omega\setminus\Omega_c\end{array}\right.$$
+
+$$\Leftrightarrow\exists~\phi\in\Omega : \left\\{\begin{array}{l l}{\bf h}={\bf t}-{\bf grad}\\,\phi & \text{dans~} \Omega_c\\\ {\bf h}= -{\bf grad}\\,\phi & \text{dans~} \Omega\setminus \Omega_c\end{array}\right.$$
+
$\phi$ est appelé **potentiel scalaire magnétique**.
{{% notice tip %}}
diff --git a/module-web/content/electromag/synthese.md b/module-web/content/electromag/synthese.md
index 9d13cf3..20897e0 100644
--- a/module-web/content/electromag/synthese.md
+++ b/module-web/content/electromag/synthese.md
@@ -18,7 +18,7 @@ On pourra penser à calculer le potentiel scalaire électrique $v$.
{{% /expand%}}
{{% expand "Cliquer pour afficher la solution" %}}
-$v(z) = \frac{U}{L}\\,z~$, $~{\bf j} = -\sigma\\,\frac{U}{L}\\,{\bf e_z}~$, $~R = \rho\\,\frac{L}{S} = \frac{1}{\sigma}\\,\frac{L}{S}$
+$v(z) = \frac{U}{L}\\,z~ $, $ ~ {\bf j} = -\sigma\\,\frac{U}{L}\\,{\bf e_z}~ $, $ ~ R = \rho\\,\frac{L}{S} = \frac{1}{\sigma}\\,\frac{L}{S}$
{{% /expand%}}
@@ -37,7 +37,7 @@ Les deux étant constitués de deux électrodes séparées par un milieu diélec
{{% expand "Cliquer pour afficher la solution" %}}
* Cas plan : $$C = \varepsilon_0\varepsilon_r\\,\frac{a\\,b}{h}$$
-* Cas cylindrique : $$C = \varepsilon_0\varepsilon_r\\, \frac{2\\,\pi\\,h}{\ln\left(\frac{R+e}{R}\right)}$$
+* Cas cylindrique : $$C = \varepsilon_0\varepsilon_r \\, \frac{2\\,\pi\\,h}{\ln\left(\frac{R+e}{R}\right)}$$
{{% /expand%}}
---
@@ -559,7 +559,7 @@ end
```
{{% notice note %}}
-Cet exercice est adapté de la [**ventouse magnétique de fermeture de porte**](https://cours.jufont.net/ensem/tp-femm/ventouse.html) des TP FEMM de l'EC S8-A4-EC2.
+Cet exercice est adapté de la [**ventouse magnétique de fermeture de porte**](https://cours.jufont.net/ensem/tp-femm/ventouse.html) des TP FEMM de l'EC S8-B11-EC2.
{{% /notice %}}
{{% expand "Cliquer pour afficher la solution" %}}
diff --git a/module-web/content/formulaire.md b/module-web/content/formulaire.md
index 7bff04b..5b69d15 100644
--- a/module-web/content/formulaire.md
+++ b/module-web/content/formulaire.md
@@ -69,4 +69,6 @@ $$\text{com}\\,{}^{\operatorname t}{\bf M} = {}^{\operatorname t}\text{com}\\,{\
$${\bf M}\cdot{\bf a}\wedge{\bf M}\cdot{\bf b} = \text{com}\\,{\bf M} \cdot ({\bf a}\wedge{\bf b})$$
-$$\text{Soit :}~ ~{\bf M} = \begin{pmatrix} {\bf c_1} & {\bf c_2} & {\bf c_3}\end{pmatrix} , ~ ~\text{alors :}~ ~ \det\\,{\bf M} = {\bf c_1}\cdot ({\bf c_2}\wedge{\bf c_3})$$
+$$\text{Soit :}~ ~ {\bf M} = \begin{pmatrix} {\bf c_1} & {\bf c_2} & {\bf c_3}\end{pmatrix} , ~ ~ \text{alors :}~ ~ \det\\,{\bf M} = {\bf c_1}\cdot ({\bf c_2}\wedge{\bf c_3})$$
+
+
diff --git "a/module-web/content/mefem/Magn\303\251todynamique/_index.md" "b/module-web/content/mefem/Magn\303\251todynamique/_index.md"
index 32bbbfd..ab79974 100644
--- "a/module-web/content/mefem/Magn\303\251todynamique/_index.md"
+++ "b/module-web/content/mefem/Magn\303\251todynamique/_index.md"
@@ -26,7 +26,7 @@ Le potentiel vecteur magnétique ${\bf a}$ est défini comme précédemment et d
On peut donc définir dans $\Omega_c$ un champ scalaire $v$, potentiel scalaire électrique tel que ${\bf e}-\frac{\partial\\,{\bf a}}{\partial t} = - {\bf grad}\\,v$, soit : $$ {\bf e} = -{\bf grad}\\,v - \frac{\partial\\,{\bf a}}{\partial t}$$
Et finalement, l'équation de Maxwell-Ampère dans $\Omega_c$ donne :
-$${\bf rot}\\,\left( \mu^{-1}{\bf rot\\,a}\right) = \left\\{\begin{aligned}-\sigma\left({\bf grad}\\,v + \frac{\partial\\,{\bf a}}{\partial t}\right) ~ &~\text{dans }\Omega\_c\\\\{\bf 0}~ &~\text{ailleurs}\end{aligned}\right.$$
+$${\bf rot}\\,\left( \mu^{-1}{\bf rot\\,a}\right) = \left\\{\begin{aligned}-\sigma\left({\bf grad}\\,v + \frac{\partial\\,{\bf a}}{\partial t}\right) ~ &~ \text{dans }\Omega\_c\\\\{\bf 0}~ &~ \text{ailleurs}\end{aligned}\right.$$
La deuxième relation permettant de résoudre est la conservation de la densité de courant dans $\Omega_c$ :
$$\text{div}\left( \sigma\left({\bf grad}\\,v + \frac{\partial\\,{\bf a}}{\partial t}\right)\right) = 0$$
@@ -40,7 +40,6 @@ En combinant les différentes approches vues dans les sections précédentes, on
Trouver ${\bf a} \in \textbf{H}\_{0}({\bf rot},\Omega) = \\{ {\bf a} \in \textbf{H}({\bf rot},\Omega) : {\bf a}\wedge{\bf n}\|\_{\Gamma_{d}} = 0\\}$ et $v \in \text{H}\_{0}({\bf grad},\Omega) = \\{ u \in \text{H}({\bf grad},\Omega) : u\|\_{\Gamma_{di}} = v_i\\}$, tels que :
-$$\left\\{\begin{aligned}\left(\mu^{-1}\\,{\bf rot}\\,{\bf a}\\,,\\,{\bf rot}\\,{\bf a'}\right)\_{\Omega} + \left(\sigma\\,\partial_t\\,{\bf a}\\,,\\,{\bf a'}\right)\_{\Omega_c} + \left( \sigma\\,{\bf grad}\\,v \\,,\\, {\bf a'}\right)\_{\Omega\_c} = 0,~ ~\forall\\,{\bf a'} \in \textbf{H}\_{0}({\bf rot},\Omega) \\\\ (\sigma\\,{\bf grad}\\,v \\,,\\, {\bf grad}\\,v')\_{\Omega\_c} + (\sigma\\,\partial_t\\,{\bf a} \\,,\\, {\bf grad}\\,v')_{\Omega\_c} = 0,~ ~\forall\\, v' \in \text{H}\_{0}({\bf grad},\Omega)\end{aligned}\right.$$
-
-<br>
+$$\left\\{\begin{aligned}\left(\mu^{-1}\\,{\bf rot}\\,{\bf a}\\,,\\,{\bf rot}\\,{\bf a'}\right)\_{\Omega} + \left(\sigma\\,\partial_t\\,{\bf a}\\,,\\,{\bf a'}\right)\_{\Omega_c} + \left( \sigma\\,{\bf grad}\\,v \\,,\\, {\bf a'}\right)\_{\Omega\_c} = 0,~ ~ \forall\\,{\bf a'} \in \textbf{H}\_{0}({\bf rot},\Omega) \\\\ (\sigma\\,{\bf grad}\\,v \\,,\\, {\bf grad}\\,v')\_{\Omega\_c} + (\sigma\\,\partial_t\\,{\bf a} \\,,\\, {\bf grad}\\,v')_{\Omega\_c} = 0,~ ~\forall\\, v' \in \text{H}\_{0}({\bf grad},\Omega)\end{aligned}\right.$$
+
diff --git "a/module-web/content/mefem/Magn\303\251todynamique/magnetoharm.md" "b/module-web/content/mefem/Magn\303\251todynamique/magnetoharm.md"
index b3cea70..dbb361a 100644
--- "a/module-web/content/mefem/Magn\303\251todynamique/magnetoharm.md"
+++ "b/module-web/content/mefem/Magn\303\251todynamique/magnetoharm.md"
@@ -12,7 +12,7 @@ La formulation faible à résoudre est alors :
Trouver $\underline{\bf a} \in \textbf{H}\_{0}({\bf rot},\Omega) = \\{ \underline{\bf a} \in \textbf{H}({\bf rot},\Omega) : \underline{\bf a}\wedge{\bf n}\|\_{\Gamma_{d}} = 0\\}$ et $\underline{v} \in \text{H}\_{0}({\bf grad},\Omega) = \\{ \underline{u} \in \text{H}({\bf grad},\Omega) : \underline{u}\|\_{\Gamma_{di}} = \underline{v_i}\\}$, tels que :
-$$\left\\{\begin{aligned}\left(\mu^{-1}\\,{\bf rot}\\,\underline{\bf a}\\,,\\,{\bf rot}\\,\underline{\bf a'}\right)\_{\Omega} + \left(\sigma\\,j\omega\\,\underline{\bf a}\\,,\\,\underline{\bf a'}\right)\_{\Omega_c} + \left( \sigma\\,{\bf grad}\\,\underline{v} \\,,\\, \underline{\bf a'}\right)\_{\Omega\_c} = 0,~ ~\forall\\,\underline{\bf a'} \in \textbf{H}\_{0}({\bf rot},\Omega) \\\\ (\sigma\\,{\bf grad}\\,\underline{v} \\,,\\, {\bf grad}\\,\underline{v'})\_{\Omega\_c} + (\sigma\\,j\omega\\,\underline{\bf a} \\,,\\, {\bf grad}\\,\underline{v'})_{\Omega\_c} = 0,~ ~\forall\\, \underline{v'} \in \text{H}\_{0}({\bf grad},\Omega)\end{aligned}\right.$$
+$$\left\\{\begin{aligned}\left(\mu^{-1}\\,{\bf rot}\\,\underline{\bf a}\\,,\\,{\bf rot}\\,\underline{\bf a'}\right)\_{\Omega} + \left(\sigma\\,j\omega\\,\underline{\bf a}\\,,\\,\underline{\bf a'}\right)\_{\Omega_c} + \left( \sigma\\,{\bf grad}\\,\underline{v} \\,,\\, \underline{\bf a'}\right)\_{\Omega\_c} = 0,~ ~ \forall\\,\underline{\bf a'} \in \textbf{H}\_{0}({\bf rot},\Omega) \\\\ (\sigma\\,{\bf grad}\\,\underline{v} \\,,\\, {\bf grad}\\,\underline{v'})\_{\Omega\_c} + (\sigma\\,j\omega\\,\underline{\bf a} \\,,\\, {\bf grad}\\,\underline{v'})_{\Omega\_c} = 0,~ ~ \forall\\, \underline{v'} \in \text{H}\_{0}({\bf grad},\Omega)\end{aligned}\right.$$
L'implantation dans GetDP n'est pas plus compliquée que ce que nous avons vu jusqu'à présent. Le passage en complexe et la fréquence associée sont précisés dans la partie « Résolution » :
diff --git "a/module-web/content/mefem/Magn\303\251tostatique/_index.md" "b/module-web/content/mefem/Magn\303\251tostatique/_index.md"
index 8f42124..04f7b83 100644
--- "a/module-web/content/mefem/Magn\303\251tostatique/_index.md"
+++ "b/module-web/content/mefem/Magn\303\251tostatique/_index.md"
@@ -80,9 +80,9 @@ En procédant de la même façon qu'en électrostatique ou électrocinétique, o
Trouver $\phi \in \text{H}\_{0}({\bf grad},\Omega) = \\{ \phi \in \text{H}({\bf grad},\Omega) : \phi\|\_{\Gamma_{n}} = 0\\}$, tel que :
-$$\forall \phi' \in \text{H}\_{0}({\bf grad},\Omega),~~ \left(-\mu\\,{\bf grad}\\,\phi\\,,\\,{\bf grad}\\,\phi'\right)\_{\Omega} + \left({\bf b_r}\\,,\\,{\bf grad}\\,\phi'\right)\_{\Omega_a}= 0$$
-
+$$\forall \phi' \in \text{H}\_{0}({\bf grad},\Omega),~~ \left(-\mu\\,{\bf grad}\\,\phi\\,,\\,{\bf grad}\\,\phi'\right)\_{\Omega} + \left({\bf b_r}\\,,\\,{\bf grad}\\,\phi'\right)\_{\Omega_a}= 0$$
+
diff --git "a/module-web/content/mefem/Magn\303\251tostatique/cas3D.md" "b/module-web/content/mefem/Magn\303\251tostatique/cas3D.md"
index 050629b..5c9e20d 100644
--- "a/module-web/content/mefem/Magn\303\251tostatique/cas3D.md"
+++ "b/module-web/content/mefem/Magn\303\251tostatique/cas3D.md"
@@ -26,7 +26,7 @@ Par application directe de la [**méthode du chapitre 2**](http://localhost:1313
Ainsi la formulation ccomplète dans le domaine discret sera :
-$$\boxed{\left\\{\begin{aligned}&\text{Trouver}~{\bf a_h} \in W_0^1,~\xi_h \in W_0^0~\text{tels que :} \\\\ &\left(\mu^{-1}\\,{\bf rot\\,a_h},{\bf rot\\,a_h'}\right)\_{\Omega} + \left(\mu^{-1}\\,{\bf b_r},{\bf rot\\,a_h'}\right)\_{\Omega_a} + \left(-{\bf j_s},{\bf a_h'}\right)\_{\Omega} + \left({\bf grad}\\,\xi_h,{\bf a_h'}\right)\_{\Omega} = 0,~ \forall\\,{\bf a_h'} \in W_0^1 \\\\ &\left({\bf a_h},{\bf grad}\\,\xi_h'\right)\_{\Omega} = 0, \forall \\, \xi'_h \in W_0^0 \end{aligned}\right.}$$
+$$\boxed{\left\\{\begin{aligned}&\text{Trouver}~ {\bf a_h} \in W_0^1,~ \xi_h \in W_0^0~ \text{tels que :} \\\\ &\left(\mu^{-1}\\,{\bf rot\\,a_h},{\bf rot\\,a_h'}\right)\_{\Omega} + \left(\mu^{-1}\\,{\bf b_r},{\bf rot\\,a_h'}\right)\_{\Omega_a} + \left(-{\bf j_s},{\bf a_h'}\right)\_{\Omega} + \left({\bf grad}\\,\xi_h,{\bf a_h'}\right)\_{\Omega} = 0,~ \forall\\,{\bf a_h'} \in W_0^1 \\\\ &\left({\bf a_h},{\bf grad}\\,\xi_h'\right)\_{\Omega} = 0, \forall \\, \xi'_h \in W_0^0 \end{aligned}\right.}$$
où $W_0^1$ et $W_0^0$ approximent respectivement $\textbf{H}\_{0}({\bf rot},\Omega)$
et $\text{H}\_{0}({\bf grad},\Omega)$.
@@ -100,7 +100,7 @@ des surfaces sur lesquelles sont imposées des conditions particulières
de ${\bf a}$ le long de cet arbre directement dans l'espace fonctionnel associé.
Ce dernier sera alors noté $W_{0,\text{JA}}^1$, et notre formulation devient ainsi :
- $$\boxed{\left\\{\begin{aligned}&\text{Trouver}~{\bf a_h} \in W\_{0,\text{JA}}^1 ~\text{tel que :} \\\\ & \left(\mu^{-1}\\,{\bf rot\\,a_h},{\bf rot\\,a_h'}\right)\_{\Omega} + \left(\mu^{-1}\\,{\bf b_r},{\bf rot\\,a_h'}\right)\_{\Omega_a} + \left(-{\bf j_s},{\bf a_h'}\right)\_{\Omega} = 0,~ \forall\\,{\bf a_h'} \in W\_{0,\text{JA}}^1\end{aligned}\right.}$$
+ $$\boxed{\left\\{\begin{aligned}&\text{Trouver}~ {\bf a_h} \in W\_{0,\text{JA}}^1 ~ \text{tel que :} \\\\ & \left(\mu^{-1}\\,{\bf rot\\,a_h},{\bf rot\\,a_h'}\right)\_{\Omega} + \left(\mu^{-1}\\,{\bf b_r},{\bf rot\\,a_h'}\right)\_{\Omega_a} + \left(-{\bf j_s},{\bf a_h'}\right)\_{\Omega} = 0,~ \forall\\,{\bf a_h'} \in W\_{0,\text{JA}}^1\end{aligned}\right.}$$
La taille du système sera ainsi fortement réduite par rapport au cas précédent puisqu'on s'affranchit du calcul
de la grandeur nodale $\xi$.
@@ -169,13 +169,10 @@ Résoudre le problème en 3D et comparer les deux formulations :
Pour gagner du temps, je vous fournis encore la géométie 3D en {{% button href="../../../files/geometrie_coupleur_3D.zip" icon="fas fa-download" icon-position="right" %}}cliquant ici{{% /button %}}. Un exemple de géométrie possible est représenté ci-dessous :
-{{< figure src="../../../images/figures/coupleur3D.png" title="Représentation schématique du coupleur considéré">}}
-
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-<br>
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-
+{{< figure src="../../../images/figures/coupleur3D.png" title="Représentation schématique du coupleur considéré">}}
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+
diff --git "a/module-web/content/mefem/\303\211lectrocin\303\251tique/_index.md" "b/module-web/content/mefem/\303\211lectrocin\303\251tique/_index.md"
index ec4dffc..e8ac920 100644
--- "a/module-web/content/mefem/\303\211lectrocin\303\251tique/_index.md"
+++ "b/module-web/content/mefem/\303\211lectrocin\303\251tique/_index.md"
@@ -131,11 +131,8 @@ Tout comme dans le cas électrostatique de la section précédente, il est possi
Pour éviter de perdre trop de temps, je vous fournis la géométrie (libre à vous de l'utiliser ou non) : {{% button href="../../files/busbar_geo.zip" icon="fas fa-download" icon-position="right" %}}Cliquer ici pour la télécharger {{% /button %}}.
-2. Proposer des améliorations possibles du design d'un tel busbar (en terme de quantité de matière, masse, volume, pertes...).
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+2. Proposer des améliorations possibles du design d'un tel busbar (en terme de quantité de matière, masse, volume, pertes...).
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diff --git "a/module-web/content/mefem/\303\211lectrostatique/_index.md" "b/module-web/content/mefem/\303\211lectrostatique/_index.md"
index 8232f30..5adcb92 100644
--- "a/module-web/content/mefem/\303\211lectrostatique/_index.md"
+++ "b/module-web/content/mefem/\303\211lectrostatique/_index.md"
@@ -41,7 +41,7 @@ Aux frontières, nous aurons les mêmes conditions mais homogènes : $ v|\_{\Gam
Finalement, la forme complète de la formulation forte à résoudre est donc :
-$$\left\\{\begin{aligned}\text{div}\left(\varepsilon\\,{\bf grad}\\,v\right) + \rho_q &= 0~, &\text{dans}~ \Omega\\\\ \left.v\right|\_{\Gamma\_d} &= 0~, &\text{sur}~ \Gamma\_d \\\\ \left.v\right\|_{\Gamma\_i} &= v_i~, &\text{sur}~ \Gamma\_i \\\\\left.{\bf grad}\\, v \cdot {\bf n}\right|\_{\Gamma\_n} &= 0~, &\text{sur}~ \Gamma\_n \\\\\left.{\bf grad}\\, v \cdot {\bf n}\right|\_{\Gamma\_j} &= -\frac{\sigma\_{q\_j}}{\varepsilon}~, &\text{sur}~ \Gamma\_j\end{aligned}\right.$$
+$$\left\\{\begin{aligned}\text{div}\left(\varepsilon\\,{\bf grad}\\,v\right) + \rho_q &= 0~ , &\text{dans}~ \Omega\\\\ \left.v\right|\_{\Gamma\_d} &= 0~, &\text{sur}~ \Gamma\_d \\\\ \left.v\right\|_{\Gamma\_i} &= v_i~, &\text{sur}~ \Gamma\_i \\\\\left.{\bf grad}\\, v \cdot {\bf n}\right|\_{\Gamma\_n} &= 0~ , &\text{sur}~ \Gamma\_n \\\\\left.{\bf grad}\\, v \cdot {\bf n}\right|\_{\Gamma\_j} &= -\frac{\sigma\_{q\_j}}{\varepsilon}~ , &\text{sur}~ \Gamma\_j\end{aligned}\right.$$
diff --git a/module-web/content/principe/continu/_index.md b/module-web/content/principe/continu/_index.md
index 644c2fd..d660476 100644
--- a/module-web/content/principe/continu/_index.md
+++ b/module-web/content/principe/continu/_index.md
@@ -93,12 +93,12 @@ $$\iiint\_{\Omega} -(\alpha\\,{\bf grad}\\,u)\cdot{\bf grad}\\,v~\text{d}\Omega
On applique alors le théorème de la divergence :
$$\iiint\_{\Omega} -(\alpha\\,{\bf grad}\\,u)\cdot{\bf grad}\\,v~\text{d}\Omega + \oiint\_{\Gamma} v\\,\alpha\\,{\bf grad}\\,u \cdot {\bf n}~\text{d}\Gamma + \iiint\_{\Omega} \beta\\,v ~\text{d}\Omega =0$$
-On peut décomposer le terme surfacique en deux en utilisant la condition aux limites de Neumann pour obtenir :
-$$\begin{aligned}\oiint\_{\Gamma} v\\,\alpha\\,{\bf grad}\\,u \cdot {\bf n}~\text{d}\Gamma &= \iint\_{\Gamma_n} v\\,\alpha\\,{\bf grad}\\,u \cdot {\bf n}~\text{d}\Gamma + \iint\_{\Gamma_d} v\\,\alpha\\,{\bf grad}\\,u \cdot {\bf n}~\text{d}\Gamma\\\\ &= \iint\_{\Gamma_n} v\\,\alpha\\,\gamma~\text{d}\Gamma + \iint\_{\Gamma_d} v\\,\alpha\\,{\bf grad}\\,u \cdot {\bf n}~\text{d}\Gamma\end{aligned}$$
+On peut décomposer le terme surfacique en deux en utilisant la condition aux limites de Neumann pour obtenir :
+$$\begin{aligned}\oiint\_{\Gamma} v\\,\alpha\\,{\bf grad}\\,u \cdot {\bf n}~ \text{d}\Gamma &= \iint\_{\Gamma_n} v\\,\alpha\\,{\bf grad}\\,u \cdot {\bf n}~ \text{d}\Gamma + \iint\_{\Gamma_d} v\\,\alpha\\,{\bf grad}\\,u \cdot {\bf n}~ \text{d}\Gamma\\\\ &= \iint\_{\Gamma_n} v\\,\alpha\\,\gamma~ \text{d}\Gamma + \iint\_{\Gamma_d} v\\,\alpha\\,{\bf grad}\\,u \cdot {\bf n}~ \text{d}\Gamma\end{aligned}$$
On aboutit finalement à l'expression générale :
-$$\iiint\_{\Omega} (\alpha\\,{\bf grad}\\,u)\cdot{\bf grad}\\,v~\text{d}\Omega - \iint\_{\Gamma_n} v\\,\alpha\\,\gamma~\text{d}\Gamma - \iiint\_{\Omega} \beta\\,v ~\text{d}\Omega = \iint\_{\Gamma_d} v\\,\alpha\\,{\bf grad}\\,u \cdot {\bf n}~\text{d}\Gamma$$
+$$\iiint\_{\Omega} (\alpha\\,{\bf grad}\\,u)\cdot{\bf grad}\\,v~ \text{d}\Omega - \iint\_{\Gamma_n} v\\,\alpha\\,\gamma~ \text{d}\Gamma - \iiint\_{\Omega} \beta\\,v ~ \text{d}\Omega = \iint\_{\Gamma_d} v\\,\alpha\\,{\bf grad}\\,u \cdot {\bf n}~ \text{d}\Gamma$$
N'ayant aucune information sur le terme ${\bf grad}\\,u$ sur $\Gamma_d$, ce terme peut être gênant pour déterminer $u$, mais nous pouvons nous en affranchir en choisissant la fonction test $v$ nulle sur $\Gamma_d$. C'est-à-dire en prenant $v \in \text{H}\_0({\bf grad},\Omega)$ définit par :
@@ -109,7 +109,7 @@ Nous pouvons remarquer que $u \in \text{H}\_0({\bf grad},\Omega)$ aussi.
Nous obtenons alors la formulation faible (ou variationnelle) de notre problème :
Cherchons $u \in \text{H}\_0({\bf grad},\Omega)$, tel que :
-$$\boxed{\forall v \in \text{H}\_0({\bf grad},\Omega), \iiint\_{\Omega} (\alpha\\,{\bf grad}\\,u)\cdot{\bf grad}\\,v~\text{d}\Omega - \iiint\_{\Omega} \beta\\,v ~\text{d}\Omega - \iint\_{\Gamma_n} \alpha\\,\gamma\\,v~\text{d}\Gamma = 0}$$
+$$\boxed{\forall v \in \text{H}\_0({\bf grad},\Omega), \iiint\_{\Omega} (\alpha\\,{\bf grad}\\,u)\cdot{\bf grad}\\,v~ \text{d}\Omega - \iiint\_{\Omega} \beta\\,v ~ \text{d}\Omega - \iint\_{\Gamma_n} \alpha\\,\gamma\\,v~ \text{d}\Gamma = 0}$$
Pour simplifier la notation, on peut utiliser les produits scalaires définis en début de page, et le produit surfacique $\left<\cdot,\cdot\right>$ défini par :
$$\left<u,v\right>\_{\Gamma} = \iint\_{\Gamma} u\\,v\\,\text{d}\Gamma$$
@@ -140,7 +140,7 @@ Nous pouvons remarquer que, selon leur nature, les conditions aux limites sont t
Considérons maintenant la formulation forte suivante. Cherchons un champ vectoriel ${\bf u}$ de $\Omega$ vérifiant :
-$$\left\\{\begin{aligned}{\bf rot}\left(\alpha\\,{\bf rot}\\,{\bf u}\right) + \boldsymbol{\beta} &= {\bf 0}~, &\text{dans}~ \Omega\\\\ \left.{\bf u}\wedge{\bf n}\right\|_{\Gamma\_d} &= {\bf 0}~, &\text{sur}~ \Gamma\_d \\\\ \left.\frac{\partial\\,{\bf u}}{\partial {\bf n}}\right|\_{\Gamma_n} = \left.{\bf rot\\,u}\wedge{\bf n}\right|\_{\Gamma_n} &= \boldsymbol{\gamma}~, &\text{sur}~ \Gamma\_n \end{aligned}\right.$$
+$$\left\\{\begin{aligned}{\bf rot}\left(\alpha\\,{\bf rot}\\,{\bf u}\right) + \boldsymbol{\beta} & = {\bf 0}~ , &\text{dans}~ \Omega\\\\ \left.{\bf u}\wedge{\bf n}\right\|_{\Gamma\_d} &= {\bf 0}~ , &\text{sur}~ \Gamma\_d \\\\ \left.\frac{\partial\\,{\bf u}}{\partial {\bf n}}\right|\_{\Gamma_n} = \left.{\bf rot\\,u}\wedge{\bf n}\right|\_{\Gamma_n} &= \boldsymbol{\gamma}~ , &\text{sur}~ \Gamma\_n \end{aligned}\right.$$
où $\alpha \in \text{L}^2({\Omega})$, $\boldsymbol{\beta} \in \textbf{L}^2({\Omega})$ continûment différentiables sur $\Omega$ (voire $\overline{\Omega}$), et $\gamma \in \mathcal{C}^1(\Gamma_n)$.
@@ -149,24 +149,24 @@ où $\alpha \in \text{L}^2({\Omega})$, $\boldsymbol{\beta} \in \textbf{L}^2({\Om
Soit la fonction test ${\bf v}$ champ vectoriel quelconque de $\textbf{H}({\bf rot},\Omega)$. En prenant le produit scalaire de l'équation de la formulation forte par ${\bf v}$ et en intégrant sur tout le domaine, on obtient :
-$$\iiint\_{\Omega} \left({\bf rot}\left(\alpha\\,{\bf rot}\\,{\bf u}\right)\right)\cdot{\bf v}~\text{d} \Omega + \iiint\_{\Omega}\boldsymbol{\beta}\cdot{\bf v}~\text{d} \Omega = {\bf 0}$$
+$$\iiint\_{\Omega} \left({\bf rot}\left(\alpha\\,{\bf rot}\\,{\bf u}\right)\right)\cdot{\bf v}~ \text{d} \Omega + \iiint\_{\Omega}\boldsymbol{\beta}\cdot{\bf v}~ \text{d} \Omega = {\bf 0}$$
En utilisant la formule de Green en **rot-rot** :
$$\text{div}({\bf a}\wedge{\bf b}) = {\bf b}\cdot{\bf rot\\,a} - {\bf a}\cdot{\bf rot\\,b}$$
on peut intégrer par parties le terme de gauche pour obtenir :
-$$\iiint\_{\Omega} \left(\alpha\\,{\bf rot}\\,{\bf u}\right)\cdot{\bf rot\\, v}~\text{d} \Omega - \iiint\_{\Omega} \text{div}\\,\left(\alpha\\,{\bf rot\\,u}\wedge{\bf v}\right)~\text{d} \Omega + \iiint\_{\Omega}\boldsymbol{\beta}\cdot{\bf v}~\text{d} \Omega = {\bf 0}$$
+$$\iiint\_{\Omega} \left(\alpha\\,{\bf rot}\\,{\bf u}\right)\cdot{\bf rot\\, v}~ \text{d} \Omega - \iiint\_{\Omega} \text{div}\\,\left(\alpha\\,{\bf rot\\,u}\wedge{\bf v}\right)~ \text{d} \Omega + \iiint\_{\Omega}\boldsymbol{\beta}\cdot{\bf v}~ \text{d} \Omega = {\bf 0}$$
Après application du théorème de la divergence :
-$$\iiint\_{\Omega} \left(\alpha\\,{\bf rot}\\,{\bf u}\right)\cdot{\bf rot\\, v}~\text{d} \Omega - \oiint\_{\Gamma} \left(\alpha\\,{\bf rot\\,u}\wedge{\bf v}\right)\cdot{\bf n}~\text{d} \Gamma + \iiint\_{\Omega}\boldsymbol{\beta}\cdot{\bf v}~\text{d} \Omega = {\bf 0}$$
+$$\iiint\_{\Omega} \left(\alpha\\,{\bf rot}\\,{\bf u}\right)\cdot{\bf rot\\, v}~ \text{d} \Omega - \oiint\_{\Gamma} \left(\alpha\\,{\bf rot\\,u}\wedge{\bf v}\right)\cdot{\bf n}~ \text{d} \Gamma + \iiint\_{\Omega}\boldsymbol{\beta}\cdot{\bf v}~ \text{d} \Omega = {\bf 0}$$
En séparant les termes surfaciques et en remarquant que :
$$\begin{aligned}({\bf rot\\,u}\wedge{\bf v})\cdot{\bf n} &= {\bf n}\cdot({\bf rot\\,u}\wedge{\bf v}) = {\bf rot\\,u}\cdot({\bf v}\wedge{\bf n})\\\\ &= ({\bf n}\wedge{\bf rot\\,u})\cdot{\bf v} = - ({\bf rot\\,u}\wedge{\bf n})\cdot{\bf v}\end{aligned}$$
on obtient :
-$$\begin{aligned}\iiint\_{\Omega} \left(\alpha\\,{\bf rot}\\,{\bf u}\right)&\cdot{\bf rot\\, v}~\text{d} \Omega + \iiint\_{\Omega}\boldsymbol{\beta}\cdot{\bf v}~\text{d} \Omega \\\\ &+ \iint\_{\Gamma_n} \alpha\\,\underbrace{\left({\bf rot\\,u}\wedge{\bf n}\right)}_{\boldsymbol{\gamma}}\cdot{\bf v}~\text{d} \Gamma = \iint\_{\Gamma_d} \alpha\\,{\bf rot\\,u}\cdot\left({\bf v}\wedge{\bf n}\right)~\text{d} \Gamma \end{aligned}$$
+$$\begin{aligned}\iiint\_{\Omega} \left(\alpha\\,{\bf rot}\\,{\bf u}\right)&\cdot{\bf rot\\, v}~ \text{d} \Omega + \iiint\_{\Omega}\boldsymbol{\beta}\cdot{\bf v}~ \text{d} \Omega \\\\ &+ \iint\_{\Gamma_n} \alpha\\,\underbrace{\left({\bf rot\\,u}\wedge{\bf n}\right)}_{\boldsymbol{\gamma}}\cdot{\bf v}~ \text{d} \Gamma = \iint\_{\Gamma_d} \alpha\\,{\bf rot\\,u}\cdot\left({\bf v}\wedge{\bf n}\right)~ \text{d} \Gamma \end{aligned}$$
Comme précédemment, on peut éliminer le second terme surfacique en prenant la fonction test ${\bf v}$ et la fonction inconnue ${\bf u}$ dans $\textbf{H}\_0({\bf rot},\Omega)$ défini par :
@@ -176,7 +176,7 @@ On aboutit à la formulation faible de notre problème :
Cherchons ${\bf u} \in \textbf{H}\_0({\bf rot},\Omega)$ tel que :
$$\boxed{\begin{aligned}\forall\\,{\bf v} \in \textbf{H}\_0({\bf rot},\Omega),~
-\iiint\_{\Omega} &\left(\alpha\\,{\bf rot}\\,{\bf u}\right)\cdot{\bf rot\\, v}~\text{d} \Omega \\\\&+ \iiint\_{\Omega} \boldsymbol{\beta}\cdot{\bf v}~\text{d} \Omega + \iint\_{\Gamma_n} \alpha\\,\boldsymbol{\gamma}\cdot{\bf v}~\text{d} \Gamma = 0\end{aligned}}$$
+\iiint\_{\Omega} &\left(\alpha\\,{\bf rot}\\,{\bf u}\right)\cdot{\bf rot\\, v}~ \text{d} \Omega \\\\&+ \iiint\_{\Omega} \boldsymbol{\beta}\cdot{\bf v}~ \text{d} \Omega + \iint\_{\Gamma_n} \alpha\\,\boldsymbol{\gamma}\cdot{\bf v}~ \text{d} \Gamma = 0\end{aligned}}$$
Ou encore :
$$\boxed{\forall\\,{\bf v} \in \textbf{H}\_0({\bf rot},\Omega),~ \left(\alpha\\,{\bf rot\\,u},{\bf rot\\,v}\right)\_{\Omega} + \left(\boldsymbol{\beta},{\bf v}\right)\_{\Omega} + \left<\alpha\\,\boldsymbol{\gamma},{\bf v}\right>\_{\Gamma_n} = 0}$$
@@ -200,13 +200,13 @@ $$\displaystyle \forall v \in \text{H}\_0({\bf grad},\Omega), ~ \underbrace{\lef
$$\forall\\,{\bf v} \in \textbf{H}\_0({\bf rot},\Omega),~ \underbrace{\left(\alpha\\,{\bf rot\\,u},{\bf rot\\,v}\right)\_{\Omega}}\_{a({\bf u},{\bf v})} = \underbrace{- \left(\boldsymbol{\beta},{\bf v}\right)\_{\Omega} - \left<\alpha\\,\boldsymbol{\gamma},{\bf v}\right>\_{\Gamma_n}}\_{L({\bf v})} $$
-Où $a(\cdot,\cdot)$ est une forme bilinéaire continue et coercive, et $L(\cdot)$ une forme linéaire continue, définies sur $V \left(= \text{H}\_0({\bf grad},\Omega) ~\text{ou}~ \textbf{H}\_0({\bf rot},\Omega)\right)$.
+Où $a(\cdot,\cdot)$ est une forme bilinéaire continue et coercive, et $L(\cdot)$ une forme linéaire continue, définies sur $V \left(= \text{H}\_0({\bf grad},\Omega) ~ \text{ou}~ \textbf{H}\_0({\bf rot},\Omega)\right)$.
*Pour simplifier, on ne conservera que la notation correspodant au premier cas ($u$ et $v$) mais ce que nous dirons sera aussi valable pour le deuxième (avec ${\bf u}$ et ${\bf v}$).*
En fait, ce qu'on appelle formulation variationnelle du problème est cette forme, qu'on écrit :
-$$\boxed{\left\\{\begin{aligned}&\text{Trouver}~ u \in V ~\text{tel que :}\\\\ &a(u,v) = L(v),~ ~\forall\\,v \in V\end{aligned}\right.}$$
+$$\boxed{\left\\{\begin{aligned}&\text{Trouver}~ u \in V ~ \text{tel que :}\\\\ &a(u,v) = L(v),~ ~\forall\\,v \in V\end{aligned}\right.}$$
La forme bilinéaire $a$ étant symétrique, résoudre la forme variationnelle est équivalent à trouver le minimum de la fonctionnelle énergétique (quadratique) définie par :
diff --git a/module-web/content/principe/discret/_index.md b/module-web/content/principe/discret/_index.md
index 9937665..f75afc7 100644
--- a/module-web/content/principe/discret/_index.md
+++ b/module-web/content/principe/discret/_index.md
@@ -25,18 +25,18 @@ Pour illustrer les différents aspects abordés dans la suite, on utilisera l'ex
Nous avons donc un problème de Poisson avec conditions de Dirichlet et Neumann, dont la formulation forte peut s'écrire :
-$$\left\\{\begin{aligned} \text{div} \left({\bf grad}\\,u \right) + \beta &= 0, ~\text{dans}~\Omega\\\\ u\|\_{\Gamma\_d} &= 0\\\\ \partial\_n u\|\_{\Gamma\_n} &= \gamma = 1 \end{aligned}\right.$$
+$$\left\\{\begin{aligned} \text{div} \left({\bf grad}\\,u \right) + \beta &= 0, ~ \text{dans} ~ \Omega\\\\ u\|\_{\Gamma\_d} &= 0\\\\ \partial\_n u\|\_{\Gamma\_n} &= \gamma = 1 \end{aligned}\right.$$
avec $\beta$ définie par morceaux par :
-$$\left\\{\begin{aligned} \beta &= 1 ~ ~\text{ dans }~ ~ \Omega_s \\\\ \beta &= 0 ~ ~\text{ dans }~ ~ \Omega\/\Omega_s \end{aligned}\right.$$
+$$\left\\{\begin{aligned} \beta &= 1 ~ ~ \text{ dans } ~ ~ \Omega_s \\\\ \beta &= 0 ~ ~ \text{ dans } ~ ~ \Omega\/\Omega_s \end{aligned}\right.$$
Et d'après la section précédente, la formulation faible est :
-$$\begin{aligned}&\text{Trouver}~u \in \text{H}\_0({\bf grad},\Omega) = \left\\{ u \in \text{H}({\bf grad},\Omega) : u|\_{\Gamma_d} = 0\right\\} ~\text{tel que :}\\\\ &\forall v \in \text{H}\_0({\bf grad},\Omega), \iiint\_{\Omega} {\bf grad}\\,u \cdot{\bf grad}\\,v~\text{d}\Omega - \iiint\_{\Omega_s} v ~\text{d}\Omega - \iint\_{\Gamma_n} v~\text{d}\Gamma = 0\end{aligned}$$
+$$\begin{aligned}&\text{Trouver} ~ u \in \text{H}\_0({\bf grad},\Omega) = \left\\{ u \in \text{H}({\bf grad},\Omega) : u|\_{\Gamma_d} = 0\right\\} ~ \text{tel que :}\\\\ &\forall v \in \text{H}\_0({\bf grad},\Omega), \iiint\_{\Omega} {\bf grad}\\,u \cdot{\bf grad}\\,v ~\text{d}\Omega - \iiint\_{\Omega_s} v ~ \text{d}\Omega - \iint\_{\Gamma_n} v ~ \text{d}\Gamma = 0\end{aligned}$$
Soit :
-$$\boxed{\begin{aligned}&\text{Trouver}~u \in \text{H}\_0({\bf grad},\Omega)~\text{tel que :}\\\\ &\forall v \in \text{H}\_0({\bf grad},\Omega),~~ \underbrace{\left({\bf grad}\\,u,{\bf grad}\\,v\right)\_{\Omega} }\_{a(u,v)}+ \underbrace{\left(-1,v\right)\_{\Omega_s} + \left<-1,v\right>\_{\Gamma_n}}\_{-L(v)} = 0\end{aligned}}$$
+$$\boxed{\begin{aligned}&\text{Trouver} ~ u \in \text{H}\_0({\bf grad},\Omega) ~\text{tel que :}\\\\ &\forall v \in \text{H}\_0({\bf grad},\Omega), ~ ~ \underbrace{\left({\bf grad}\\,u,{\bf grad}\\,v\right)\_{\Omega} }\_{a(u,v)}+ \underbrace{\left(-1,v\right)\_{\Omega_s} + \left<-1,v\right>\_{\Gamma_n}}\_{-L(v)} = 0\end{aligned}}$$
$\rightsquigarrow$ C'est cette dernière que nous résoudrons par la suite.
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index e7816af..fa9133b 100644
--- a/module-web/content/principe/discret/basisfunctions.md
+++ b/module-web/content/principe/discret/basisfunctions.md
@@ -165,9 +165,9 @@ $$\begin{pmatrix}\partial_x\\\\\partial_y\\\\\partial_z\end{pmatrix} = \underbra
La matrice ${\bf J}$ est appelée **matrice jacobienne de transformation**. Les relations ci-dessus peuvent s'écrire sous forme plus compacte :
-$$\partial\_{\bf u} = {\bf J}\cdot\partial\_{\bf x},~ ~\text{avec :}~ ~ {\bf J} = \partial\_{\bf u}\\,{\bf x}$$
+$$\partial\_{\bf u} = {\bf J}\cdot\partial\_{\bf x},~ ~ \text{avec :}~ ~ {\bf J} = \partial\_{\bf u}\\,{\bf x}$$
-$$\partial\_{\bf x} = {\bf J^{-1}}\cdot\partial\_{\bf u},~ ~\text{avec :}~ ~ {\bf J^{-1}} = \partial\_{\bf x}\\,{\bf u}$$
+$$\partial\_{\bf x} = {\bf J^{-1}}\cdot\partial\_{\bf u},~ ~ \text{avec :}~ ~ {\bf J^{-1}} = \partial\_{\bf x}\\,{\bf u}$$
On rappelle au passage la formule de l'inverse :
diff --git a/module-web/content/principe/discret/galerkin.md b/module-web/content/principe/discret/galerkin.md
index 0ccb883..cef2cfe 100644
--- a/module-web/content/principe/discret/galerkin.md
+++ b/module-web/content/principe/discret/galerkin.md
@@ -11,12 +11,12 @@ math: "true"
Nous avons vu dans la section précédente que la forme faible de chaque problème considéré pouvait se mettre sous la forme :
-$$\left\\{\begin{aligned}~&\text{Trouver}~ u \in V ~\text{tel que :}\\\\ &a(u,v) = L(v),~ ~\forall\\,v \in V\end{aligned}\right.$$
+$$\left\\{\begin{aligned}~ &\text{Trouver}~ u \in V ~ \text{tel que :}\\\\ &a(u,v) = L(v),~ ~ \forall\\,v \in V\end{aligned}\right.$$
$V$ étant de dimension infinie, un tel problème est particulièrement difficile à résoudre. La méthode de Galerkin consiste à résoudre la formulation faible dans un sous-espace $V\_h \sub V$ de dimension finie $n_h$ possédant les mêmes propriétés, soit :
-$$\left\\{\begin{aligned}~&\text{Trouver}~ u\_h \in V\_h ~\text{tel que :}\\\\ &a(u\_h,v\_h) = L(v\_h),~ ~\forall\\,v\_h \in V\_h\end{aligned}\right.$$
+$$\left\\{\begin{aligned} ~ &\text{Trouver}~ u\_h \in V\_h ~ \text{tel que :}\\\\ &a(u\_h,v\_h) = L(v\_h),~ ~ \forall\\,v\_h \in V\_h\end{aligned}\right.$$
où $u_h$ est une solution approchée de la solution exacte $u$.
L'idée est de résoudre cette formulation à partir d'une base $(\varphi_1,\varphi_2,\dots,\varphi\_{n_h})$ de $V_h$. En décomposant $u_h$ dans cette base, on a :
@@ -25,10 +25,10 @@ $$u_h = \sum\limits\_{j=1}^{n\_h} u_j\\,\varphi_j$$
Le principe de la méthode de Galerkin est alors d'utiliser les fonctions de base $\varphi_i$ comme fonctions test dans la formulation faible. Ainsi :
-$$\begin{aligned}\forall i \in [\\![1,n\_h]\\!]~,~ &a\left(\sum\limits\_{j=1}^{n\_h} u_j\\,\varphi_j,\varphi_i\right) = L(\varphi_i)\\\\ & \sum\limits\_{j=1}^{n\_h} u_j\\,a(\varphi_j,\varphi_i) = L(\varphi_i)\end{aligned} $$
+$$\begin{aligned}\forall i \in [\\![1,n\_h]\\!]~ ,~ &a\left(\sum\limits\_{j=1}^{n\_h} u_j\\,\varphi_j,\varphi_i\right) = L(\varphi_i)\\\\ & \sum\limits\_{j=1}^{n\_h} u_j\\,a(\varphi_j,\varphi_i) = L(\varphi_i)\end{aligned} $$
Soit :
-$$\boxed{\forall i \in [\\![1,n\_h]\\!]~,~ \sum\limits\_{j=1}^{n\_h} a(\varphi_i,\varphi_j)\\,u_j = L(\varphi_i)}$$
+$$\boxed{\forall i \in [\\![1,n\_h]\\!]~ ,~ \sum\limits\_{j=1}^{n\_h} a(\varphi_i,\varphi_j)\\,u_j = L(\varphi_i)}$$
En définissant les vecteurs ${\bf U_h} = \left( u_i \right)\_{1\leq i \leq n_h}$ et ${\bf B\_h} = \big( L(\varphi_i) \big)\_{1\leq i \leq n\_h}$, et la matrice ${\bf A_h} = \big( a(\varphi_i,\varphi_j) \big)\_{1\leq i,j\leq n_h}$, le problème peut se mettre sous la forme matricielle :
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index 75fa769..ece49e9 100644
--- a/module-web/content/principe/discret/maillage.md
+++ b/module-web/content/principe/discret/maillage.md
@@ -173,5 +173,14 @@ Les exemples ci-dessus sont issus des thèses de :
> Pour plus d'informations, ou si vous envisagez la possibilité de faire une thèse, n'hésitez pas à me contacter, ainsi que mes collègues : les Professeurs N. Takorabet ou D. Netter.
+### Autres exemples
+On peut également utiliser des maillages beaucoup plus complexes, comme par exemple les deux ci-dessous qui me permettent de calculer des courants induits dans des têtes humaines (par exemple pour des travailleurs opérant à proximité de sources basse fréquence comme des pinces à souder) :
+
+| John Doe | Jane Doe |
+|:---:|:---:|
+|  |  |
+
+
+
diff --git a/module-web/content/principe/discret/resolution.md b/module-web/content/principe/discret/resolution.md
index 381eaec..e35e4ce 100644
--- a/module-web/content/principe/discret/resolution.md
+++ b/module-web/content/principe/discret/resolution.md
@@ -13,7 +13,7 @@ math: "true"
On rappelle l'approximation de la formulation faible à résoudre obtenue par la méthode de Galerkin :
-$$\forall i \in [\\![1,n\_h]\\!]~,~ \sum\limits\_{j=1}^{n\_h} a(\varphi_i,\varphi_j)\\,u_j = L(\varphi_i)$$
+$$\forall i \in [\\![1,n\_h]\\!]~ ,~ \sum\limits\_{j=1}^{n\_h} a(\varphi_i,\varphi_j)\\,u_j = L(\varphi_i)$$
Avec :
$$ a(\varphi_i,\varphi_j) = \iiint\_{\Omega} \alpha\\,{\bf grad}\\,\varphi_i \cdot {\bf grad}\\,\varphi_j~\text{d}\Omega$$
@@ -43,11 +43,11 @@ $$a_q(\varphi_k,\varphi_l) = \iiint_{K_r} \alpha\left({\bf x}({\bf u})\right)\\,
En utilisant les relations entre les gradients et la matrice jacobienne de transformation géométrique :
-$$a_q(\varphi_k,\varphi_l) = \iiint\_{K_r} \alpha\left({\bf x}({\bf u})\right)~\left({\bf J_q^{-1}}\\,{\bf grad}\\,p_k({\bf u})\right) \cdot \left({\bf J_q^{-1}}\\,{\bf grad}\\,p_l({\bf u})\right)\\,\text{det}\\,{\bf J_q}~\text{d}{\bf u}$$
+$$a_q(\varphi_k,\varphi_l) = \iiint\_{K_r} \alpha\left({\bf x}({\bf u})\right)~ \left({\bf J_q^{-1}}\\,{\bf grad}\\,p_k({\bf u})\right) \cdot \left({\bf J_q^{-1}}\\,{\bf grad}\\,p_l({\bf u})\right)\\,\text{det}\\,{\bf J_q}~\text{d}{\bf u}$$
Finalement :
-$$\boxed{a_q(\varphi_k,\varphi_l) = \text{det}\\,{\bf J_q} \iiint\_{K_r} \alpha\left({\bf x}({\bf u})\right)~{}^{\operatorname t}\left({\bf grad}\\,p_k({\bf u})\right)\\,{}^{\operatorname t}({\bf J_q^{-1}})\\,{\bf J_q^{-1}}\\,{\bf grad}\\,p_l({\bf u})~\text{d}{\bf u}}$$
+$$\boxed{a_q(\varphi_k,\varphi_l) = \text{det}\\,{\bf J_q} \iiint\_{K_r} \alpha\left({\bf x}({\bf u})\right)~ {}^{\operatorname t}\left({\bf grad}\\,p_k({\bf u})\right)\\,{}^{\operatorname t}({\bf J_q^{-1}})\\,{\bf J_q^{-1}}\\,{\bf grad}\\,p_l({\bf u})~ \text{d}{\bf u}}$$
Nous avons vu comment calculer ${\bf x}({\bf u})$, $\text{det}\\,{\bf J_q}$ et ${\bf J_q^{-1}}$ à la page précédente, et les gradients des fonctions de base se déterminent facilement à partir de leurs expressions.
diff --git a/module-web/content/principe/discret/whitney.md b/module-web/content/principe/discret/whitney.md
index 74c180d..d4263a4 100644
--- a/module-web/content/principe/discret/whitney.md
+++ b/module-web/content/principe/discret/whitney.md
@@ -36,7 +36,7 @@ On peut synthétiser l'ensemble dans la table suivante :
|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| $W^0$ | $\text{H}({\bf grad},\Omega)$ | $\\{s_n,~ n\in\mathcal{N_h}\\}$ | $s\_i({\bf x_j}) = \delta_{ij},~\forall i,j \in\mathcal{N}\_h$ | Valeur nodale | Élément nodal |
| $W^1$ | ${\bf H}({\bf rot},\Omega)$ | $\\{ {\bf s_a},~ a\in \mathcal{A_h}\\}$ | $\displaystyle \int\_j {\bf s_i}\cdot{\bf dl} = \delta_{ij},~\forall i,j \in\mathcal{A_h}$ | Circulation le long d'une arête | Élément d'arête |
-| $W^2$ | ${\bf H}(\text{div},\Omega)$ | $\\{ {\bf s_f},~ f\in \mathcal{F_h}\\}$ | $\displaystyle \iint\_j {\bf s_i}\cdot{\bf n}~\text{d}S = \delta_{ij},~\forall i,j \in\mathcal{F}\_h$ | Flux à travers une face | Élément de facette |
+| $W^2$ | ${\bf H}(\text{div},\Omega)$ | $\\{ {\bf s_f},~ f\in \mathcal{F_h}\\}$ | $\displaystyle \iint\_j {\bf s_i}\cdot{\bf n}~ \text{d}S =\delta_{ij},~ \forall i,j \in\mathcal{F}\_h$ | Flux à travers une face | Élément de facette |
| $W^3$ | $L^2(\Omega)$ | $\\{s_v,~ v\in\mathcal{V_h}\\}$ | $\displaystyle \iiint\_j s_i~\text{d}V = \delta_{ij},~\forall i,j \in\mathcal{V}\_h$ | Intégrale volumique | Élément de volume |
En procédant ainsi, on respecte la séquence vue sur les espaces continus, à savoir :
@@ -148,14 +148,14 @@ Ainsi, en décomposant nos approximations dans les bons espaces, on peut appliqu
On rappelle la formulation faible continue à résoudre :
-$$\left\\{\begin{aligned}&\text{Trouver}~{\bf u} \in\textbf{H}\_0({\bf rot},\Omega) ~\text{tel que :} \\\\ & \left(\alpha\\,{\bf rot\\,u},{\bf rot\\,v}\right)\_{\Omega} = - \left(\boldsymbol{\beta},{\bf v}\right)\_{\Omega} - \left<\alpha\\,\boldsymbol{\gamma},{\bf v}\right>\_{\Gamma_n},~ \forall\\,{\bf v} \in \textbf{H}\_0({\bf rot},\Omega) \end{aligned}\right.$$
+$$\left\\{\begin{aligned}&\text{Trouver}~ {\bf u} \in\textbf{H}\_0({\bf rot},\Omega) ~ \text{tel que :} \\\\ & \left(\alpha\\,{\bf rot\\,u},{\bf rot\\,v}\right)\_{\Omega} = - \left(\boldsymbol{\beta},{\bf v}\right)\_{\Omega} - \left<\alpha\\,\boldsymbol{\gamma},{\bf v}\right>\_{\Gamma_n},~ \forall\\,{\bf v} \in \textbf{H}\_0({\bf rot},\Omega) \end{aligned}\right.$$
Qui devient en discret :
-$$\left\\{\begin{aligned}&\text{Trouver}~{\bf u_h} \in W_0^1 ~\text{tel que :} \\\\ & \left(\alpha\\,{\bf rot\\,u_h},{\bf rot\\,v_h}\right)\_{\Omega} + \left(\boldsymbol{\beta},{\bf v_h}\right)\_{\Omega} + \left<\alpha\\,\boldsymbol{\gamma},{\bf v_h}\right>\_{\Gamma_n} = 0,~ \forall\\,{\bf v_h} \in W_0^1\end{aligned}\right.$$
+$$\left\\{\begin{aligned}&\text{Trouver}~ {\bf u_h} \in W_0^1 ~ \text{tel que :} \\\\ & \left(\alpha\\,{\bf rot\\,u_h},{\bf rot\\,v_h}\right)\_{\Omega} + \left(\boldsymbol{\beta},{\bf v_h}\right)\_{\Omega} + \left<\alpha\\,\boldsymbol{\gamma},{\bf v_h}\right>\_{\Gamma_n} = 0,~ \forall\\,{\bf v_h} \in W_0^1\end{aligned}\right.$$
Où $W_0^1 \in W^1$ est obtenu en annulant les degrés de liberté sur les arêtes appartenant à la frontière $\Gamma_d$. On constate que cela implique bien notre condition de bord :
-$$\left.{\bf u_h}\wedge{\bf n}\right\|_{\Gamma\_d} = {\bf 0}~, ~\text{sur}~ \Gamma\_d$$
+$$\left.{\bf u_h}\wedge{\bf n}\right\|_{\Gamma\_d} = {\bf 0}~ , ~ \text{sur}~ \Gamma\_d$$
La façon de procéder est identique à celle basée sur les éléments nodaux. Nous pouvons calculer les contributions de chaque arête élément par élément et les ajouter à la matrice de raideur globale ${\bf A_h}$, ou au vecteur second membre ${\bf B_h}$. On peut finalement résoudre le système obtenu, mais seulement après avoir implanté une condition de jauge comme expliqué ci-après. En effet, une telle formulation sous forme brute conduit à une matrice ${\bf A_h}$ singulière.
@@ -179,7 +179,7 @@ Dans le domaine discret, nous allons construire un **arbre**. C'est un ensemble
En rajoutant la condition de jauge d'arbre dans l'espace fonctionnel auquel appartient ${\bf u_h}$ (que nous noterons $W\_{0,\text{JA}}^1 \sub W_0^1$), nous pouvons alors résoudre notre formulation faible **rot-rot** qui s'exprime :
-$$\boxed{\left\\{\begin{aligned}&\text{Trouver}~{\bf u_h} \in W\_{0,\text{JA}}^1 ~\text{tel que :} \\\\ & \left(\alpha\\,{\bf rot\\,u_h},{\bf rot\\,v_h}\right)\_{\Omega} + \left(\boldsymbol{\beta},{\bf v_h}\right)\_{\Omega} + \left<\alpha\\,\boldsymbol{\gamma},{\bf v_h}\right>\_{\Gamma_n} = 0,~ \forall\\,{\bf v_h} \in W\_{0,\text{JA}}^1\end{aligned}\right.}$$
+$$\boxed{\left\\{\begin{aligned}&\text{Trouver}~ {\bf u_h} \in W\_{0,\text{JA}}^1 ~ \text{tel que :} \\\\ & \left(\alpha\\,{\bf rot\\,u_h},{\bf rot\\,v_h}\right)\_{\Omega} + \left(\boldsymbol{\beta},{\bf v_h}\right)\_{\Omega} + \left<\alpha\\,\boldsymbol{\gamma},{\bf v_h}\right>\_{\Gamma_n} = 0,~ \forall\\,{\bf v_h} \in W\_{0,\text{JA}}^1\end{aligned}\right.}$$
Cette façon de procéder est la plus efficace d'un point de vue numérique car elle permet de réduire la taille du système à résoudre (par annulation des degrés de liberté liés au arêtes de l'arbre). Cependant la solution obtenue perd son sens physique, seul son rotationnel pourra être interprété physiquement. Pour de plus amples compléments, je vous renvoie à [**\[Dula94\]** ](../../../ref/#dular).
@@ -196,24 +196,24 @@ $$\iiint\_{\Omega}\text{div}({\bf u})\\,\mu ~\text{d}V = 0$$
En utilisant la formule de Green en **grad**-div :
-$$\iiint\_{\Omega} {\bf u}\cdot{\bf grad}\\,\mu ~\text{d}V - \iiint\_{\Omega} \text{div}(\mu\\,{\bf u})~\text{d}V =0$$
+$$\iiint\_{\Omega} {\bf u}\cdot{\bf grad}\\,\mu ~ \text{d}V - \iiint\_{\Omega} \text{div}(\mu\\,{\bf u})~ \text{d}V =0$$
En appliquant le théorème de la divergence et en séparant les deux frontières :
-$$\iiint\_{\Omega} {\bf u}\cdot{\bf grad}\\,\mu ~\text{d}V - \iint\_{\Gamma_d} \mu\\,{\bf u}\cdot{\bf n}~\text{d}S - \iint\_{\Gamma_n} \mu\\,{\bf u}\cdot{\bf n}~\text{d}V =0$$
+$$\iiint\_{\Omega} {\bf u}\cdot{\bf grad}\\,\mu ~ \text{d}V - \iint\_{\Gamma_d} \mu\\,{\bf u}\cdot{\bf n}~ \text{d}S - \iint\_{\Gamma_n} \mu\\,{\bf u}\cdot{\bf n} ~ \text{d}V =0$$
Nous ne considérerons que le cas d'une condition de Neumann homogène sur $\Gamma_n$ $(\boldsymbol{\gamma} = 0)$, soit : $\left.{\bf rot\\,u}\wedge{\bf n}\right|\_{\Gamma_n} = 0$. On peut donc en déduire : $\left.{\bf u}\cdot{\bf n}\right|\_{\Gamma_n} = 0$. En choisissant $\mu = 0$ sur $\Gamma_d$, on annule le second terme surfacique.
Ainsi, notre condition de Jauge est équivalente à :
-$$\boxed{\iiint\_{\Omega} {\bf u}\cdot{\bf grad}\\,\mu ~\text{d}V = 0~,~ ~ \forall \\, \mu \in \text{H}_0({\bf grad},\Omega)}$$
+$$\boxed{\iiint\_{\Omega} {\bf u}\cdot{\bf grad}\\,\mu ~ \text{d}V = 0~ ,~ ~ \forall \\, \mu \in \text{H}_0({\bf grad},\Omega)}$$
Si nous ajoutons uniquement ce terme à la formulation faible initiale, nous nous trouverons face à une formulation avec une fonction inconnue et deux fonctions tests. Pour remédier à cela, nous devons introduire un multiplicateur de Lagrange $\lambda$. Ainsi la formulation variationnelle complète devient :
-$$\left\\{\begin{aligned}&\text{Trouver}~{\bf u} \in\textbf{H}\_0({\bf rot},\Omega),~\lambda \in \text{H}_0({\bf grad},\Omega) ~\text{tels que :} \\\\ &\left(\alpha\\,{\bf rot\\,u},{\bf rot\\,v}\right)\_{\Omega} + \left({\bf grad}\\,\lambda,{\bf v}\right)\_{\Omega} + \left(\boldsymbol{\beta},{\bf v}\right)\_{\Omega} = 0,~ \forall\\,{\bf v} \in \textbf{H}\_0({\bf rot},\Omega)\\\\ &\left({\bf u},{\bf grad}\\,\mu\right)\_{\Omega} = 0, \forall \\, \mu \in \text{H}_0({\bf grad},\Omega)\end{aligned}\right.$$
+$$\left\\{\begin{aligned}&\text{Trouver}~ {\bf u} \in\textbf{H}\_0({\bf rot},\Omega),~ \lambda \in \text{H}_0({\bf grad},\Omega) ~ \text{tels que :} \\\\ &\left(\alpha\\,{\bf rot\\,u},{\bf rot\\,v}\right)\_{\Omega} + \left({\bf grad}\\,\lambda,{\bf v}\right)\_{\Omega} + \left(\boldsymbol{\beta},{\bf v}\right)\_{\Omega} = 0,~ \forall\\,{\bf v} \in \textbf{H}\_0({\bf rot},\Omega)\\\\ &\left({\bf u},{\bf grad}\\,\mu\right)\_{\Omega} = 0, \forall \\, \mu \in \text{H}_0({\bf grad},\Omega)\end{aligned}\right.$$
La transcription dans le domaine discret est immédiate :
-$$\boxed{\left\\{\begin{aligned}&\text{Trouver}~{\bf u_h} \in W_0^1,~\lambda_h \in W_0^0~\text{tels que :} \\\\ &\left(\alpha\\,{\bf rot\\,u_h},{\bf rot\\,v_h}\right)\_{\Omega} + \left({\bf grad}\\,\lambda_h,{\bf v_h}\right)\_{\Omega} + \left(\boldsymbol{\beta},{\bf v_h}\right)\_{\Omega} = 0,~ \forall\\,{\bf v_h} \in W_0^1 \\\\ &\left({\bf u_h},{\bf grad}\\,\mu_h\right)\_{\Omega} = 0, \forall \\, \mu_h \in W_0^0 \end{aligned}\right.}$$
+$$\boxed{\left\\{\begin{aligned}&\text{Trouver}~ {\bf u_h} \in W_0^1,~ \lambda_h \in W_0^0~ \text{tels que :} \\\\ &\left(\alpha\\,{\bf rot\\,u_h},{\bf rot\\,v_h}\right)\_{\Omega} + \left({\bf grad}\\,\lambda_h,{\bf v_h}\right)\_{\Omega} + \left(\boldsymbol{\beta},{\bf v_h}\right)\_{\Omega} = 0,~ \forall\\,{\bf v_h} \in W_0^1 \\\\ &\left({\bf u_h},{\bf grad}\\,\mu_h\right)\_{\Omega} = 0, \forall \\, \mu_h \in W_0^0 \end{aligned}\right.}$$
Cette façon de procéder est plus lourde à résoudre : le système est beaucoup plus grand que le précédent car on a rajouté autant de degrés de liberté que de nœuds du maillage. Cependant, elle a le mérite de fournir une solution « plus physique » et plus facilement interprétable.
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