diff --git a/module-web/content/electromag/CL.md b/module-web/content/electromag/CL.md
index 8aea5446caff13ba21ba0b211aa6cb15ed378e54..4fb3689bda801ab579bb0221fe3fad16cfba192f 100644
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+++ b/module-web/content/electromag/CL.md
@@ -26,14 +26,14 @@ $$\oiint_{\partial v_c} {\bf b}\cdot{\bf d S} = 0$$
Soit, en développant et en multipliant par $\frac{1}{s}$ :
-$$\frac{1}{s} \iint_{s_1} {\bf b}\cdot(-{\bf n_{12}})~\text{d} S + \frac{1}{s} \iint_{s_2} {\bf b}\cdot{\bf n_{12}}~\text{d} S + \frac{1}{s} \iint_{s_l} {\bf b}\cdot{\bf d S} = 0$$
+$$\frac{1}{s} \iint_{s_1} {\bf b}\cdot(-{\bf n_{12}})~ \text{d} S + \frac{1}{s} \iint_{s_2} {\bf b}\cdot{\bf n_{12}}~\text{d} S + \frac{1}{s} \iint_{s_l} {\bf b}\cdot{\bf d S} = 0$$
Or :
$$\frac{1}{s} \iint_{s_l} {\bf b}\cdot{\bf d S} \leq \max_{s_l}(|\\!|{\bf b}|\\!|)\\,\frac{s_l}{s} = o(u)$$
Et :
-$$\left\\{\begin{aligned}\lim_{u \to 0}\left(\frac{1}{s} \iint_{s_1} {\bf b}\cdot(-{\bf n_{12}})~\text{d} S\right) &= - {\bf b_1}\cdot{\bf n_{12}}\\\ \lim_{u \to 0}\left(\frac{1}{s} \iint_{s_2} {\bf b}\cdot{\bf n_{12}}~\text{d} S\right) &= {\bf b_2}\cdot{\bf n_{12}}\end{aligned}\right.$$
+$$\left\\{\begin{aligned}\lim_{u \to 0}\left(\frac{1}{s} \iint_{s_1} {\bf b}\cdot(-{\bf n_{12}})~ \text{d} S\right) &= - {\bf b_1}\cdot{\bf n_{12}}\\\ \lim_{u \to 0}\left(\frac{1}{s} \iint_{s_2} {\bf b}\cdot{\bf n_{12}}~\text{d} S\right) &= {\bf b_2}\cdot{\bf n_{12}}\end{aligned}\right.$$
Où ${\bf b_1}$ et ${\bf b_2}$ sont les valeurs de l'induction au centre du cylindre approché respectivement depuis les milieux $\\#1$ ou $\\#2$.
diff --git a/module-web/content/electromag/RegHarmo.md b/module-web/content/electromag/RegHarmo.md
index 95a8bb15b58e71de8c0d521e817467349e3b3db0..b18d56bb6f4b5062331bce71e106c84b93aac739 100644
--- a/module-web/content/electromag/RegHarmo.md
+++ b/module-web/content/electromag/RegHarmo.md
@@ -21,7 +21,7 @@ où :
Nous pouvons alors définir le complexe $\underline{u}$ tel que :
-$$\boxed{u(t) \mapsto \underline{u} ~,~ \text{tel que : } u(t) = \mathcal{Re}\left[\sqrt{2}\\,\underline{u}\\,\text{e}^{j \omega t}\right] ~ , ~~ \text{soit :}~ ~\underline{u} = u_{\text{eff}}\\,\text{e}^{j \varphi}}$$
+$$\boxed{u(t) \mapsto \underline{u} ~ , ~ \text{tel que : } u(t) = \mathcal{Re}\left[ \sqrt{2} \\, \underline{u} \\, \text{e} ^{j \omega t}\right] ~ , ~~ \text{soit :} ~ ~ \underline{u} = u\_{\text{eff}} \\, \text{e}^{j \varphi}}$$
La valeur efficace et la phase suffisent à définir le nombre complexe représentatif du signal temporel, et sont respectivement son module et son argument.
@@ -31,7 +31,7 @@ $$\frac{\text{d}\\,u}{\text{d} t}(t) \mapsto j \omega \\,\underline{u}$$
Nous pouvons le vérifier :
-$$\begin{aligned}\frac{\text{d}\\,u}{\text{d} t}(t) &= - \omega\\,u_{\text{eff}}\\,\sqrt{2}\\,\sin(\omega\\,t+\varphi) \\\\ &= \omega\\,u_{\text{eff}}\\,\sqrt{2}\\,\cos(\omega\\,t+\varphi+\frac{\pi}{2}) \\\\ &= \mathcal{Re}\left[\sqrt{2}\\,\omega\\,u_{\text{eff}}\\,\text{e}^{j(\omega\\,t\varphi+\frac{\pi}{2})}\right] \\\\ &= \mathcal{Re}\left[\sqrt{2}\\, j \omega \\,u_{\text{eff}} \\,\text{e}^{j\varphi}\\,\text{e}^{j \omega t}\right] \\\\ &= \mathcal{Re}\left[\sqrt{2}\\, (j \omega \\,\underline{u})\\,\text{e}^{j \omega t}\right]\end{aligned}$$
+$$\begin{aligned}\frac{\text{d}\\,u}{\text{d} t}(t) &= - \omega\\,u_{\text{eff}}\\,\sqrt{2}\\,\sin(\omega\\,t+\varphi) \\\\ &= \omega\\,u_{\text{eff}}\\,\sqrt{2}\\,\cos(\omega\\,t+\varphi+\frac{\pi}{2}) \\\\ &= \mathcal{Re}\left[\sqrt{2}\\,\omega\\,u_{\text{eff}}\\, \text{e}^{j(\omega\\,t\varphi+\frac{\pi}{2})}\right] \\\\ &= \mathcal{Re}\left[\sqrt{2}\\, j \omega \\,u_{\text{eff}} \\,\text{e}^{j\varphi}\\,\text{e}^{j \omega t}\right] \\\\ &= \mathcal{Re}\left[\sqrt{2}\\, (j \omega \\,\underline{u})\\,\text{e}^{j \omega t}\right]\end{aligned}$$
@@ -50,7 +50,7 @@ Si nous considérons un système électromagnétique alimenté par des tensions
Par exemple, le champ magnétique sera :
-$$\begin{aligned}{\bf h}(x,y,z,t) &= {\bf h}(x,y,z)\\,\cos(\omega t + \varphi(x,y,z))\\\\ &= \sqrt{2}~{\bf h\_{\text{eff}}}(x,y,z)\\,\cos(\omega t + \varphi(x,y,z)) \\\\ &= \mathcal{Re}[\sqrt{2}~{\bf h\_{\text{eff}}}(x,y,z)\\,\text{e}^{j\varphi(x,y,z)}\\,\text{e}^{j\omega\\,t}]\end{aligned}$$
+$$\begin{aligned}{\bf h}(x,y,z,t) &= {\bf h}(x,y,z)\\,\cos(\omega t + \varphi(x,y,z))\\\\ &= \sqrt{2} ~ {\bf h\_{\text{eff}}}(x,y,z)\\,\cos(\omega t + \varphi(x,y,z)) \\\\ &= \mathcal{Re}[\sqrt{2}~{\bf h\_{\text{eff}}}(x,y,z)\\,\text{e}^{j\varphi(x,y,z)}\\,\text{e}^{j\omega\\,t}]\end{aligned}$$
Soit :
$$\underline{{\bf h}}(x,y,z) = {\bf h\_{\text{eff}}}(x,y,z)\\,\text{e}^{j\varphi(x,y,z)}$$
@@ -70,7 +70,7 @@ $$\left\\{\begin{aligned}\text{div}\\,\underline{\bf b} &= 0 \\\\ {\bf rot\\,\un
En régime harmonique, nous aurons :
-$$\begin{aligned} {\bf \underline{b}} &= \mu_0\mu_r\\,{\bf \underline{h}},~ ~ ~{\bf \underline{h}} = \nu\\,{\bf \underline{b}} \\\\ {\bf \underline{j}} &= \sigma\\,{\bf \underline{e}},~ ~ ~{\bf \underline{e}} = \rho\\,{\bf \underline{j}}\end{aligned}$$
+$$\begin{aligned} {\bf \underline{b}} &= \mu_0\mu_r\\,{\bf \underline{h}},~ ~ ~ {\bf \underline{h}} = \nu\\,{\bf \underline{b}} \\\\ {\bf \underline{j}} &= \sigma\\,{\bf \underline{e}},~ ~ ~ {\bf \underline{e}} = \rho\\,{\bf \underline{j}}\end{aligned}$$
{{% notice tip %}}
@@ -78,7 +78,7 @@ Les aimants étant des sources statiques, ils ne peuvent être considérés dans
{{% /notice %}}
{{% notice warning %}}
-Nous nous intéresserons principalmeent qu'aux problèmes où les lois de comportement sont linéaires. En effet, le cas non-linéaire est mal défini. Par exemple si ${\bf h}$ est sinusoïdal, alors ${\bf b}$ ne l'est pas en non-linéaire, et inversement (cf figure ci-dessous). Dans ces cas, on ne considère que les valeurs du fondamental des grandeurs (hypothèse du premier harmonique).
+Nous nous intéresserons principalement qu'aux problèmes où les lois de comportement sont linéaires. En effet, le cas non-linéaire est mal défini. Par exemple si ${\bf h}$ est sinusoïdal, alors ${\bf b}$ ne l'est pas en non-linéaire, et inversement (cf figure ci-dessous). Dans ces cas, on ne considère que les valeurs du fondamental des grandeurs (hypothèse du premier harmonique).
Il existe des techniques permettant de traiter ce type de problèmes de façon approchée (en prenant également l'influence de la largeur du cycle d'hystérésis) en définissant par exemple des perméabilités complexes qui permettent de déduire la valeur du fondamental de l'induction associée (via son module) et le déphasage (via son argument), mais nous ne les traiterons pas dans le cadre de ce cours.
{{% /notice %}}
diff --git a/module-web/content/electromag/grandglob/energies.md b/module-web/content/electromag/grandglob/energies.md
index fa524bbe8bc360276ccb4f8071afe882a81b5ebe..179cd9a270cc728e77d54e7c9e197dc99d10e85b 100644
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@@ -148,9 +148,9 @@ $$W\_{mag} = \iiint_V \frac{1}{2}\\,{\bf h}\cdot{\bf b}\\,\text{d} V $$
On peut développer avec une identité vectorielle :
$${\bf h}\cdot{\bf b}={\bf h}\cdot{\bf rot\\,a}={\bf rot\\,h}\cdot{\bf a}-\text{div}({\bf h}\wedge{\bf a})$$
Ainsi :
-$$W\_{mag} = \frac{1}{2}\left(\iiint_V {\bf rot\\,h}\cdot{\bf a}-\text{div}({\bf h}\wedge{\bf a})\\,\text{d} V \right)$$
+$$W\_{mag} = \frac{1}{2}\left(\iiint_V {\bf rot\\,h}\cdot{\bf a}-\text{div}({\bf h}\wedge{\bf a})\\,\text{d} V \right)$$
En réinjectant Maxwell-Ampère et en appliquant le théorème de la divergence, on obtient :
-$$W\_{mag} = \frac{1}{2}\left(\iiint_{V_c} {\bf a}\cdot{\bf j}~\text{d} V + \oiint\limits\_{S=\partial V} ({\bf a}\wedge{\bf h})\cdot{\bf d S} \right)$$
+$$W\_{mag} = \frac{1}{2}\left(\iiint_{V_c} {\bf a}\cdot{\bf j}~ \text{d} V + \oiint\limits\_{S=\partial V} ({\bf a}\wedge{\bf h})\cdot{\bf d S} \right)$$
On notera que l'intégrale volumique se limite au domaine conducteur $V_c$ (seul siège de courants).
Ainsi, pour un système électromagnétique contenu dans un volume choisi suffisamment grand pour que l'influence des sources soient négligeable sur la frontière (${\bf a}$ et/ou ${\bf h}$ nul), on obtient finalement :
$$\boxed{W\_{mag} = \frac{1}{2} \\, \iiint_{V_c} {\bf a}\cdot{\bf j}~\text{d} V}$$
@@ -171,7 +171,7 @@ Graphiquement, on peut ainsi représenter les densités correspondantes sur la f
Alors :
-$${w}\_{mag} = \int\_{b\_r}^{b} {\bf h}\cdot{\bf d b},~ ~\text{et}~ ~\widetilde{w}\_{mag} = \int\_{-h_c}^{h} {\bf b}\cdot{\bf d h}$$
+$${w}\_{mag} = \int\_{b\_r}^{b} {\bf h}\cdot{\bf d b},~ ~ \text{et} ~ ~\widetilde{w}\_{mag} = \int\_{-h_c}^{h} {\bf b}\cdot{\bf d h}$$
Dans le cas classique de matériaux très durs où la courbe ci-dessus peut être assimilée à une droite, on a ainsi :
@@ -183,7 +183,7 @@ $$\begin{aligned}\widetilde{w}\_{mag} &= \int\_{-h_c}^{h} \mu_a\\,({\bf h+h_c})\
{{% notice warning %}}
Chose un peu surprenante, l'expression des densités d'énergie et coénergie magnétiques dans un aimant permanent est l'inverse de celles dans les autres matériaux. Soit :
-$$\boxed{w_{mag} = \frac{\mu_a\\,|\\!|{\bf h}|\\!|^2}{2}}~ ~\text{et}~ ~\boxed{\widetilde{w}\_{mag}=\frac{|\\!|{\bf b}|\\!|^2}{2\\,\mu_a}}$$
+$$\boxed{w_{mag} = \frac{\mu_a\\,|\\!|{\bf h}|\\!|^2}{2}}~ ~ \text{et} ~ ~\boxed{\widetilde{w}\_{mag}=\frac{|\\!|{\bf b}|\\!|^2}{2\\,\mu_a}}$$
{{% /notice %}}
@@ -211,7 +211,7 @@ $$\boxed{W\_{el} = \frac{1}{2} \iiint_{V_q} \rho_q\\,v~\text{d} V}$$
{{% notice note %}}
On aurait pu donner l'ensemble des relations possibles en considérant le cas non-linéaire, mais nous ne l'avons pas fait par souci de concision. On peut quand même fournir les densités volumiques d'énergie qui pourront, le cas échéant servir de point de départ :
-$$w\_{el} = \int_{0}^{d} {\bf e}\cdot{\bf d\\,d},~ ~ ~\text{et}~ ~ ~ ~\widetilde{w}\_{el} = \int_{0}^{e} {\bf d}\cdot{\bf d\\,e}$$
+$$w\_{el} = \int_{0}^{d} {\bf e}\cdot{\bf d\\,d},~ ~ ~ \text{et} ~ ~ ~ ~\widetilde{w}\_{el} = \int_{0}^{e} {\bf d}\cdot{\bf d\\,e}$$
{{% /notice %}}
diff --git a/module-web/content/electromag/grandglob/forces.md b/module-web/content/electromag/grandglob/forces.md
index 095ab7b76ba0adc3777bee35bb670e89723194fb..0c0e525fb5b4fa6c0a31e7a9a3eb2db1449e175b 100644
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@@ -80,7 +80,7 @@ $$\boxed{\frac{\partial\\,\mathcal{f}}{\partial t} = -\mathcal{s}\\,\frac{\parti
En considérant que notre système est le siège d'effets purement magnétiques, la variation de la densité d'**énergie libre magnétique** (qu'on notera dans ce cas $f_m$) ne contient plus que les termes suivants :
-$$\text{d}\\,\mathcal{f_m} = -\mathcal{s}~\text{d}\\,T + {\bf h}\cdot{\bf d b} = -\mathcal{s}~\text{d}\\,T + \text{d}\\,w_{mag}$$
+$$\text{d}\\,\mathcal{f_m} = -\mathcal{s}~ \text{d} \\,T + {\bf h}\cdot{\bf d b} = -\mathcal{s}~\text{d}\\,T + \text{d}\\,w_{mag}$$
{{% notice note %}}
On remarque donc le lien entre énergie libre et énergie magnétique. À température fixée, les deux sont identiques. En fait, compte tenu de la différence d'ordre de grandeur des constantes de temps thermiques et électromagnétiques, **on pourra toujours considérer que l'énergie magnétique telle que nous l'avons définie est l'énergie libre du système**.
@@ -117,7 +117,7 @@ Alors :
$$\text{d}\\,\mathcal{g_m} = -\mathcal{s}~\text{d}\\,T + \cancel{{\bf h}\cdot{\bf d b}} - \cancel{{\bf h}\cdot{\bf d b}} - {\bf b}\cdot{\bf d h}$$
Soit :
-$$\text{d}\\,\mathcal{g_m} = -\mathcal{s}~\text{d}\\,T - {\bf b}\cdot{\bf d h} = -\mathcal{s}~\text{d}\\,T - \text{d}\\,\widetilde{w}\_{mag}$$
+$$\text{d}\\,\mathcal{g_m} = -\mathcal{s}~\text{d}\\,T - {\bf b}\cdot{\bf d h} = -\mathcal{s} ~ \text{d}\\,T - \text{d}\\,\widetilde{w}\_{mag}$$
Cette nouvelle grandeur énergétique $\mathcal{G_m}$, de densité volumique $\mathcal{g_m}$ est l'**enthalpie libre magnétique** (ou **énergie libre de Gibbs**) du système.
@@ -153,7 +153,7 @@ $$\Gamma = - \left(\frac{\partial\\,W\_{mag}}{\partial\\,\alpha_0}\right)\_{\var
Dans le cas de phénomènes électrostatiques, la densité volumique d'énergie libre électrostatique $\mathcal{f_e}$ est, d'après ce qui précède :
-$$\text{d}\\,\mathcal{f_e} = -\mathcal{s}~\text{d}\\,T + {\bf e}\cdot{\bf d\\,d} = -\mathcal{s}~\text{d}\\,T + \text{d}\\,w_{el}$$
+$$\text{d}\\,\mathcal{f_e} = -\mathcal{s}~ \text{d} \\,T + {\bf e}\cdot{\bf d\\,d} = -\mathcal{s}~\text{d}\\,T + \text{d}\\,w_{el}$$
#### Température et charges constantes
@@ -186,7 +186,7 @@ Alors :
$$\text{d}\\,\mathcal{g_e} = -\mathcal{s}~\text{d}\\,T + \cancel{{\bf e}\cdot{\bf d\\,d}} - \cancel{{\bf e}\cdot{\bf d\\,d}} - {\bf d}\cdot{\bf d e}$$
Soit :
-$$\text{d}\\,\mathcal{g_e} = -\mathcal{s}~\text{d}\\,T - {\bf d}\cdot{\bf d e} = -\mathcal{s}~\text{d}\\,T - \text{d}\\,\widetilde{w}\_{el}$$
+$$\text{d}\\,\mathcal{g_e} = -\mathcal{s} ~ \text{d}\\,T - {\bf d}\cdot{\bf d e} = -\mathcal{s}~\text{d}\\,T - \text{d}\\,\widetilde{w}\_{el}$$
Cette nouvelle grandeur énergétique $\mathcal{G_e}$, de densité volumique $\mathcal{g_e}$ est l'**enthalpie libre électrostatique** (ou **énergie libre de Gibbs**) du système.
@@ -238,7 +238,7 @@ $${\bf f_{em}} = \overline{\text{div}}\\,\overline{\overline{{\bf T}}}$$
Ainsi, la force totale ${\bf F_{em}}$ s'exerçant sur un sous-domaine quelconque $\Omega \subset V$ peut se réduire à l'intégrale surfacique de $\overline{\overline{{\bf T}}}$ sur son bord $\partial \Omega$ via le théorème de la divergence :
-$${\bf F\_{em}} = \iiint\_{\Omega} {\bf f\_{em}}~\text{d} V = \iiint\_{\Omega} \overline{\text{div}}\\,\overline{\overline{{\bf T}}}~\text{d} V = \oiint\_{\partial \Omega} \overline{\overline{{\bf T}}}\cdot{\bf d S}$$
+$${\bf F\_{em}} = \iiint\_{\Omega} {\bf f\_{em}} ~ \text{d} V = \iiint\_{\Omega} \overline{\text{div}}\\,\overline{\overline{{\bf T}}}~\text{d} V = \oiint\_{\partial \Omega} \overline{\overline{{\bf T}}}\cdot{\bf d S}$$
Le tenseur ainsi défini n'est pas unique et peut comprendre des termes difficiles à évaluer, en particulier aux interfaces entre les différents milieux. Mais on peut simplifier grandement les choses en :
* **choisissant un domaine $\Omega$ entourant entièrement l'élément sur lequel on veut calculer les forces**,
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index 069ecff784dd49b3ebac9593c46dbdaff0a16265..9b75fecc172b7aeb79a271f1c17534bdfe1e1d28 100644
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@@ -33,7 +33,7 @@ $\implies {\bf b}$ **est à flux conservatif.**
En appliquant le même théorème à l'induction électrique ${\bf d}$ sur le même volume $V$, et en y injectant l'équation de Maxwell-Gauss :
-$$\oiint_S {\bf d}\cdot{\bf dS} = \iiint_V \text{div}\\,{\bf d}~\text{d} V = \iiint_V \rho_q~\text{d} V $$
+$$\oiint_S {\bf d}\cdot{\bf dS} = \iiint_V \text{div}\\, {\bf d}~\text{d} V = \iiint_V \rho_q ~ \text{d} V $$
Soit :
diff --git a/module-web/content/electromag/potentiels.md b/module-web/content/electromag/potentiels.md
index d08e0d056af7bbebb881f42afe15f00b289273ec..86aa4921aa3e1bf0e5b7f6f5947a8d90ef912ac1 100644
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@@ -38,9 +38,11 @@ Même avec la condition de jauge, on remarque que le potentiel est encore défin
Dans le cas de problèmes magnétiques, nous avons besoin de connaître les sources, donc ${\bf j}$, donc ${\bf e}$, dans les domaines conducteurs ($\Omega_c$).
Substituons alors l'expression précédente dans l'équation de Maxwell-Faraday :
-$${\bf rot\\,e} = -\frac{\partial}{\partial t}\\,({\bf rot\\,a}) \Leftrightarrow {\bf rot}\\,\left({\bf e} + \frac{\partial\\,{\bf a}}{\partial t}\right) = 0$$
-$$\Leftrightarrow \exists~v \in \Omega_c : {\bf e} + \frac{\partial\\,{\bf a}}{\partial t} = -{\bf grad}\\,v$$
-Soit : $$\exists~v \in \Omega_c : {\bf e} = -{\bf grad}\\,v - \frac{\partial\\,{\bf a}}{\partial t}$$
+$${\bf rot\\,e} = -\frac{\partial}{\partial t}\\,({\bf rot\\,a}) \Leftrightarrow {\bf rot}\\,\left({\bf e} + \frac{\partial\\,{\bf a}}{\partial t}\right) = 0$$
+
+$$\Leftrightarrow \exists~v \in \Omega_c : {\bf e} + \frac{\partial\\,{\bf a}}{\partial t} = -{\bf grad}\\,v$$
+
+Soit : $$\exists~v \in \Omega_c : {\bf e} = -{\bf grad}\\,v - \frac{\partial\\,{\bf a}}{\partial t}$$
$v$ est appelé **potentiel scalaire électrique**.
{{% notice note %}}
@@ -63,7 +65,7 @@ avec $v$, le **potentiel scalaire électrique**.
## Potentiel vecteur électrique ${\bf t}$
Nous avons déjà vu que l'équation Maxwell-Ampère impliquait la loi de nœuds locale. En partant de cette dernière, nous avons :
-$$\text{div}\\,{\bf j} = 0 \Leftrightarrow \exists~{\bf t} \in \Omega_c : {\bf j} = {\bf rot\\,t}$$
+$$\text{div}\\,{\bf j} = 0 \Leftrightarrow \exists~{\bf t} \in \Omega_c : {\bf j} = {\bf rot\\,t}$$
${\bf t}$ est appelé **potentiel vecteur électrique**.
{{% notice note %}}
@@ -79,12 +81,16 @@ Dans le troisième chapitre, Nous verrons aussi que, parfois, nous préférerons
## Potentiel scalaire magnétique ${\bf \phi}$
-En utilisant le potentiel ${\bf t}$, on peut développer Maxwell-Ampère comme :
-$${\bf rot\\,h} = \left\\{\begin{array}{c l} {\bf rot\\,t}~ &\text{dans}~\Omega_c\\\ {\bf 0}~ &\text{dans}~\Omega\setminus\Omega_c\end{array}\right.$$
+En utilisant le potentiel ${\bf t}$, on peut développer Maxwell-Ampère comme :
+
+$$ {\bf rot\\,h} = \left\\{\begin{array}{c l} {\bf rot\\,t}~ &\text{dans~} \Omega_{c} \\\\ {\bf 0}~ &\text{dans~} \Omega\setminus\Omega_{c} \end{array}\right.$$
Ainsi :
-$$\left\\{\begin{array}{r l} {\bf rot}\\,({\bf h - t}) = {\bf 0}~ &\text{dans}~\Omega_c\\\ {\bf rot\\,h} = {\bf 0}~ &\text{dans}~\Omega\setminus\Omega_c\end{array}\right.$$
-$$\Leftrightarrow\exists~\phi\in\Omega : \left\\{\begin{array}{l l}{\bf h}={\bf t}-{\bf grad}\\,\phi & \text{dans}~\Omega_c\\\ {\bf h}= -{\bf grad}\\,\phi & \text{dans}~\Omega\setminus \Omega_c\end{array}\right.$$
+
+$$\left\\{\begin{array}{r l} {\bf rot}\\,({\bf h - t}) = {\bf 0}~ &\text{dans~} \Omega_c\\\ {\bf rot\\,h} = {\bf 0}~ &\text{dans~} \Omega\setminus\Omega_c\end{array}\right.$$
+
+$$\Leftrightarrow\exists~\phi\in\Omega : \left\\{\begin{array}{l l}{\bf h}={\bf t}-{\bf grad}\\,\phi & \text{dans~} \Omega_c\\\ {\bf h}= -{\bf grad}\\,\phi & \text{dans~} \Omega\setminus \Omega_c\end{array}\right.$$
+
$\phi$ est appelé **potentiel scalaire magnétique**.
{{% notice tip %}}
diff --git a/module-web/content/electromag/synthese.md b/module-web/content/electromag/synthese.md
index 9d13cf35b344023ba8131beab3125b436ee9eab1..20897e0a6911111dfc2db79647317120646e1414 100644
--- a/module-web/content/electromag/synthese.md
+++ b/module-web/content/electromag/synthese.md
@@ -18,7 +18,7 @@ On pourra penser à calculer le potentiel scalaire électrique $v$.
{{% /expand%}}
{{% expand "Cliquer pour afficher la solution" %}}
-$v(z) = \frac{U}{L}\\,z~$, $~{\bf j} = -\sigma\\,\frac{U}{L}\\,{\bf e_z}~$, $~R = \rho\\,\frac{L}{S} = \frac{1}{\sigma}\\,\frac{L}{S}$
+$v(z) = \frac{U}{L}\\,z~ $, $ ~ {\bf j} = -\sigma\\,\frac{U}{L}\\,{\bf e_z}~ $, $ ~ R = \rho\\,\frac{L}{S} = \frac{1}{\sigma}\\,\frac{L}{S}$
{{% /expand%}}
@@ -37,7 +37,7 @@ Les deux étant constitués de deux électrodes séparées par un milieu diélec
{{% expand "Cliquer pour afficher la solution" %}}
* Cas plan : $$C = \varepsilon_0\varepsilon_r\\,\frac{a\\,b}{h}$$
-* Cas cylindrique : $$C = \varepsilon_0\varepsilon_r\\, \frac{2\\,\pi\\,h}{\ln\left(\frac{R+e}{R}\right)}$$
+* Cas cylindrique : $$C = \varepsilon_0\varepsilon_r \\, \frac{2\\,\pi\\,h}{\ln\left(\frac{R+e}{R}\right)}$$
{{% /expand%}}
---
@@ -559,7 +559,7 @@ end
```
{{% notice note %}}
-Cet exercice est adapté de la [**ventouse magnétique de fermeture de porte**](https://cours.jufont.net/ensem/tp-femm/ventouse.html) des TP FEMM de l'EC S8-A4-EC2.
+Cet exercice est adapté de la [**ventouse magnétique de fermeture de porte**](https://cours.jufont.net/ensem/tp-femm/ventouse.html) des TP FEMM de l'EC S8-B11-EC2.
{{% /notice %}}
{{% expand "Cliquer pour afficher la solution" %}}
diff --git a/module-web/content/formulaire.md b/module-web/content/formulaire.md
index 7bff04bc563ab8dce3c1d0449e4f717e6b4d66eb..5b69d15924801feeb978b56813c7d0c72b1a161f 100644
--- a/module-web/content/formulaire.md
+++ b/module-web/content/formulaire.md
@@ -69,4 +69,6 @@ $$\text{com}\\,{}^{\operatorname t}{\bf M} = {}^{\operatorname t}\text{com}\\,{\
$${\bf M}\cdot{\bf a}\wedge{\bf M}\cdot{\bf b} = \text{com}\\,{\bf M} \cdot ({\bf a}\wedge{\bf b})$$
-$$\text{Soit :}~ ~{\bf M} = \begin{pmatrix} {\bf c_1} & {\bf c_2} & {\bf c_3}\end{pmatrix} , ~ ~\text{alors :}~ ~ \det\\,{\bf M} = {\bf c_1}\cdot ({\bf c_2}\wedge{\bf c_3})$$
+$$\text{Soit :}~ ~ {\bf M} = \begin{pmatrix} {\bf c_1} & {\bf c_2} & {\bf c_3}\end{pmatrix} , ~ ~ \text{alors :}~ ~ \det\\,{\bf M} = {\bf c_1}\cdot ({\bf c_2}\wedge{\bf c_3})$$
+
+
diff --git "a/module-web/content/mefem/Magn\303\251todynamique/_index.md" "b/module-web/content/mefem/Magn\303\251todynamique/_index.md"
index 32bbbfd580321c160970a53059f737f888ede082..ab79974c1f4fe17e3dd4114f925ea0a50cef63a6 100644
--- "a/module-web/content/mefem/Magn\303\251todynamique/_index.md"
+++ "b/module-web/content/mefem/Magn\303\251todynamique/_index.md"
@@ -26,7 +26,7 @@ Le potentiel vecteur magnétique ${\bf a}$ est défini comme précédemment et d
On peut donc définir dans $\Omega_c$ un champ scalaire $v$, potentiel scalaire électrique tel que ${\bf e}-\frac{\partial\\,{\bf a}}{\partial t} = - {\bf grad}\\,v$, soit : $$ {\bf e} = -{\bf grad}\\,v - \frac{\partial\\,{\bf a}}{\partial t}$$
Et finalement, l'équation de Maxwell-Ampère dans $\Omega_c$ donne :
-$${\bf rot}\\,\left( \mu^{-1}{\bf rot\\,a}\right) = \left\\{\begin{aligned}-\sigma\left({\bf grad}\\,v + \frac{\partial\\,{\bf a}}{\partial t}\right) ~ &~\text{dans }\Omega\_c\\\\{\bf 0}~ &~\text{ailleurs}\end{aligned}\right.$$
+$${\bf rot}\\,\left( \mu^{-1}{\bf rot\\,a}\right) = \left\\{\begin{aligned}-\sigma\left({\bf grad}\\,v + \frac{\partial\\,{\bf a}}{\partial t}\right) ~ &~ \text{dans }\Omega\_c\\\\{\bf 0}~ &~ \text{ailleurs}\end{aligned}\right.$$
La deuxième relation permettant de résoudre est la conservation de la densité de courant dans $\Omega_c$ :
$$\text{div}\left( \sigma\left({\bf grad}\\,v + \frac{\partial\\,{\bf a}}{\partial t}\right)\right) = 0$$
@@ -40,7 +40,6 @@ En combinant les différentes approches vues dans les sections précédentes, on
Trouver ${\bf a} \in \textbf{H}\_{0}({\bf rot},\Omega) = \\{ {\bf a} \in \textbf{H}({\bf rot},\Omega) : {\bf a}\wedge{\bf n}\|\_{\Gamma_{d}} = 0\\}$ et $v \in \text{H}\_{0}({\bf grad},\Omega) = \\{ u \in \text{H}({\bf grad},\Omega) : u\|\_{\Gamma_{di}} = v_i\\}$, tels que :
-$$\left\\{\begin{aligned}\left(\mu^{-1}\\,{\bf rot}\\,{\bf a}\\,,\\,{\bf rot}\\,{\bf a'}\right)\_{\Omega} + \left(\sigma\\,\partial_t\\,{\bf a}\\,,\\,{\bf a'}\right)\_{\Omega_c} + \left( \sigma\\,{\bf grad}\\,v \\,,\\, {\bf a'}\right)\_{\Omega\_c} = 0,~ ~\forall\\,{\bf a'} \in \textbf{H}\_{0}({\bf rot},\Omega) \\\\ (\sigma\\,{\bf grad}\\,v \\,,\\, {\bf grad}\\,v')\_{\Omega\_c} + (\sigma\\,\partial_t\\,{\bf a} \\,,\\, {\bf grad}\\,v')_{\Omega\_c} = 0,~ ~\forall\\, v' \in \text{H}\_{0}({\bf grad},\Omega)\end{aligned}\right.$$
-
-<br>
+$$\left\\{\begin{aligned}\left(\mu^{-1}\\,{\bf rot}\\,{\bf a}\\,,\\,{\bf rot}\\,{\bf a'}\right)\_{\Omega} + \left(\sigma\\,\partial_t\\,{\bf a}\\,,\\,{\bf a'}\right)\_{\Omega_c} + \left( \sigma\\,{\bf grad}\\,v \\,,\\, {\bf a'}\right)\_{\Omega\_c} = 0,~ ~ \forall\\,{\bf a'} \in \textbf{H}\_{0}({\bf rot},\Omega) \\\\ (\sigma\\,{\bf grad}\\,v \\,,\\, {\bf grad}\\,v')\_{\Omega\_c} + (\sigma\\,\partial_t\\,{\bf a} \\,,\\, {\bf grad}\\,v')_{\Omega\_c} = 0,~ ~\forall\\, v' \in \text{H}\_{0}({\bf grad},\Omega)\end{aligned}\right.$$
+
diff --git "a/module-web/content/mefem/Magn\303\251todynamique/magnetoharm.md" "b/module-web/content/mefem/Magn\303\251todynamique/magnetoharm.md"
index b3cea706c0d8667b4d3d26197c6cec77dae36614..dbb361ad7871ffbb6f6a06e524f2b11e680efe6a 100644
--- "a/module-web/content/mefem/Magn\303\251todynamique/magnetoharm.md"
+++ "b/module-web/content/mefem/Magn\303\251todynamique/magnetoharm.md"
@@ -12,7 +12,7 @@ La formulation faible à résoudre est alors :
Trouver $\underline{\bf a} \in \textbf{H}\_{0}({\bf rot},\Omega) = \\{ \underline{\bf a} \in \textbf{H}({\bf rot},\Omega) : \underline{\bf a}\wedge{\bf n}\|\_{\Gamma_{d}} = 0\\}$ et $\underline{v} \in \text{H}\_{0}({\bf grad},\Omega) = \\{ \underline{u} \in \text{H}({\bf grad},\Omega) : \underline{u}\|\_{\Gamma_{di}} = \underline{v_i}\\}$, tels que :
-$$\left\\{\begin{aligned}\left(\mu^{-1}\\,{\bf rot}\\,\underline{\bf a}\\,,\\,{\bf rot}\\,\underline{\bf a'}\right)\_{\Omega} + \left(\sigma\\,j\omega\\,\underline{\bf a}\\,,\\,\underline{\bf a'}\right)\_{\Omega_c} + \left( \sigma\\,{\bf grad}\\,\underline{v} \\,,\\, \underline{\bf a'}\right)\_{\Omega\_c} = 0,~ ~\forall\\,\underline{\bf a'} \in \textbf{H}\_{0}({\bf rot},\Omega) \\\\ (\sigma\\,{\bf grad}\\,\underline{v} \\,,\\, {\bf grad}\\,\underline{v'})\_{\Omega\_c} + (\sigma\\,j\omega\\,\underline{\bf a} \\,,\\, {\bf grad}\\,\underline{v'})_{\Omega\_c} = 0,~ ~\forall\\, \underline{v'} \in \text{H}\_{0}({\bf grad},\Omega)\end{aligned}\right.$$
+$$\left\\{\begin{aligned}\left(\mu^{-1}\\,{\bf rot}\\,\underline{\bf a}\\,,\\,{\bf rot}\\,\underline{\bf a'}\right)\_{\Omega} + \left(\sigma\\,j\omega\\,\underline{\bf a}\\,,\\,\underline{\bf a'}\right)\_{\Omega_c} + \left( \sigma\\,{\bf grad}\\,\underline{v} \\,,\\, \underline{\bf a'}\right)\_{\Omega\_c} = 0,~ ~ \forall\\,\underline{\bf a'} \in \textbf{H}\_{0}({\bf rot},\Omega) \\\\ (\sigma\\,{\bf grad}\\,\underline{v} \\,,\\, {\bf grad}\\,\underline{v'})\_{\Omega\_c} + (\sigma\\,j\omega\\,\underline{\bf a} \\,,\\, {\bf grad}\\,\underline{v'})_{\Omega\_c} = 0,~ ~ \forall\\, \underline{v'} \in \text{H}\_{0}({\bf grad},\Omega)\end{aligned}\right.$$
L'implantation dans GetDP n'est pas plus compliquée que ce que nous avons vu jusqu'à présent. Le passage en complexe et la fréquence associée sont précisés dans la partie « Résolution » :
diff --git "a/module-web/content/mefem/Magn\303\251tostatique/_index.md" "b/module-web/content/mefem/Magn\303\251tostatique/_index.md"
index 8f421248f6b8e9e6db4de6f2615b4b62b20cacc7..04f7b83cdd15aaf9290d26869392b6af3acf401a 100644
--- "a/module-web/content/mefem/Magn\303\251tostatique/_index.md"
+++ "b/module-web/content/mefem/Magn\303\251tostatique/_index.md"
@@ -80,9 +80,9 @@ En procédant de la même façon qu'en électrostatique ou électrocinétique, o
Trouver $\phi \in \text{H}\_{0}({\bf grad},\Omega) = \\{ \phi \in \text{H}({\bf grad},\Omega) : \phi\|\_{\Gamma_{n}} = 0\\}$, tel que :
-$$\forall \phi' \in \text{H}\_{0}({\bf grad},\Omega),~~ \left(-\mu\\,{\bf grad}\\,\phi\\,,\\,{\bf grad}\\,\phi'\right)\_{\Omega} + \left({\bf b_r}\\,,\\,{\bf grad}\\,\phi'\right)\_{\Omega_a}= 0$$
-
+$$\forall \phi' \in \text{H}\_{0}({\bf grad},\Omega),~~ \left(-\mu\\,{\bf grad}\\,\phi\\,,\\,{\bf grad}\\,\phi'\right)\_{\Omega} + \left({\bf b_r}\\,,\\,{\bf grad}\\,\phi'\right)\_{\Omega_a}= 0$$
+
diff --git "a/module-web/content/mefem/Magn\303\251tostatique/cas3D.md" "b/module-web/content/mefem/Magn\303\251tostatique/cas3D.md"
index 050629b9157058618422133a2622e0b46d283e6d..5c9e20d3091fa8dea0a8441d8d901112fbce77e1 100644
--- "a/module-web/content/mefem/Magn\303\251tostatique/cas3D.md"
+++ "b/module-web/content/mefem/Magn\303\251tostatique/cas3D.md"
@@ -26,7 +26,7 @@ Par application directe de la [**méthode du chapitre 2**](http://localhost:1313
Ainsi la formulation ccomplète dans le domaine discret sera :
-$$\boxed{\left\\{\begin{aligned}&\text{Trouver}~{\bf a_h} \in W_0^1,~\xi_h \in W_0^0~\text{tels que :} \\\\ &\left(\mu^{-1}\\,{\bf rot\\,a_h},{\bf rot\\,a_h'}\right)\_{\Omega} + \left(\mu^{-1}\\,{\bf b_r},{\bf rot\\,a_h'}\right)\_{\Omega_a} + \left(-{\bf j_s},{\bf a_h'}\right)\_{\Omega} + \left({\bf grad}\\,\xi_h,{\bf a_h'}\right)\_{\Omega} = 0,~ \forall\\,{\bf a_h'} \in W_0^1 \\\\ &\left({\bf a_h},{\bf grad}\\,\xi_h'\right)\_{\Omega} = 0, \forall \\, \xi'_h \in W_0^0 \end{aligned}\right.}$$
+$$\boxed{\left\\{\begin{aligned}&\text{Trouver}~ {\bf a_h} \in W_0^1,~ \xi_h \in W_0^0~ \text{tels que :} \\\\ &\left(\mu^{-1}\\,{\bf rot\\,a_h},{\bf rot\\,a_h'}\right)\_{\Omega} + \left(\mu^{-1}\\,{\bf b_r},{\bf rot\\,a_h'}\right)\_{\Omega_a} + \left(-{\bf j_s},{\bf a_h'}\right)\_{\Omega} + \left({\bf grad}\\,\xi_h,{\bf a_h'}\right)\_{\Omega} = 0,~ \forall\\,{\bf a_h'} \in W_0^1 \\\\ &\left({\bf a_h},{\bf grad}\\,\xi_h'\right)\_{\Omega} = 0, \forall \\, \xi'_h \in W_0^0 \end{aligned}\right.}$$
où $W_0^1$ et $W_0^0$ approximent respectivement $\textbf{H}\_{0}({\bf rot},\Omega)$
et $\text{H}\_{0}({\bf grad},\Omega)$.
@@ -100,7 +100,7 @@ des surfaces sur lesquelles sont imposées des conditions particulières
de ${\bf a}$ le long de cet arbre directement dans l'espace fonctionnel associé.
Ce dernier sera alors noté $W_{0,\text{JA}}^1$, et notre formulation devient ainsi :
- $$\boxed{\left\\{\begin{aligned}&\text{Trouver}~{\bf a_h} \in W\_{0,\text{JA}}^1 ~\text{tel que :} \\\\ & \left(\mu^{-1}\\,{\bf rot\\,a_h},{\bf rot\\,a_h'}\right)\_{\Omega} + \left(\mu^{-1}\\,{\bf b_r},{\bf rot\\,a_h'}\right)\_{\Omega_a} + \left(-{\bf j_s},{\bf a_h'}\right)\_{\Omega} = 0,~ \forall\\,{\bf a_h'} \in W\_{0,\text{JA}}^1\end{aligned}\right.}$$
+ $$\boxed{\left\\{\begin{aligned}&\text{Trouver}~ {\bf a_h} \in W\_{0,\text{JA}}^1 ~ \text{tel que :} \\\\ & \left(\mu^{-1}\\,{\bf rot\\,a_h},{\bf rot\\,a_h'}\right)\_{\Omega} + \left(\mu^{-1}\\,{\bf b_r},{\bf rot\\,a_h'}\right)\_{\Omega_a} + \left(-{\bf j_s},{\bf a_h'}\right)\_{\Omega} = 0,~ \forall\\,{\bf a_h'} \in W\_{0,\text{JA}}^1\end{aligned}\right.}$$
La taille du système sera ainsi fortement réduite par rapport au cas précédent puisqu'on s'affranchit du calcul
de la grandeur nodale $\xi$.
@@ -169,13 +169,10 @@ Résoudre le problème en 3D et comparer les deux formulations :
Pour gagner du temps, je vous fournis encore la géométie 3D en {{% button href="../../../files/geometrie_coupleur_3D.zip" icon="fas fa-download" icon-position="right" %}}cliquant ici{{% /button %}}. Un exemple de géométrie possible est représenté ci-dessous :
-{{< figure src="../../../images/figures/coupleur3D.png" title="Représentation schématique du coupleur considéré">}}
-
-
-<br>
-
-
+{{< figure src="../../../images/figures/coupleur3D.png" title="Représentation schématique du coupleur considéré">}}
+
+
diff --git "a/module-web/content/mefem/\303\211lectrocin\303\251tique/_index.md" "b/module-web/content/mefem/\303\211lectrocin\303\251tique/_index.md"
index ec4dffcedae54cab1e83f1e748473ea001598ef4..e8ac92012ec00817ce232744a1379c99ba5fdd19 100644
--- "a/module-web/content/mefem/\303\211lectrocin\303\251tique/_index.md"
+++ "b/module-web/content/mefem/\303\211lectrocin\303\251tique/_index.md"
@@ -131,11 +131,8 @@ Tout comme dans le cas électrostatique de la section précédente, il est possi
Pour éviter de perdre trop de temps, je vous fournis la géométrie (libre à vous de l'utiliser ou non) : {{% button href="../../files/busbar_geo.zip" icon="fas fa-download" icon-position="right" %}}Cliquer ici pour la télécharger {{% /button %}}.
-2. Proposer des améliorations possibles du design d'un tel busbar (en terme de quantité de matière, masse, volume, pertes...).
-
-
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-<br>
+2. Proposer des améliorations possibles du design d'un tel busbar (en terme de quantité de matière, masse, volume, pertes...).
+
diff --git "a/module-web/content/mefem/\303\211lectrostatique/_index.md" "b/module-web/content/mefem/\303\211lectrostatique/_index.md"
index 8232f3043148d59e3f88ccd3d8d324246d123da8..5adcb92e708f0c905015cdde01fb0436e2983b1d 100644
--- "a/module-web/content/mefem/\303\211lectrostatique/_index.md"
+++ "b/module-web/content/mefem/\303\211lectrostatique/_index.md"
@@ -41,7 +41,7 @@ Aux frontières, nous aurons les mêmes conditions mais homogènes : $ v|\_{\Gam
Finalement, la forme complète de la formulation forte à résoudre est donc :
-$$\left\\{\begin{aligned}\text{div}\left(\varepsilon\\,{\bf grad}\\,v\right) + \rho_q &= 0~, &\text{dans}~ \Omega\\\\ \left.v\right|\_{\Gamma\_d} &= 0~, &\text{sur}~ \Gamma\_d \\\\ \left.v\right\|_{\Gamma\_i} &= v_i~, &\text{sur}~ \Gamma\_i \\\\\left.{\bf grad}\\, v \cdot {\bf n}\right|\_{\Gamma\_n} &= 0~, &\text{sur}~ \Gamma\_n \\\\\left.{\bf grad}\\, v \cdot {\bf n}\right|\_{\Gamma\_j} &= -\frac{\sigma\_{q\_j}}{\varepsilon}~, &\text{sur}~ \Gamma\_j\end{aligned}\right.$$
+$$\left\\{\begin{aligned}\text{div}\left(\varepsilon\\,{\bf grad}\\,v\right) + \rho_q &= 0~ , &\text{dans}~ \Omega\\\\ \left.v\right|\_{\Gamma\_d} &= 0~, &\text{sur}~ \Gamma\_d \\\\ \left.v\right\|_{\Gamma\_i} &= v_i~, &\text{sur}~ \Gamma\_i \\\\\left.{\bf grad}\\, v \cdot {\bf n}\right|\_{\Gamma\_n} &= 0~ , &\text{sur}~ \Gamma\_n \\\\\left.{\bf grad}\\, v \cdot {\bf n}\right|\_{\Gamma\_j} &= -\frac{\sigma\_{q\_j}}{\varepsilon}~ , &\text{sur}~ \Gamma\_j\end{aligned}\right.$$
diff --git a/module-web/content/principe/continu/_index.md b/module-web/content/principe/continu/_index.md
index 644c2fda01879afb4afacb37110515502ba85653..d660476c0dc81b89232c9efef1f8c902375e60f1 100644
--- a/module-web/content/principe/continu/_index.md
+++ b/module-web/content/principe/continu/_index.md
@@ -93,12 +93,12 @@ $$\iiint\_{\Omega} -(\alpha\\,{\bf grad}\\,u)\cdot{\bf grad}\\,v~\text{d}\Omega
On applique alors le théorème de la divergence :
$$\iiint\_{\Omega} -(\alpha\\,{\bf grad}\\,u)\cdot{\bf grad}\\,v~\text{d}\Omega + \oiint\_{\Gamma} v\\,\alpha\\,{\bf grad}\\,u \cdot {\bf n}~\text{d}\Gamma + \iiint\_{\Omega} \beta\\,v ~\text{d}\Omega =0$$
-On peut décomposer le terme surfacique en deux en utilisant la condition aux limites de Neumann pour obtenir :
-$$\begin{aligned}\oiint\_{\Gamma} v\\,\alpha\\,{\bf grad}\\,u \cdot {\bf n}~\text{d}\Gamma &= \iint\_{\Gamma_n} v\\,\alpha\\,{\bf grad}\\,u \cdot {\bf n}~\text{d}\Gamma + \iint\_{\Gamma_d} v\\,\alpha\\,{\bf grad}\\,u \cdot {\bf n}~\text{d}\Gamma\\\\ &= \iint\_{\Gamma_n} v\\,\alpha\\,\gamma~\text{d}\Gamma + \iint\_{\Gamma_d} v\\,\alpha\\,{\bf grad}\\,u \cdot {\bf n}~\text{d}\Gamma\end{aligned}$$
+On peut décomposer le terme surfacique en deux en utilisant la condition aux limites de Neumann pour obtenir :
+$$\begin{aligned}\oiint\_{\Gamma} v\\,\alpha\\,{\bf grad}\\,u \cdot {\bf n}~ \text{d}\Gamma &= \iint\_{\Gamma_n} v\\,\alpha\\,{\bf grad}\\,u \cdot {\bf n}~ \text{d}\Gamma + \iint\_{\Gamma_d} v\\,\alpha\\,{\bf grad}\\,u \cdot {\bf n}~ \text{d}\Gamma\\\\ &= \iint\_{\Gamma_n} v\\,\alpha\\,\gamma~ \text{d}\Gamma + \iint\_{\Gamma_d} v\\,\alpha\\,{\bf grad}\\,u \cdot {\bf n}~ \text{d}\Gamma\end{aligned}$$
On aboutit finalement à l'expression générale :
-$$\iiint\_{\Omega} (\alpha\\,{\bf grad}\\,u)\cdot{\bf grad}\\,v~\text{d}\Omega - \iint\_{\Gamma_n} v\\,\alpha\\,\gamma~\text{d}\Gamma - \iiint\_{\Omega} \beta\\,v ~\text{d}\Omega = \iint\_{\Gamma_d} v\\,\alpha\\,{\bf grad}\\,u \cdot {\bf n}~\text{d}\Gamma$$
+$$\iiint\_{\Omega} (\alpha\\,{\bf grad}\\,u)\cdot{\bf grad}\\,v~ \text{d}\Omega - \iint\_{\Gamma_n} v\\,\alpha\\,\gamma~ \text{d}\Gamma - \iiint\_{\Omega} \beta\\,v ~ \text{d}\Omega = \iint\_{\Gamma_d} v\\,\alpha\\,{\bf grad}\\,u \cdot {\bf n}~ \text{d}\Gamma$$
N'ayant aucune information sur le terme ${\bf grad}\\,u$ sur $\Gamma_d$, ce terme peut être gênant pour déterminer $u$, mais nous pouvons nous en affranchir en choisissant la fonction test $v$ nulle sur $\Gamma_d$. C'est-à-dire en prenant $v \in \text{H}\_0({\bf grad},\Omega)$ définit par :
@@ -109,7 +109,7 @@ Nous pouvons remarquer que $u \in \text{H}\_0({\bf grad},\Omega)$ aussi.
Nous obtenons alors la formulation faible (ou variationnelle) de notre problème :
Cherchons $u \in \text{H}\_0({\bf grad},\Omega)$, tel que :
-$$\boxed{\forall v \in \text{H}\_0({\bf grad},\Omega), \iiint\_{\Omega} (\alpha\\,{\bf grad}\\,u)\cdot{\bf grad}\\,v~\text{d}\Omega - \iiint\_{\Omega} \beta\\,v ~\text{d}\Omega - \iint\_{\Gamma_n} \alpha\\,\gamma\\,v~\text{d}\Gamma = 0}$$
+$$\boxed{\forall v \in \text{H}\_0({\bf grad},\Omega), \iiint\_{\Omega} (\alpha\\,{\bf grad}\\,u)\cdot{\bf grad}\\,v~ \text{d}\Omega - \iiint\_{\Omega} \beta\\,v ~ \text{d}\Omega - \iint\_{\Gamma_n} \alpha\\,\gamma\\,v~ \text{d}\Gamma = 0}$$
Pour simplifier la notation, on peut utiliser les produits scalaires définis en début de page, et le produit surfacique $\left<\cdot,\cdot\right>$ défini par :
$$\left<u,v\right>\_{\Gamma} = \iint\_{\Gamma} u\\,v\\,\text{d}\Gamma$$
@@ -140,7 +140,7 @@ Nous pouvons remarquer que, selon leur nature, les conditions aux limites sont t
Considérons maintenant la formulation forte suivante. Cherchons un champ vectoriel ${\bf u}$ de $\Omega$ vérifiant :
-$$\left\\{\begin{aligned}{\bf rot}\left(\alpha\\,{\bf rot}\\,{\bf u}\right) + \boldsymbol{\beta} &= {\bf 0}~, &\text{dans}~ \Omega\\\\ \left.{\bf u}\wedge{\bf n}\right\|_{\Gamma\_d} &= {\bf 0}~, &\text{sur}~ \Gamma\_d \\\\ \left.\frac{\partial\\,{\bf u}}{\partial {\bf n}}\right|\_{\Gamma_n} = \left.{\bf rot\\,u}\wedge{\bf n}\right|\_{\Gamma_n} &= \boldsymbol{\gamma}~, &\text{sur}~ \Gamma\_n \end{aligned}\right.$$
+$$\left\\{\begin{aligned}{\bf rot}\left(\alpha\\,{\bf rot}\\,{\bf u}\right) + \boldsymbol{\beta} & = {\bf 0}~ , &\text{dans}~ \Omega\\\\ \left.{\bf u}\wedge{\bf n}\right\|_{\Gamma\_d} &= {\bf 0}~ , &\text{sur}~ \Gamma\_d \\\\ \left.\frac{\partial\\,{\bf u}}{\partial {\bf n}}\right|\_{\Gamma_n} = \left.{\bf rot\\,u}\wedge{\bf n}\right|\_{\Gamma_n} &= \boldsymbol{\gamma}~ , &\text{sur}~ \Gamma\_n \end{aligned}\right.$$
où $\alpha \in \text{L}^2({\Omega})$, $\boldsymbol{\beta} \in \textbf{L}^2({\Omega})$ continûment différentiables sur $\Omega$ (voire $\overline{\Omega}$), et $\gamma \in \mathcal{C}^1(\Gamma_n)$.
@@ -149,24 +149,24 @@ où $\alpha \in \text{L}^2({\Omega})$, $\boldsymbol{\beta} \in \textbf{L}^2({\Om
Soit la fonction test ${\bf v}$ champ vectoriel quelconque de $\textbf{H}({\bf rot},\Omega)$. En prenant le produit scalaire de l'équation de la formulation forte par ${\bf v}$ et en intégrant sur tout le domaine, on obtient :
-$$\iiint\_{\Omega} \left({\bf rot}\left(\alpha\\,{\bf rot}\\,{\bf u}\right)\right)\cdot{\bf v}~\text{d} \Omega + \iiint\_{\Omega}\boldsymbol{\beta}\cdot{\bf v}~\text{d} \Omega = {\bf 0}$$
+$$\iiint\_{\Omega} \left({\bf rot}\left(\alpha\\,{\bf rot}\\,{\bf u}\right)\right)\cdot{\bf v}~ \text{d} \Omega + \iiint\_{\Omega}\boldsymbol{\beta}\cdot{\bf v}~ \text{d} \Omega = {\bf 0}$$
En utilisant la formule de Green en **rot-rot** :
$$\text{div}({\bf a}\wedge{\bf b}) = {\bf b}\cdot{\bf rot\\,a} - {\bf a}\cdot{\bf rot\\,b}$$
on peut intégrer par parties le terme de gauche pour obtenir :
-$$\iiint\_{\Omega} \left(\alpha\\,{\bf rot}\\,{\bf u}\right)\cdot{\bf rot\\, v}~\text{d} \Omega - \iiint\_{\Omega} \text{div}\\,\left(\alpha\\,{\bf rot\\,u}\wedge{\bf v}\right)~\text{d} \Omega + \iiint\_{\Omega}\boldsymbol{\beta}\cdot{\bf v}~\text{d} \Omega = {\bf 0}$$
+$$\iiint\_{\Omega} \left(\alpha\\,{\bf rot}\\,{\bf u}\right)\cdot{\bf rot\\, v}~ \text{d} \Omega - \iiint\_{\Omega} \text{div}\\,\left(\alpha\\,{\bf rot\\,u}\wedge{\bf v}\right)~ \text{d} \Omega + \iiint\_{\Omega}\boldsymbol{\beta}\cdot{\bf v}~ \text{d} \Omega = {\bf 0}$$
Après application du théorème de la divergence :
-$$\iiint\_{\Omega} \left(\alpha\\,{\bf rot}\\,{\bf u}\right)\cdot{\bf rot\\, v}~\text{d} \Omega - \oiint\_{\Gamma} \left(\alpha\\,{\bf rot\\,u}\wedge{\bf v}\right)\cdot{\bf n}~\text{d} \Gamma + \iiint\_{\Omega}\boldsymbol{\beta}\cdot{\bf v}~\text{d} \Omega = {\bf 0}$$
+$$\iiint\_{\Omega} \left(\alpha\\,{\bf rot}\\,{\bf u}\right)\cdot{\bf rot\\, v}~ \text{d} \Omega - \oiint\_{\Gamma} \left(\alpha\\,{\bf rot\\,u}\wedge{\bf v}\right)\cdot{\bf n}~ \text{d} \Gamma + \iiint\_{\Omega}\boldsymbol{\beta}\cdot{\bf v}~ \text{d} \Omega = {\bf 0}$$
En séparant les termes surfaciques et en remarquant que :
$$\begin{aligned}({\bf rot\\,u}\wedge{\bf v})\cdot{\bf n} &= {\bf n}\cdot({\bf rot\\,u}\wedge{\bf v}) = {\bf rot\\,u}\cdot({\bf v}\wedge{\bf n})\\\\ &= ({\bf n}\wedge{\bf rot\\,u})\cdot{\bf v} = - ({\bf rot\\,u}\wedge{\bf n})\cdot{\bf v}\end{aligned}$$
on obtient :
-$$\begin{aligned}\iiint\_{\Omega} \left(\alpha\\,{\bf rot}\\,{\bf u}\right)&\cdot{\bf rot\\, v}~\text{d} \Omega + \iiint\_{\Omega}\boldsymbol{\beta}\cdot{\bf v}~\text{d} \Omega \\\\ &+ \iint\_{\Gamma_n} \alpha\\,\underbrace{\left({\bf rot\\,u}\wedge{\bf n}\right)}_{\boldsymbol{\gamma}}\cdot{\bf v}~\text{d} \Gamma = \iint\_{\Gamma_d} \alpha\\,{\bf rot\\,u}\cdot\left({\bf v}\wedge{\bf n}\right)~\text{d} \Gamma \end{aligned}$$
+$$\begin{aligned}\iiint\_{\Omega} \left(\alpha\\,{\bf rot}\\,{\bf u}\right)&\cdot{\bf rot\\, v}~ \text{d} \Omega + \iiint\_{\Omega}\boldsymbol{\beta}\cdot{\bf v}~ \text{d} \Omega \\\\ &+ \iint\_{\Gamma_n} \alpha\\,\underbrace{\left({\bf rot\\,u}\wedge{\bf n}\right)}_{\boldsymbol{\gamma}}\cdot{\bf v}~ \text{d} \Gamma = \iint\_{\Gamma_d} \alpha\\,{\bf rot\\,u}\cdot\left({\bf v}\wedge{\bf n}\right)~ \text{d} \Gamma \end{aligned}$$
Comme précédemment, on peut éliminer le second terme surfacique en prenant la fonction test ${\bf v}$ et la fonction inconnue ${\bf u}$ dans $\textbf{H}\_0({\bf rot},\Omega)$ défini par :
@@ -176,7 +176,7 @@ On aboutit à la formulation faible de notre problème :
Cherchons ${\bf u} \in \textbf{H}\_0({\bf rot},\Omega)$ tel que :
$$\boxed{\begin{aligned}\forall\\,{\bf v} \in \textbf{H}\_0({\bf rot},\Omega),~
-\iiint\_{\Omega} &\left(\alpha\\,{\bf rot}\\,{\bf u}\right)\cdot{\bf rot\\, v}~\text{d} \Omega \\\\&+ \iiint\_{\Omega} \boldsymbol{\beta}\cdot{\bf v}~\text{d} \Omega + \iint\_{\Gamma_n} \alpha\\,\boldsymbol{\gamma}\cdot{\bf v}~\text{d} \Gamma = 0\end{aligned}}$$
+\iiint\_{\Omega} &\left(\alpha\\,{\bf rot}\\,{\bf u}\right)\cdot{\bf rot\\, v}~ \text{d} \Omega \\\\&+ \iiint\_{\Omega} \boldsymbol{\beta}\cdot{\bf v}~ \text{d} \Omega + \iint\_{\Gamma_n} \alpha\\,\boldsymbol{\gamma}\cdot{\bf v}~ \text{d} \Gamma = 0\end{aligned}}$$
Ou encore :
$$\boxed{\forall\\,{\bf v} \in \textbf{H}\_0({\bf rot},\Omega),~ \left(\alpha\\,{\bf rot\\,u},{\bf rot\\,v}\right)\_{\Omega} + \left(\boldsymbol{\beta},{\bf v}\right)\_{\Omega} + \left<\alpha\\,\boldsymbol{\gamma},{\bf v}\right>\_{\Gamma_n} = 0}$$
@@ -200,13 +200,13 @@ $$\displaystyle \forall v \in \text{H}\_0({\bf grad},\Omega), ~ \underbrace{\lef
$$\forall\\,{\bf v} \in \textbf{H}\_0({\bf rot},\Omega),~ \underbrace{\left(\alpha\\,{\bf rot\\,u},{\bf rot\\,v}\right)\_{\Omega}}\_{a({\bf u},{\bf v})} = \underbrace{- \left(\boldsymbol{\beta},{\bf v}\right)\_{\Omega} - \left<\alpha\\,\boldsymbol{\gamma},{\bf v}\right>\_{\Gamma_n}}\_{L({\bf v})} $$
-Où $a(\cdot,\cdot)$ est une forme bilinéaire continue et coercive, et $L(\cdot)$ une forme linéaire continue, définies sur $V \left(= \text{H}\_0({\bf grad},\Omega) ~\text{ou}~ \textbf{H}\_0({\bf rot},\Omega)\right)$.
+Où $a(\cdot,\cdot)$ est une forme bilinéaire continue et coercive, et $L(\cdot)$ une forme linéaire continue, définies sur $V \left(= \text{H}\_0({\bf grad},\Omega) ~ \text{ou}~ \textbf{H}\_0({\bf rot},\Omega)\right)$.
*Pour simplifier, on ne conservera que la notation correspodant au premier cas ($u$ et $v$) mais ce que nous dirons sera aussi valable pour le deuxième (avec ${\bf u}$ et ${\bf v}$).*
En fait, ce qu'on appelle formulation variationnelle du problème est cette forme, qu'on écrit :
-$$\boxed{\left\\{\begin{aligned}&\text{Trouver}~ u \in V ~\text{tel que :}\\\\ &a(u,v) = L(v),~ ~\forall\\,v \in V\end{aligned}\right.}$$
+$$\boxed{\left\\{\begin{aligned}&\text{Trouver}~ u \in V ~ \text{tel que :}\\\\ &a(u,v) = L(v),~ ~\forall\\,v \in V\end{aligned}\right.}$$
La forme bilinéaire $a$ étant symétrique, résoudre la forme variationnelle est équivalent à trouver le minimum de la fonctionnelle énergétique (quadratique) définie par :
diff --git a/module-web/content/principe/discret/_index.md b/module-web/content/principe/discret/_index.md
index 9937665f80bc591b27374455405f3ad29fef4c0e..f75afc7d7aab05a2520890ed17adabc30148b79e 100644
--- a/module-web/content/principe/discret/_index.md
+++ b/module-web/content/principe/discret/_index.md
@@ -25,18 +25,18 @@ Pour illustrer les différents aspects abordés dans la suite, on utilisera l'ex
Nous avons donc un problème de Poisson avec conditions de Dirichlet et Neumann, dont la formulation forte peut s'écrire :
-$$\left\\{\begin{aligned} \text{div} \left({\bf grad}\\,u \right) + \beta &= 0, ~\text{dans}~\Omega\\\\ u\|\_{\Gamma\_d} &= 0\\\\ \partial\_n u\|\_{\Gamma\_n} &= \gamma = 1 \end{aligned}\right.$$
+$$\left\\{\begin{aligned} \text{div} \left({\bf grad}\\,u \right) + \beta &= 0, ~ \text{dans} ~ \Omega\\\\ u\|\_{\Gamma\_d} &= 0\\\\ \partial\_n u\|\_{\Gamma\_n} &= \gamma = 1 \end{aligned}\right.$$
avec $\beta$ définie par morceaux par :
-$$\left\\{\begin{aligned} \beta &= 1 ~ ~\text{ dans }~ ~ \Omega_s \\\\ \beta &= 0 ~ ~\text{ dans }~ ~ \Omega\/\Omega_s \end{aligned}\right.$$
+$$\left\\{\begin{aligned} \beta &= 1 ~ ~ \text{ dans } ~ ~ \Omega_s \\\\ \beta &= 0 ~ ~ \text{ dans } ~ ~ \Omega\/\Omega_s \end{aligned}\right.$$
Et d'après la section précédente, la formulation faible est :
-$$\begin{aligned}&\text{Trouver}~u \in \text{H}\_0({\bf grad},\Omega) = \left\\{ u \in \text{H}({\bf grad},\Omega) : u|\_{\Gamma_d} = 0\right\\} ~\text{tel que :}\\\\ &\forall v \in \text{H}\_0({\bf grad},\Omega), \iiint\_{\Omega} {\bf grad}\\,u \cdot{\bf grad}\\,v~\text{d}\Omega - \iiint\_{\Omega_s} v ~\text{d}\Omega - \iint\_{\Gamma_n} v~\text{d}\Gamma = 0\end{aligned}$$
+$$\begin{aligned}&\text{Trouver} ~ u \in \text{H}\_0({\bf grad},\Omega) = \left\\{ u \in \text{H}({\bf grad},\Omega) : u|\_{\Gamma_d} = 0\right\\} ~ \text{tel que :}\\\\ &\forall v \in \text{H}\_0({\bf grad},\Omega), \iiint\_{\Omega} {\bf grad}\\,u \cdot{\bf grad}\\,v ~\text{d}\Omega - \iiint\_{\Omega_s} v ~ \text{d}\Omega - \iint\_{\Gamma_n} v ~ \text{d}\Gamma = 0\end{aligned}$$
Soit :
-$$\boxed{\begin{aligned}&\text{Trouver}~u \in \text{H}\_0({\bf grad},\Omega)~\text{tel que :}\\\\ &\forall v \in \text{H}\_0({\bf grad},\Omega),~~ \underbrace{\left({\bf grad}\\,u,{\bf grad}\\,v\right)\_{\Omega} }\_{a(u,v)}+ \underbrace{\left(-1,v\right)\_{\Omega_s} + \left<-1,v\right>\_{\Gamma_n}}\_{-L(v)} = 0\end{aligned}}$$
+$$\boxed{\begin{aligned}&\text{Trouver} ~ u \in \text{H}\_0({\bf grad},\Omega) ~\text{tel que :}\\\\ &\forall v \in \text{H}\_0({\bf grad},\Omega), ~ ~ \underbrace{\left({\bf grad}\\,u,{\bf grad}\\,v\right)\_{\Omega} }\_{a(u,v)}+ \underbrace{\left(-1,v\right)\_{\Omega_s} + \left<-1,v\right>\_{\Gamma_n}}\_{-L(v)} = 0\end{aligned}}$$
$\rightsquigarrow$ C'est cette dernière que nous résoudrons par la suite.
diff --git a/module-web/content/principe/discret/basisfunctions.md b/module-web/content/principe/discret/basisfunctions.md
index e7816afce921311a3e6660bbfd676c40b0185de9..fa9133b4ff0c70a37f248a5135ab135d0a4719c2 100644
--- a/module-web/content/principe/discret/basisfunctions.md
+++ b/module-web/content/principe/discret/basisfunctions.md
@@ -165,9 +165,9 @@ $$\begin{pmatrix}\partial_x\\\\\partial_y\\\\\partial_z\end{pmatrix} = \underbra
La matrice ${\bf J}$ est appelée **matrice jacobienne de transformation**. Les relations ci-dessus peuvent s'écrire sous forme plus compacte :
-$$\partial\_{\bf u} = {\bf J}\cdot\partial\_{\bf x},~ ~\text{avec :}~ ~ {\bf J} = \partial\_{\bf u}\\,{\bf x}$$
+$$\partial\_{\bf u} = {\bf J}\cdot\partial\_{\bf x},~ ~ \text{avec :}~ ~ {\bf J} = \partial\_{\bf u}\\,{\bf x}$$
-$$\partial\_{\bf x} = {\bf J^{-1}}\cdot\partial\_{\bf u},~ ~\text{avec :}~ ~ {\bf J^{-1}} = \partial\_{\bf x}\\,{\bf u}$$
+$$\partial\_{\bf x} = {\bf J^{-1}}\cdot\partial\_{\bf u},~ ~ \text{avec :}~ ~ {\bf J^{-1}} = \partial\_{\bf x}\\,{\bf u}$$
On rappelle au passage la formule de l'inverse :
diff --git a/module-web/content/principe/discret/galerkin.md b/module-web/content/principe/discret/galerkin.md
index 0ccb88376a8af7a102b12198349344a7fa5432c9..cef2cfee49424477a2d5074c16a570e343aad106 100644
--- a/module-web/content/principe/discret/galerkin.md
+++ b/module-web/content/principe/discret/galerkin.md
@@ -11,12 +11,12 @@ math: "true"
Nous avons vu dans la section précédente que la forme faible de chaque problème considéré pouvait se mettre sous la forme :
-$$\left\\{\begin{aligned}~&\text{Trouver}~ u \in V ~\text{tel que :}\\\\ &a(u,v) = L(v),~ ~\forall\\,v \in V\end{aligned}\right.$$
+$$\left\\{\begin{aligned}~ &\text{Trouver}~ u \in V ~ \text{tel que :}\\\\ &a(u,v) = L(v),~ ~ \forall\\,v \in V\end{aligned}\right.$$
$V$ étant de dimension infinie, un tel problème est particulièrement difficile à résoudre. La méthode de Galerkin consiste à résoudre la formulation faible dans un sous-espace $V\_h \sub V$ de dimension finie $n_h$ possédant les mêmes propriétés, soit :
-$$\left\\{\begin{aligned}~&\text{Trouver}~ u\_h \in V\_h ~\text{tel que :}\\\\ &a(u\_h,v\_h) = L(v\_h),~ ~\forall\\,v\_h \in V\_h\end{aligned}\right.$$
+$$\left\\{\begin{aligned} ~ &\text{Trouver}~ u\_h \in V\_h ~ \text{tel que :}\\\\ &a(u\_h,v\_h) = L(v\_h),~ ~ \forall\\,v\_h \in V\_h\end{aligned}\right.$$
où $u_h$ est une solution approchée de la solution exacte $u$.
L'idée est de résoudre cette formulation à partir d'une base $(\varphi_1,\varphi_2,\dots,\varphi\_{n_h})$ de $V_h$. En décomposant $u_h$ dans cette base, on a :
@@ -25,10 +25,10 @@ $$u_h = \sum\limits\_{j=1}^{n\_h} u_j\\,\varphi_j$$
Le principe de la méthode de Galerkin est alors d'utiliser les fonctions de base $\varphi_i$ comme fonctions test dans la formulation faible. Ainsi :
-$$\begin{aligned}\forall i \in [\\![1,n\_h]\\!]~,~ &a\left(\sum\limits\_{j=1}^{n\_h} u_j\\,\varphi_j,\varphi_i\right) = L(\varphi_i)\\\\ & \sum\limits\_{j=1}^{n\_h} u_j\\,a(\varphi_j,\varphi_i) = L(\varphi_i)\end{aligned} $$
+$$\begin{aligned}\forall i \in [\\![1,n\_h]\\!]~ ,~ &a\left(\sum\limits\_{j=1}^{n\_h} u_j\\,\varphi_j,\varphi_i\right) = L(\varphi_i)\\\\ & \sum\limits\_{j=1}^{n\_h} u_j\\,a(\varphi_j,\varphi_i) = L(\varphi_i)\end{aligned} $$
Soit :
-$$\boxed{\forall i \in [\\![1,n\_h]\\!]~,~ \sum\limits\_{j=1}^{n\_h} a(\varphi_i,\varphi_j)\\,u_j = L(\varphi_i)}$$
+$$\boxed{\forall i \in [\\![1,n\_h]\\!]~ ,~ \sum\limits\_{j=1}^{n\_h} a(\varphi_i,\varphi_j)\\,u_j = L(\varphi_i)}$$
En définissant les vecteurs ${\bf U_h} = \left( u_i \right)\_{1\leq i \leq n_h}$ et ${\bf B\_h} = \big( L(\varphi_i) \big)\_{1\leq i \leq n\_h}$, et la matrice ${\bf A_h} = \big( a(\varphi_i,\varphi_j) \big)\_{1\leq i,j\leq n_h}$, le problème peut se mettre sous la forme matricielle :
diff --git a/module-web/content/principe/discret/maillage.md b/module-web/content/principe/discret/maillage.md
index 75fa769d5c11d552637811bee23fb71943ec8514..ece49e936ef3523dfc5cd633c90fb58f35930cc3 100644
--- a/module-web/content/principe/discret/maillage.md
+++ b/module-web/content/principe/discret/maillage.md
@@ -173,5 +173,14 @@ Les exemples ci-dessus sont issus des thèses de :
> Pour plus d'informations, ou si vous envisagez la possibilité de faire une thèse, n'hésitez pas à me contacter, ainsi que mes collègues : les Professeurs N. Takorabet ou D. Netter.
+### Autres exemples
+On peut également utiliser des maillages beaucoup plus complexes, comme par exemple les deux ci-dessous qui me permettent de calculer des courants induits dans des têtes humaines (par exemple pour des travailleurs opérant à proximité de sources basse fréquence comme des pinces à souder) :
+
+| John Doe | Jane Doe |
+|:---:|:---:|
+|  |  |
+
+
+
diff --git a/module-web/content/principe/discret/resolution.md b/module-web/content/principe/discret/resolution.md
index 381eaecc02e398889a4ee1ccea6fdf4e820d9ef8..e35e4cec99ace6fb4c07fd9e8473435775f1b395 100644
--- a/module-web/content/principe/discret/resolution.md
+++ b/module-web/content/principe/discret/resolution.md
@@ -13,7 +13,7 @@ math: "true"
On rappelle l'approximation de la formulation faible à résoudre obtenue par la méthode de Galerkin :
-$$\forall i \in [\\![1,n\_h]\\!]~,~ \sum\limits\_{j=1}^{n\_h} a(\varphi_i,\varphi_j)\\,u_j = L(\varphi_i)$$
+$$\forall i \in [\\![1,n\_h]\\!]~ ,~ \sum\limits\_{j=1}^{n\_h} a(\varphi_i,\varphi_j)\\,u_j = L(\varphi_i)$$
Avec :
$$ a(\varphi_i,\varphi_j) = \iiint\_{\Omega} \alpha\\,{\bf grad}\\,\varphi_i \cdot {\bf grad}\\,\varphi_j~\text{d}\Omega$$
@@ -43,11 +43,11 @@ $$a_q(\varphi_k,\varphi_l) = \iiint_{K_r} \alpha\left({\bf x}({\bf u})\right)\\,
En utilisant les relations entre les gradients et la matrice jacobienne de transformation géométrique :
-$$a_q(\varphi_k,\varphi_l) = \iiint\_{K_r} \alpha\left({\bf x}({\bf u})\right)~\left({\bf J_q^{-1}}\\,{\bf grad}\\,p_k({\bf u})\right) \cdot \left({\bf J_q^{-1}}\\,{\bf grad}\\,p_l({\bf u})\right)\\,\text{det}\\,{\bf J_q}~\text{d}{\bf u}$$
+$$a_q(\varphi_k,\varphi_l) = \iiint\_{K_r} \alpha\left({\bf x}({\bf u})\right)~ \left({\bf J_q^{-1}}\\,{\bf grad}\\,p_k({\bf u})\right) \cdot \left({\bf J_q^{-1}}\\,{\bf grad}\\,p_l({\bf u})\right)\\,\text{det}\\,{\bf J_q}~\text{d}{\bf u}$$
Finalement :
-$$\boxed{a_q(\varphi_k,\varphi_l) = \text{det}\\,{\bf J_q} \iiint\_{K_r} \alpha\left({\bf x}({\bf u})\right)~{}^{\operatorname t}\left({\bf grad}\\,p_k({\bf u})\right)\\,{}^{\operatorname t}({\bf J_q^{-1}})\\,{\bf J_q^{-1}}\\,{\bf grad}\\,p_l({\bf u})~\text{d}{\bf u}}$$
+$$\boxed{a_q(\varphi_k,\varphi_l) = \text{det}\\,{\bf J_q} \iiint\_{K_r} \alpha\left({\bf x}({\bf u})\right)~ {}^{\operatorname t}\left({\bf grad}\\,p_k({\bf u})\right)\\,{}^{\operatorname t}({\bf J_q^{-1}})\\,{\bf J_q^{-1}}\\,{\bf grad}\\,p_l({\bf u})~ \text{d}{\bf u}}$$
Nous avons vu comment calculer ${\bf x}({\bf u})$, $\text{det}\\,{\bf J_q}$ et ${\bf J_q^{-1}}$ à la page précédente, et les gradients des fonctions de base se déterminent facilement à partir de leurs expressions.
diff --git a/module-web/content/principe/discret/whitney.md b/module-web/content/principe/discret/whitney.md
index 74c180d839e3751badf7a3785b71b9b28c494bd4..d4263a4b0655d32672fa1f97e70594d29da0bd2b 100644
--- a/module-web/content/principe/discret/whitney.md
+++ b/module-web/content/principe/discret/whitney.md
@@ -36,7 +36,7 @@ On peut synthétiser l'ensemble dans la table suivante :
|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
| $W^0$ | $\text{H}({\bf grad},\Omega)$ | $\\{s_n,~ n\in\mathcal{N_h}\\}$ | $s\_i({\bf x_j}) = \delta_{ij},~\forall i,j \in\mathcal{N}\_h$ | Valeur nodale | Élément nodal |
| $W^1$ | ${\bf H}({\bf rot},\Omega)$ | $\\{ {\bf s_a},~ a\in \mathcal{A_h}\\}$ | $\displaystyle \int\_j {\bf s_i}\cdot{\bf dl} = \delta_{ij},~\forall i,j \in\mathcal{A_h}$ | Circulation le long d'une arête | Élément d'arête |
-| $W^2$ | ${\bf H}(\text{div},\Omega)$ | $\\{ {\bf s_f},~ f\in \mathcal{F_h}\\}$ | $\displaystyle \iint\_j {\bf s_i}\cdot{\bf n}~\text{d}S = \delta_{ij},~\forall i,j \in\mathcal{F}\_h$ | Flux à travers une face | Élément de facette |
+| $W^2$ | ${\bf H}(\text{div},\Omega)$ | $\\{ {\bf s_f},~ f\in \mathcal{F_h}\\}$ | $\displaystyle \iint\_j {\bf s_i}\cdot{\bf n}~ \text{d}S =\delta_{ij},~ \forall i,j \in\mathcal{F}\_h$ | Flux à travers une face | Élément de facette |
| $W^3$ | $L^2(\Omega)$ | $\\{s_v,~ v\in\mathcal{V_h}\\}$ | $\displaystyle \iiint\_j s_i~\text{d}V = \delta_{ij},~\forall i,j \in\mathcal{V}\_h$ | Intégrale volumique | Élément de volume |
En procédant ainsi, on respecte la séquence vue sur les espaces continus, à savoir :
@@ -148,14 +148,14 @@ Ainsi, en décomposant nos approximations dans les bons espaces, on peut appliqu
On rappelle la formulation faible continue à résoudre :
-$$\left\\{\begin{aligned}&\text{Trouver}~{\bf u} \in\textbf{H}\_0({\bf rot},\Omega) ~\text{tel que :} \\\\ & \left(\alpha\\,{\bf rot\\,u},{\bf rot\\,v}\right)\_{\Omega} = - \left(\boldsymbol{\beta},{\bf v}\right)\_{\Omega} - \left<\alpha\\,\boldsymbol{\gamma},{\bf v}\right>\_{\Gamma_n},~ \forall\\,{\bf v} \in \textbf{H}\_0({\bf rot},\Omega) \end{aligned}\right.$$
+$$\left\\{\begin{aligned}&\text{Trouver}~ {\bf u} \in\textbf{H}\_0({\bf rot},\Omega) ~ \text{tel que :} \\\\ & \left(\alpha\\,{\bf rot\\,u},{\bf rot\\,v}\right)\_{\Omega} = - \left(\boldsymbol{\beta},{\bf v}\right)\_{\Omega} - \left<\alpha\\,\boldsymbol{\gamma},{\bf v}\right>\_{\Gamma_n},~ \forall\\,{\bf v} \in \textbf{H}\_0({\bf rot},\Omega) \end{aligned}\right.$$
Qui devient en discret :
-$$\left\\{\begin{aligned}&\text{Trouver}~{\bf u_h} \in W_0^1 ~\text{tel que :} \\\\ & \left(\alpha\\,{\bf rot\\,u_h},{\bf rot\\,v_h}\right)\_{\Omega} + \left(\boldsymbol{\beta},{\bf v_h}\right)\_{\Omega} + \left<\alpha\\,\boldsymbol{\gamma},{\bf v_h}\right>\_{\Gamma_n} = 0,~ \forall\\,{\bf v_h} \in W_0^1\end{aligned}\right.$$
+$$\left\\{\begin{aligned}&\text{Trouver}~ {\bf u_h} \in W_0^1 ~ \text{tel que :} \\\\ & \left(\alpha\\,{\bf rot\\,u_h},{\bf rot\\,v_h}\right)\_{\Omega} + \left(\boldsymbol{\beta},{\bf v_h}\right)\_{\Omega} + \left<\alpha\\,\boldsymbol{\gamma},{\bf v_h}\right>\_{\Gamma_n} = 0,~ \forall\\,{\bf v_h} \in W_0^1\end{aligned}\right.$$
Où $W_0^1 \in W^1$ est obtenu en annulant les degrés de liberté sur les arêtes appartenant à la frontière $\Gamma_d$. On constate que cela implique bien notre condition de bord :
-$$\left.{\bf u_h}\wedge{\bf n}\right\|_{\Gamma\_d} = {\bf 0}~, ~\text{sur}~ \Gamma\_d$$
+$$\left.{\bf u_h}\wedge{\bf n}\right\|_{\Gamma\_d} = {\bf 0}~ , ~ \text{sur}~ \Gamma\_d$$
La façon de procéder est identique à celle basée sur les éléments nodaux. Nous pouvons calculer les contributions de chaque arête élément par élément et les ajouter à la matrice de raideur globale ${\bf A_h}$, ou au vecteur second membre ${\bf B_h}$. On peut finalement résoudre le système obtenu, mais seulement après avoir implanté une condition de jauge comme expliqué ci-après. En effet, une telle formulation sous forme brute conduit à une matrice ${\bf A_h}$ singulière.
@@ -179,7 +179,7 @@ Dans le domaine discret, nous allons construire un **arbre**. C'est un ensemble
En rajoutant la condition de jauge d'arbre dans l'espace fonctionnel auquel appartient ${\bf u_h}$ (que nous noterons $W\_{0,\text{JA}}^1 \sub W_0^1$), nous pouvons alors résoudre notre formulation faible **rot-rot** qui s'exprime :
-$$\boxed{\left\\{\begin{aligned}&\text{Trouver}~{\bf u_h} \in W\_{0,\text{JA}}^1 ~\text{tel que :} \\\\ & \left(\alpha\\,{\bf rot\\,u_h},{\bf rot\\,v_h}\right)\_{\Omega} + \left(\boldsymbol{\beta},{\bf v_h}\right)\_{\Omega} + \left<\alpha\\,\boldsymbol{\gamma},{\bf v_h}\right>\_{\Gamma_n} = 0,~ \forall\\,{\bf v_h} \in W\_{0,\text{JA}}^1\end{aligned}\right.}$$
+$$\boxed{\left\\{\begin{aligned}&\text{Trouver}~ {\bf u_h} \in W\_{0,\text{JA}}^1 ~ \text{tel que :} \\\\ & \left(\alpha\\,{\bf rot\\,u_h},{\bf rot\\,v_h}\right)\_{\Omega} + \left(\boldsymbol{\beta},{\bf v_h}\right)\_{\Omega} + \left<\alpha\\,\boldsymbol{\gamma},{\bf v_h}\right>\_{\Gamma_n} = 0,~ \forall\\,{\bf v_h} \in W\_{0,\text{JA}}^1\end{aligned}\right.}$$
Cette façon de procéder est la plus efficace d'un point de vue numérique car elle permet de réduire la taille du système à résoudre (par annulation des degrés de liberté liés au arêtes de l'arbre). Cependant la solution obtenue perd son sens physique, seul son rotationnel pourra être interprété physiquement. Pour de plus amples compléments, je vous renvoie à [**\[Dula94\]** ](../../../ref/#dular).
@@ -196,24 +196,24 @@ $$\iiint\_{\Omega}\text{div}({\bf u})\\,\mu ~\text{d}V = 0$$
En utilisant la formule de Green en **grad**-div :
-$$\iiint\_{\Omega} {\bf u}\cdot{\bf grad}\\,\mu ~\text{d}V - \iiint\_{\Omega} \text{div}(\mu\\,{\bf u})~\text{d}V =0$$
+$$\iiint\_{\Omega} {\bf u}\cdot{\bf grad}\\,\mu ~ \text{d}V - \iiint\_{\Omega} \text{div}(\mu\\,{\bf u})~ \text{d}V =0$$
En appliquant le théorème de la divergence et en séparant les deux frontières :
-$$\iiint\_{\Omega} {\bf u}\cdot{\bf grad}\\,\mu ~\text{d}V - \iint\_{\Gamma_d} \mu\\,{\bf u}\cdot{\bf n}~\text{d}S - \iint\_{\Gamma_n} \mu\\,{\bf u}\cdot{\bf n}~\text{d}V =0$$
+$$\iiint\_{\Omega} {\bf u}\cdot{\bf grad}\\,\mu ~ \text{d}V - \iint\_{\Gamma_d} \mu\\,{\bf u}\cdot{\bf n}~ \text{d}S - \iint\_{\Gamma_n} \mu\\,{\bf u}\cdot{\bf n} ~ \text{d}V =0$$
Nous ne considérerons que le cas d'une condition de Neumann homogène sur $\Gamma_n$ $(\boldsymbol{\gamma} = 0)$, soit : $\left.{\bf rot\\,u}\wedge{\bf n}\right|\_{\Gamma_n} = 0$. On peut donc en déduire : $\left.{\bf u}\cdot{\bf n}\right|\_{\Gamma_n} = 0$. En choisissant $\mu = 0$ sur $\Gamma_d$, on annule le second terme surfacique.
Ainsi, notre condition de Jauge est équivalente à :
-$$\boxed{\iiint\_{\Omega} {\bf u}\cdot{\bf grad}\\,\mu ~\text{d}V = 0~,~ ~ \forall \\, \mu \in \text{H}_0({\bf grad},\Omega)}$$
+$$\boxed{\iiint\_{\Omega} {\bf u}\cdot{\bf grad}\\,\mu ~ \text{d}V = 0~ ,~ ~ \forall \\, \mu \in \text{H}_0({\bf grad},\Omega)}$$
Si nous ajoutons uniquement ce terme à la formulation faible initiale, nous nous trouverons face à une formulation avec une fonction inconnue et deux fonctions tests. Pour remédier à cela, nous devons introduire un multiplicateur de Lagrange $\lambda$. Ainsi la formulation variationnelle complète devient :
-$$\left\\{\begin{aligned}&\text{Trouver}~{\bf u} \in\textbf{H}\_0({\bf rot},\Omega),~\lambda \in \text{H}_0({\bf grad},\Omega) ~\text{tels que :} \\\\ &\left(\alpha\\,{\bf rot\\,u},{\bf rot\\,v}\right)\_{\Omega} + \left({\bf grad}\\,\lambda,{\bf v}\right)\_{\Omega} + \left(\boldsymbol{\beta},{\bf v}\right)\_{\Omega} = 0,~ \forall\\,{\bf v} \in \textbf{H}\_0({\bf rot},\Omega)\\\\ &\left({\bf u},{\bf grad}\\,\mu\right)\_{\Omega} = 0, \forall \\, \mu \in \text{H}_0({\bf grad},\Omega)\end{aligned}\right.$$
+$$\left\\{\begin{aligned}&\text{Trouver}~ {\bf u} \in\textbf{H}\_0({\bf rot},\Omega),~ \lambda \in \text{H}_0({\bf grad},\Omega) ~ \text{tels que :} \\\\ &\left(\alpha\\,{\bf rot\\,u},{\bf rot\\,v}\right)\_{\Omega} + \left({\bf grad}\\,\lambda,{\bf v}\right)\_{\Omega} + \left(\boldsymbol{\beta},{\bf v}\right)\_{\Omega} = 0,~ \forall\\,{\bf v} \in \textbf{H}\_0({\bf rot},\Omega)\\\\ &\left({\bf u},{\bf grad}\\,\mu\right)\_{\Omega} = 0, \forall \\, \mu \in \text{H}_0({\bf grad},\Omega)\end{aligned}\right.$$
La transcription dans le domaine discret est immédiate :
-$$\boxed{\left\\{\begin{aligned}&\text{Trouver}~{\bf u_h} \in W_0^1,~\lambda_h \in W_0^0~\text{tels que :} \\\\ &\left(\alpha\\,{\bf rot\\,u_h},{\bf rot\\,v_h}\right)\_{\Omega} + \left({\bf grad}\\,\lambda_h,{\bf v_h}\right)\_{\Omega} + \left(\boldsymbol{\beta},{\bf v_h}\right)\_{\Omega} = 0,~ \forall\\,{\bf v_h} \in W_0^1 \\\\ &\left({\bf u_h},{\bf grad}\\,\mu_h\right)\_{\Omega} = 0, \forall \\, \mu_h \in W_0^0 \end{aligned}\right.}$$
+$$\boxed{\left\\{\begin{aligned}&\text{Trouver}~ {\bf u_h} \in W_0^1,~ \lambda_h \in W_0^0~ \text{tels que :} \\\\ &\left(\alpha\\,{\bf rot\\,u_h},{\bf rot\\,v_h}\right)\_{\Omega} + \left({\bf grad}\\,\lambda_h,{\bf v_h}\right)\_{\Omega} + \left(\boldsymbol{\beta},{\bf v_h}\right)\_{\Omega} = 0,~ \forall\\,{\bf v_h} \in W_0^1 \\\\ &\left({\bf u_h},{\bf grad}\\,\mu_h\right)\_{\Omega} = 0, \forall \\, \mu_h \in W_0^0 \end{aligned}\right.}$$
Cette façon de procéder est plus lourde à résoudre : le système est beaucoup plus grand que le précédent car on a rajouté autant de degrés de liberté que de nœuds du maillage. Cependant, elle a le mérite de fournir une solution « plus physique » et plus facilement interprétable.