diff --git a/module-web/content/electromag/LoisComp.md b/module-web/content/electromag/LoisComp.md
index b7f4a775316a7ed8ef6b4c7afc6a72397dd351fb..d0dd190548578ea7ba08bed7b2b1d3d802eb3154 100644
--- a/module-web/content/electromag/LoisComp.md
+++ b/module-web/content/electromag/LoisComp.md
@@ -81,7 +81,7 @@ Avec :
* ${\bf b_r}$ : induction rémanente (vectorielle)
{{% notice note %}}
-Pour compléments, je vous encourage à aller voir cette [**petite vidéo**](https://ultv.univ-lorraine.fr/video/9478-aimant-permanent) réalisée par mon collègue de bureau, le Prof. Denis Netter et accessible sur le serveur de vidéos de l'Université de Lorraine [**ULTV**](https://ultv.univ-lorraine.fr/).
+Pour compléments, je vous encourage à aller voir cette [**petite vidéo**](https://ultv.univ-lorraine.fr/video/9478-aimant-permanent) réalisée par mon ancien collègue de bureau, le Prof. Denis Netter et accessible sur le serveur de vidéos de l'Université de Lorraine [**ULTV**](https://ultv.univ-lorraine.fr/).
**Je l'incruste également ci-dessous (avec son autorisation) :**
{{% /notice %}}
{{< rawhtml >}}
diff --git a/module-web/content/electromag/RegHarmo.md b/module-web/content/electromag/RegHarmo.md
index 105ac5a554f575bbede5ed6ef378bc1f9b3b6e69..95a8bb15b58e71de8c0d521e817467349e3b3db0 100644
--- a/module-web/content/electromag/RegHarmo.md
+++ b/module-web/content/electromag/RegHarmo.md
@@ -57,7 +57,7 @@ $$\underline{{\bf h}}(x,y,z) = {\bf h\_{\text{eff}}}(x,y,z)\\,\text{e}^{j\varphi
avec
$${\bf h\_{\text{eff}}}(x,y,z) = \begin{pmatrix} h\_{x_\text{eff}} \\\\ h\_{y_\text{eff}} \\\\ h\_{z_\text{eff}}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sqrt{\frac{1}{T}\\,\int\_{0}^{T} h\_{x}^2(x,y,z,t)\\,\text{d} t}\\\\[1em]\sqrt{\frac{1}{T}\\,\int\_{0}^{T} h\_{y}^2(x,y,z,t)\\,\text{d} t}\\\\[1em]\sqrt{\frac{1}{T}\\,\int\_{0}^{T} h\_{z}^2(x,y,z,t)\\,\text{d} t}\end{pmatrix}$$
-Toutes les relations que nous avons vu jusqu'à maintenant pourront s'appliquer en complexe. Nous ne traiterons pas le cas de l'électrostatique (car statique).
+Toutes les relations que nous avons vu jusqu'à maintenant pourront s'appliquer en complexe. Nous ne traiterons pas le cas de l'électrostatique (car statique comme son nom l'indique).
### Équations de Maxwell
@@ -77,10 +77,16 @@ $$\begin{aligned} {\bf \underline{b}} &= \mu_0\mu_r\\,{\bf \underline{h}},~ ~ ~{
Les aimants étant des sources statiques, ils ne peuvent être considérés dans des problèmes harmoniques.
{{% /notice %}}
-{{% notice note %}}
-Nous ne traiterons que des problèmes où les lois de comportement sont linéaires. En effet, le cas non-linéaire est mal défini. Par exemple si ${\bf h}$ est sinusoïdal, alors ${\bf b}$ ne l'est pas en non-linéaire. Il existe des techniques permettant de traiter ce type de problèmes de façon approchée, en définissant par exemple des perméabilités complexes qui permettent de déduire la valeur du fondamental de l'induction associée, mais nous ne les traiterons pas dans le cadre de ce cours.
+{{% notice warning %}}
+Nous nous intéresserons principalmeent qu'aux problèmes où les lois de comportement sont linéaires. En effet, le cas non-linéaire est mal défini. Par exemple si ${\bf h}$ est sinusoïdal, alors ${\bf b}$ ne l'est pas en non-linéaire, et inversement (cf figure ci-dessous). Dans ces cas, on ne considère que les valeurs du fondamental des grandeurs (hypothèse du premier harmonique).
+Il existe des techniques permettant de traiter ce type de problèmes de façon approchée (en prenant également l'influence de la largeur du cycle d'hystérésis) en définissant par exemple des perméabilités complexes qui permettent de déduire la valeur du fondamental de l'induction associée (via son module) et le déphasage (via son argument), mais nous ne les traiterons pas dans le cadre de ce cours.
{{% /notice %}}
+{{< figure src="../../images/figures/bdeh_courant.svg" title="Forme d'onde du champ et de l'induction magnétique à courant sinusoïdal imposé">}}
+
+{{< figure src="../../images/figures/hdeb_tension.svg" title="Forme d'onde du champ et de l'induction magnétique à tension sinusoïdale imposéé">}}
+
+
### Potentiels
diff --git a/module-web/content/electromag/grandglob/forces.md b/module-web/content/electromag/grandglob/forces.md
index 550a612ea0e6528d8853cc988476e4da4a93df08..095ab7b76ba0adc3777bee35bb670e89723194fb 100644
--- a/module-web/content/electromag/grandglob/forces.md
+++ b/module-web/content/electromag/grandglob/forces.md
@@ -221,7 +221,7 @@ Repartons de la formule :
$${\bf f\_{em}} = (\rho_q-\text{div}\\,{\bf p})\\,{\bf e} + ({\bf j} + {\bf rot\\,m})\wedge{\bf b}$$
-En y réinjectant les équations de Maxwell-Ampère et Maxwell-Gauss et en utilisant les lois de comportement ${\bf e} = \varepsilon_0\\,{\bf d} + {\bf p}$ et ${\bf b} = \mu_0\\,({\bf h} + {\bf m)}$, on obtient :
+En y réinjectant les équations de Maxwell-Ampère et Maxwell-Gauss et en utilisant les lois de comportement ${\bf d} = \varepsilon_0\\,{\bf e} + {\bf p}$ et ${\bf b} = \mu_0\\,({\bf h} + {\bf m)}$, on obtient :
$$\boxed{{\bf f\_{em}} = \varepsilon_0\\,(\text{div}\\,{\bf e})\\,{\bf e} + \frac{1}{\mu_0}\\,{\bf rot\\,b}\wedge{\bf b}}$$
@@ -275,7 +275,7 @@ $${\bf f_m} = \begin{pmatrix}f_{m_x}\\\\f_{m_y}\\\\f_{m_z}\end{pmatrix}=\frac{1}
Calculons la première ligne de $\overline{\text{div}}\\,\overline{\overline{\bf T}}$ :
-$$\begin{aligned}\big(\overline{\text{div}}\\,\overline{\overline{\bf T}}\big)\_x &= \frac{1}{\mu_0}\\,\big(b_x\\,\partial_x b_x - b_y\\,\partial_x b_y - b_z\\,\partial_x b_z + b_y\\,\partial_y b_x + b_x\\,\partial_y b_y + b_z\\,\partial_y b_x + b_x\\,\partial_z b_z\big)\\\\ &= \frac{1}{\mu_0}\\,\big(b_x\\,\cancel{(\partial_x b_x+\partial_y b_y+\partial_z b_z)}+ b_y\\,(\partial_y b_x-\partial_x b_y)+b_z\\,(\partial_z b_x - \partial_x b_z)\big)=f_{m_x}\end{aligned}$$
+$$\begin{aligned}\big(\overline{\text{div}}\\,\overline{\overline{\bf T}}\big)\_x &= \frac{1}{\mu_0}\\,\big(b_x\\,\partial_x b_x - b_y\\,\partial_x b_y - b_z\\,\partial_x b_z + b_y\\,\partial_y b_x + b_x\\,\partial_y b_y + b_z\\,\partial_z b_x + b_x\\,\partial_z b_z\big)\\\\ &= \frac{1}{\mu_0}\\,\big(b_x\\,\cancel{(\partial_x b_x+\partial_y b_y+\partial_z b_z)}+ b_y\\,(\partial_y b_x-\partial_x b_y)+b_z\\,(\partial_z b_x - \partial_x b_z)\big)=f_{m_x}\end{aligned}$$
**Remarque :** la simplification vient de $\text{div}\\,{\bf b} = 0$. On pourrait faire de même pour la deuxième et troisième ligne.
@@ -300,7 +300,7 @@ $\longrightarrow$ Vérifions que cette définition est correcte.
Calculons la première ligne de $\overline{\text{div}}\\,\overline{\overline{\bf T}}$ :
-$$\begin{aligned}\big(\overline{\text{div}}\\,\overline{\overline{\bf T}}\big)\_x &= \varepsilon_0\\,\big(e_x\\,\partial_x e_x - e_y\\,\partial_x e_y - e_z\\,\partial_x e_z + e_y\\,\partial_y e_x + e_x\\,\partial_y e_y + e_z\\,\partial_y e_x + e_x\\,\partial_z e_z\big)\\\\ &= \varepsilon_0\\,\big(e_x\\,(\partial_x e_x+\partial_y e_y+\partial_z e_z)+ e_y\\,\cancel{(\partial_y e_x-\partial_x e_y)}+e_z\\,\cancel{(\partial_z e_x - \partial_x e_z)}\big)=f_{e_x}\end{aligned}$$
+$$\begin{aligned}\big(\overline{\text{div}}\\,\overline{\overline{\bf T}}\big)\_x &= \varepsilon_0\\,\big(e_x\\,\partial_x e_x - e_y\\,\partial_x e_y - e_z\\,\partial_x e_z + e_y\\,\partial_y e_x + e_x\\,\partial_y e_y + e_z\\,\partial_z e_x + e_x\\,\partial_z e_z\big)\\\\ &= \varepsilon_0\\,\big(e_x\\,(\partial_x e_x+\partial_y e_y+\partial_z e_z)+ e_y\\,\cancel{(\partial_y e_x-\partial_x e_y)}+e_z\\,\cancel{(\partial_z e_x - \partial_x e_z)}\big)=f_{e_x}\end{aligned}$$
**Remarque :** les simplifications viennent directement du fait qu'en électrostatique : ${\bf rot\\,e} = {\bf 0}$. On pourrait faire de même pour la deuxième et troisième ligne.
diff --git a/module-web/content/electromag/synthese.md b/module-web/content/electromag/synthese.md
index a7583858d7f70dd938068ed31d511f299991f93c..9d13cf35b344023ba8131beab3125b436ee9eab1 100644
--- a/module-web/content/electromag/synthese.md
+++ b/module-web/content/electromag/synthese.md
@@ -44,7 +44,7 @@ Les deux étant constitués de deux électrodes séparées par un milieu diélec
## Ex.3. : Cylindre plongé dans un champ uniforme
-On considère une région de l'espace où règne un champ d'induction uniforme (imposé par une source extérieure) de la forme : ${\bf b} = B\_{0}\\,{\bf u\_y}$.
+On considère une région de l'espace où règne un champ d'induction uniforme (imposé par une source extérieure) de la forme : ${\bf b} = B\_{0}\\,{\bf u\_x}$.
On place à l'intérieur de cette zone un cylindre de rayon $R$ constitué d'un matériau de perméabilité relative $\mu\_r$ constante.
1. Caluler, par séparation des variables, le potentiel vecteur magnétique ${\bf a}$ en tout point du domaine.
@@ -646,10 +646,53 @@ end
```
{{% /expand%}}
+---
+
+## Ex. 8. : Barre de machine asynchrone
+
+Le but de l'exercice est de calculer l'inductance de fuite et la résistance d'une barre de machine asynchrone à cage en fonction de la fréquence du courant rotorique. Lorsque le rayon d'alésage de la machine est assez grand, le problème peut se ramener à un problème 2D cartésien tel que représenté par la figure :
+
+
+
+#### Cas statique :
+
+Le courant I circulant dans la barre est supposé continu ($I = I_0$). Après avoir précisé vos hypothèses :
+1. Que vaut la densité de courant dans le cuivre $j$ ? En déduire la valeur des pertes Joule et de la résistance de la barre $R_0$.
+2. Tracer l'allure des lignes de champ dans cette portion de dispositif.
+3. En utilisant le théorème d’Ampère, calculer la valeur du champ magnétique $h$ dans l'encoche, c'est-à-dire : dans la zone d'air entre le cuivre et l'entrefer, et dans la barre de cuivre.
+4. Tracer $h_x(y)$ pour $y \in \[0 ; h 1 + h 2 \]$.
+5. En déduire la valeur de l'énergie magnétique $W_e$ stockée dans l'encoche, et l'inductance de fuite $L\_{f_0}$ définie par : $$W_e = \frac{1}{2}\\,L\_{f_0}\\,I^2$$
+
+#### Cas harmonique :
+
+Le courant I est maintenant supposé sinusoïdal : $I(t) = I\_{\text{eff}}\\,\sqrt{2}\\,\sin(\omega\\,t)$.
+
+1. Dans quelle zone de l'encoche peut-on encore utiliser le théorème d'Ampère ?
+2. Quelle est l'équation vérifiée par $h$ dans le cuivre ?
+3. Résoudre cette équation grâce à un passage en complexes.
+4. En déduire la valeur de $W_e$, puis de l'inductance de fuite $L_f$ en fonction de la fréquence.
+5. À partir des questions précédentes, déterminer la valeur de la densité de courant complexe dans le cuivre. En déduire la valeur des pertes Joule et de la résistance $R$ de la barre en fonction de la fréquence.
+6. Vérifier les cas limites : $\lim\limits\_{\omega \to 0} L_f (\omega) = L\_{f_0}$ et $\lim\limits_{\omega\to 0} R(\omega) = R_0$.
+
+{{< rawhtml >}}
+<br>
+{{< /rawhtml >}}
+
+
+#### Tracé des résultats :
+
+{{< figure src="../../images/figures/res_encoche.svg" title="Densité volumique de courant dans l'encoche à 50 Hz">}}
+
+{{< figure src="../../images/figures/Lf_R_def.svg" title="Évolution de la valeur de l'inductance de fuite et de la résistance de la barre en fonction de la fréquence">}}
+
+
+{{%attachments title="Correction" style="grey" pattern="corrige*.*(pdf)"/%}}
+
+
---
-## Ex. 8. : Résistance d'une barre cylindrique alimentée en alternatif
+## Ex. 9. : Résistance d'une barre cylindrique alimentée en alternatif
La barre de cuivre de l'exercice [**Ex.1**](#exo1) est désormais alimentée en courant alternatif.
Calculer la densité de courant lorsque la barre est parcourue par un courant $I(t) = \sqrt{2}\\,I\_{\text{eff}}\\,\cos(\omega\\,t)$.
@@ -726,49 +769,7 @@ xlabel('f (en Hz)','FontSize',14); ylabel('R (en m\Omega)','FontSize',16)
```
{{% /expand%}}
-
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-
-## Ex. 9. : Barre de machine asynchrone
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-Le but de l'exercice est de calculer l'inductance de fuite et la résistance d'une barre de machine asynchrone à cage en fonction de la fréquence du courant rotorique. Lorsque le rayon d'alésage de la machine est assez grand, le problème peut se ramener à un problème 2D cartésien tel que représenté par la figure :
-
-
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-#### Cas statique :
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-Le courant I circulant dans la barre est supposé continu ($I = I_0$). Après avoir précisé vos hypothèses :
-1. Que vaut la densité de courant dans le cuivre $j$ ? En déduire la valeur des pertes Joule et de la résistance de la barre $R_0$.
-2. Tracer l'allure des lignes de champ dans cette portion de dispositif.
-3. En utilisant le théorème d’Ampère, calculer la valeur du champ magnétique $h$ dans l'encoche, c'est-à-dire : dans la zone d'air entre le cuivre et l'entrefer, et dans la barre de cuivre.
-4. Tracer $h_x(y)$ pour $y \in \[0 ; h 1 + h 2 \]$.
-5. En déduire la valeur de l'énergie magnétique $W_e$ stockée dans l'encoche, et l'inductance de fuite $L\_{f_0}$ définie par : $$W_e = \frac{1}{2}\\,L\_{f_0}\\,I^2$$
-
-#### Cas harmonique :
-
-Le courant I est maintenant supposé sinusoïdal : $I(t) = I\_{\text{eff}}\\,\sqrt{2}\\,\sin(\omega\\,t)$.
-
-1. Dans quelle zone de l'encoche peut-on encore utiliser le théorème d'Ampère ?
-2. Quelle est l'équation vérifiée par $h$ dans le cuivre ?
-3. Résoudre cette équation grâce à un passage en complexes.
-4. En déduire la valeur de $W_e$, puis de l'inductance de fuite $L_f$ en fonction de la fréquence.
-5. À partir des questions précédentes, déterminer la valeur de la densité de courant complexe dans le cuivre. En déduire la valeur des pertes Joule et de la résistance $R$ de la barre en fonction de la fréquence.
-6. Vérifier les cas limites : $\lim\limits\_{\omega \to 0} L_f (\omega) = L\_{f_0}$ et $\lim\limits_{\omega\to 0} R(\omega) = R_0$.
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-{{< rawhtml >}}
-<br>
-{{< /rawhtml >}}
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-#### Tracé des résultats :
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-{{< figure src="../../images/figures/res_encoche.svg" title="Densité volumique de courant dans l'encoche à 50 Hz">}}
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-{{< figure src="../../images/figures/Lf_R_def.svg" title="Évolution de la valeur de l'inductance de fuite et de la résistance de la barre en fonction de la fréquence">}}
-
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-{{%attachments title="Correction" style="grey" pattern=".*(pdf)"/%}}
+{{%attachments title="Cet exercice est adapté d'un ancien examen :-)" style="grey" pattern="exam*.*(pdf)"/%}}
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